2023年高考数学题型猜想预测卷 导数及其应用 （解析版）

猜题11第18题导数及其应用一、解答题1．（2023·上海·统考模拟预测）函数，且.(1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；(2)，且在上有零点，求的取值范围.【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)【分析】（1）由题意解出的值，再利用单调性的定义证明即可；（2）转化问题为在上有解，则有解，利用导函数求的单调性，进而求得取值范围即可.【解析】（1）由题意可得，解得，所以，在上单调递增，证明如下：任取，则，因为在上单调递增，且，所以，，所以，即，所以在上单调递增.（2）由（1）得，在上有零点，即在上有解，则有解，令，则，令解得，令解得，所以在单调递减，在单调递增，所以，没有最大值，所以.2．（2017·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）讨论在区间上的最小值．【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是；（2）当时，函数的最小值为：；当时，函数的最小值为：；当时，函数的最小值为：.【分析】（1）对函数进行求导，根据导函数的正负求出函数的单调区间；（2）对函数进行求导，分类讨论，求出函数的单调区间进而求出在区间上的最小值．【解析】（1）当时，.当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以的单调增区间是，单调减区间是；（2）.当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，当时，函数在上单调递减，故函数的最小值为：；当时，函数在上单调递增，故函数的最小值为：；当时，函数的最小值为：.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了利用导数求函数的最小值问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数.(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)对全分离,将在上恒成立,转化为,构造新函数,求导求单调性求最值即可.(2)由在上单调递增,即在上恒成立,求导后全分离转化为,构造新函数,求导求单调性求最值即可.【解析】（1）解:由题知在上恒成立,即,,只需即可,即,记,,,,,在单调递减,;（2）由题知,在上单调递增,即在上恒成立,即恒成立,,只需恒成立,即,记,,,,在单调递增,,只需即可,综上:.4．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知函数为奇函数(1)求的值，判断并证明在其定义域上的单调性；(2)若关于的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)；在定义域上单调递增，证明见解析；(2).【分析】（1）根据奇函数的定义，结合函数单调性的定义、指数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性和奇偶性，结合常变量分离法、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.【解析】（1）函数的定义域为R，函数为奇函数，，经检验，为奇函数.函数的定义域为R，，R且，，因为，所以，而，所以，故在R上单调递增．（2）因为为奇函数，所以有又因为在R上单调递增，，所以对任意恒成立，即，令，，设，，所以在上单调递增，所以：.5．（2022秋·上海奉贤·高三校考期中）函数，其中.(1)求函数的导数；(2)若，求的极值.【答案】(1)(2)极大值为，极小值为【分析】（1）利用导数的求导法则以及基本初等函数的求导公式即可求解，（2）求导，利用导数即可求解极值.【解析】（1）由得，（2）记，则，令，则，当时，或，故当或时，，当，，因此当时，取极小值，且极小值为，当时，取极大值，且极大值为，因此的极大值为，极小值为6．（2023·上海·高三专题练习）设，函数.(1)若函数为奇函数，求实数a的值；(2)若函数在处取得极小值，求实数a的值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）求出，根据奇函数的概念得到，即可求出结果；（2）利用导数求出函数的单调区间，进而求出极小值点，可得，即可求出结果.（1）由已知，得，，，∵为奇函数，∴，，即，∴；（2），当x变化时，的变化情况如下表：xa+0-0+极大值极小值∴，∴.7．（2022·上海徐汇·统考一模）已知.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由导数的几何意义求解，（2）由导数与单调性的关系求解，【解析】（1）当时，，，所以，.所以函数在点处的切线方程为.（2）因为，定义域为，所以.①当时，与在上的变化情况如下：1+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数在及内严格增，在内严格减；②当时，恒成立，所以函数的单调增区间为.综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为；当时，函数单调增区间为.8．（2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期中）已知函数.(1)若函数在处取得极大值，求a的值；(2)设，试讨论函数的单调性.【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）由即可求解；（2）由导数法结合因式分解及二次函数性质讨论单调性即可.【解析】（1），由在处取得极大值得；经检验成立（2），，i.当时，（仅在取等号），故在递增；ii.当时，由得，得，故在递增，在递减；iii.当时，由得，得，故在递增，在递减.9．（2023·上海·高三专题练习）已知函数．(1)定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，求实数a的值；(2)若，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用列举归纳法，可得的周期为4，则得，由，即可求得值；（2）分析可得要证，只需证，再利用导数分别证得，，即可证明结论成立．（1）解：由题意得：，，，，∴的周期为4，故．∵，∴．