《球的表面积与体积》同步测试1【高中数学人教版】

PAGE《球的表面积与体积》同步测试1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（）A．eq\f(8π,3) B．eq\f(32π,3)C．8π D．eq\f(8\r(2)π,3)解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为eq\r(R2－1)，∴截面圆的面积为S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(R2－1)))2＝（R2－1）π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π．2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为（）A．16π B．20πC．24π D．32π解析：选A设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝eq\f(1,3)a2h＝a2＝6，得a＝eq\r(6)．由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则（3－r）2＋（eq\r(3)）2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π．故选A．3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V＝eq\f(1,3)π×32×4＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×33＝30π．4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是（）A．S正方体>S球 B．S正方体<S球C．S正方体＝S球 D．无法确定解析：选A设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝eq\f(4,3)πR3＝a3，∴a＝eq\r(3,V)，R＝eq\r(3,\f(3V,4π))，∴S正方体＝6a2＝6eq\r(3,V2)＝eq\r(3,216V2)，S球＝4πR2＝eq\r(3,36πV2)<eq\r(3,216V2)．5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是（）A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．π解析：选C设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝eq\f(4,3)R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×eq\f(4,3)R2＝8R2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(π,2)．6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r＝eq\r(2)，∴其表面积S＝4π×（eq\r(2)）2＝8π．答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面（正方形）的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2．答案：πa28．圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了eq\f(5,3)cm，则这个铁球的表面积为________cm2．解析：设该铁球的半径为r，则由题意得eq\f(4,3)πr3＝π×102×eq\f(5,3)，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π（cm2）．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴4πReq\o\al(2,1)∶4πReq\o\al(2,2)∶4πReq\o\al(2,3)＝1∶4∶9，即Req\o\al(2,1)∶Req\o\al(2,2)∶Req\o\al(2,3)＝1∶4∶9，∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得Req\o\al(3,1)∶Req\o\al(3,2)∶Req\o\al(3,3)＝1∶8∶27，∴V1∶V2∶V3＝eq\f(4,3)πReq\o\al(3,1)∶eq\f(4,3)πReq\o\al(3,2)∶eq\f(4,3)πReq\o\al(3,3)＝Req\o\al(3,1)∶Req\o\al(3,2)∶Req\o\al(3,3)＝1∶8∶27．10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组