（2）证明：要证，即证，又，则，故只需证，令，，则，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以，所以，令，则，所以在上，单调递增，所以，所以，所以，因为左右两边的不等号不能同时取到，所以，所以，得证．10．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线.(1)求的值；(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由.【答案】(1)1(2)1个零点，理由见解析【分析】(1)通过对曲线和分别求导，由题意得，从而求得的值；(2)分类讨论思想，当时，，无零点；当时，通过求导判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解.．【解析】（1）依题意得：函数，其导函数为，，所以．曲线和在原点处有相同的切线.，．（2）由（1）可知，，所以；当时，，，此时无零点．当时，令则，显然在上单调递增，又，，所以存在使得，因此可得时，，单调递减；时，，单调递增；又，所以存在，使得，即时，，，单调递减；时，，，单调递增；又，，所以在上有一个零点．综上，在上有1个零点．11．（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知函数．(1)当时，求在点的切线方程；(2)若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；(3)若在区间上存在极小值，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）求解导函数，分别计算，利用点斜式写出直线方程；（2）构造新函数，利用存在型问题的解决办法，求解最大值；（3）计算函数的极小值点，再根据极小值所在范围列不等式，分类讨论求解.（1），因为，所以，，所以，，所以曲线在点的切线方程为；（2）函数在上存在减区间，则有在区间上有解，即在区间上有解，此时令，

显然在区间上单调递减，所以，故有，所以实数的取值范围是.（3）函数在区间上存在极小值，则函数的极小值点应落在内，令，得，，在，上单调递增，在上单调递减；是函数的极小值点，即得，当时，不等式恒成立；当时，，解得，所以实数的取值范围是【点睛】研究单调区间与极值存在问题可转化为研究不等式存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.12．（2023·上海·高三专题练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）将所要证明的不等式转化为，结合函数的单调性以及导数，证得不等式成立.（1）的定义域为，.当时，在区间递减；在区间递增.当时，在上递增.当时，在区间递减；在区间递增.（2）依题意，令，由（1）得在单调递增，要证，即证，即证，即证①，设，因为，所以在区间上递增，所以，所以，即①成立，所以成立.13．（2022秋·广东广州·高三广州市南武中学校考阶段练习）已知函数，若在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数的几何意义，结合切线方程，列式，即可求解函数的解析式；（2）首先由导数判断函数的单调性，再比较函数的极值和端点值的大小，求函数的值域.（1）因为，所以，由题意得，所以，；故的解析式为（2）由（1）得，，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，故当时，函数取得极小值又，，因为故函数在上的最大值为，最小值为，所以在上的值域为14．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)递减区间是；递增区间是，(2)【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.【解析】（1）解：由题意，函数，可得，因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，可得，即，解得，

所以，可得，令，解得或．当变化时，，的变化情况如下：－1＋0－0＋2所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．（2）解：由函数，，则，函数在处取得极大值，在处取得极小值，要使得有三个零点，则满足，即，解得，所以的取值范围为．15．（2023·上海·高三专题练习）已知函数(1)讨论的单调性；(2)当时，证明【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时，，即不等式成立.【解析】（1）解：函数的定义域为，，∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；（2）证明：因为时，证明，只需证明，由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；所以.令，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以.所以时，，所以当时，16．（2021秋·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）已知函数，，.(1)当时，解不等式；(2)若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）代值计算并按讨论即可.（2）依据题意可知，进行计算即可.(1)当时，，由，即当时，不符合题意当时，则当时，则综上所述：(2)由题可知：，所以在恒成立，则且在恒成立，由，所以当时，；当时，所以在单调递减，在单调递减所以当时，；当时，所以的最小值为又，所以，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递减所以当时，；当时，所以函数在的最大值为3所以且，即17．（2021秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考阶段练习）已知函数；（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；【答案】（1）当a＝0时，偶函数；当a≠0时，既不是奇函数也不是偶函数；（2）【分析】（1）为偶函数，欲判函数的奇偶性，只需判定的奇偶性，讨论a就可判定；（2）将上是增函数的问题转化为导函数在上大于等于零恒成立即可.【解析】解：（1）当a＝0时，，对，有，∴为偶函数．当a≠0时，，取，得，，．∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（2），若函数在上是增函数，则在上恒成立，又由恒成立可得恒成立，因为，所以.18．（2021春·上海金山·高三校考阶段练习）已知函数，．（1）当时，求函数的零点；（2）若对任何，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时，，欲求函数的零点，即求对应方程的根．由解得的值即可；（2）原不等式变为，即．再构造函数，研究其最值即可得出实数的取值范围．【解析】（1）当时，，由得即或解得，所以.所以函数的零点为.（2）原不等式变为，即，故又函数在，上单调递增，（增函数+增函数=增函数），函数，，所以在上单调递减，；所以，即实数的取值范围是．19．（2022·上海·高三专题练习）已知函数.（1）若，且在上存在零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意，存在使，求实数b的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由时，，当时，可得，实数a的取值范围即为的值域，令对其求导判断单调性，求出的值域，进而可计算的值域，即可求解；（2）由得，即，令，则的对称轴为，由得，所以在上最小值为，再由得，即可求得实数b的取值范围.【解析】（1）当时，在上有解，当时，，即，令，；由可得或，由可得或，所以在和上单调递增，在和上单调递减，当时，，当时，，所以的值域为，所以的值域为，所以（2）由得，即，令，则的对称轴为，当时，，所以当时，的最小值为，又因为对任意的恒成立，所以，所以，所以实数b的取值范围为.【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．20．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知函数，．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】(1)根据导数与切线的关系求解；(2)根据导数结合不同的值分类讨论求解.【解析】（1）当时，，，，，曲线在处的切线方程为，即．（2），①当时，当时，，当时，，∴在单调递增，在单调递减；②当时，由，得，或；由，得，∴在，单调递减，在单调递增；③当时，恒成立，∴在单调递减；④当时，由，得，或；由，得，∴单调递减区间为，，单调递增区间为21．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.【答案】(1)最大值为，最小值为(2)在上有两个零点【分析】(1)利用导数讨论单调性即可求最值；(2)讨论函数在在上的单调性，并用零点的存在性定理确定零点个数，再根据函数为偶函数即可求解.【解析】（1）因为，所以在区间上单调递减，所以当时，取最大值；当时，取最小值.（2）先讨论在上的零点个数，由（1）可知，在上递减，，所以在上递减，因为，所以在上有唯一零点，又因为，所以是偶函数，所以在上有两个零点.22．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)证明：函数在上有且仅有一个零点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据导数几何意义求解.（2）判断函数在上单调性，然后观察零点.【解析】（1）因为，且，，所以切线方程为，即所求切线方程为．（2）．因为，所以，，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以在上是减函数，且，所以在上仅有一个零点．23．（2023秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是，(2)【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间；(2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解.【解析】（1）当时，，，所以的单调递减区间是，单调递增区间是（2）由函数在上是减函数，知恒成立，．由恒成立可知恒成立，则，设，则，由，知，函数在上递增，在上递减，∴，∴．24．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）已知函数(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，点斜式求切线方程即可；（2）构造新函数，在指定区间上求最大值，最小值即可解决.【解析】（1）当时，，所以，因为，所以切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为，即.（2）由题知，函数与直线在上有两个不同的交点，令，所以，因为，所以令，得，所以当时，，当时，，所以在上有最大值，因为，又，所以，所以在上有最小值，所以在上有两个不同的交点的条件是，解得所以实数的取值范围为25．（2022秋·湖北·高三校联考期中）已知函数．(1)若，求的单调区间(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．【答案】(1)的减区间为，增区间为，(2)，【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；（2）先由极值点处的导数为0（且在极值点左右两侧的符号相反）解得参数a的值，再利用导数求函数的最值（注意：研究函数的趋近）.【解析】（1）若，有，定义域为则，得；得或所以，的减区间是，增区间是，；（2）∵，即：∴∴∴∴当或时，；当时，∴在，上递增，在上递减∴的极大值为，的极小值为.又∵当时，，当时，，．26．（2022秋·河南周口·高三校考阶段练习）已知函数，（为常数，）.(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)极小值，无极大值；(2).【分析】（1）利用导数判断的单调性，根据单调性即可求得函数极值；（2）根据在区间上恒成立，列出不等式，求解即可.【解析】（1）当时，函数，，令，解得.令，解得函数在区间上单调递增；令，解得，函数在区间上单调递减.∴当时，函数取得极小值，，无极大值.（2）由题可得，因为函数在区间上是单调增函数，所以在区间上恒成立，但是不恒等于0.∴在区间上恒成立，但是不恒等于0.∴，即且，解得.因此实数的取值范围是.27．（2022秋·天津南开·高三统考期中）已知函数（a为常数，），且函数在处的切线和在处的切线互相平行．(1)求常数a的值；(2)若存在x使不等式（为函数的导数）成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据导数的几何意义，结合已知条件，列出关于的等量关系，求解即可；（2）对目标不等式分离参数，构造函数，利用导数求其值域，即可求得参数范围.【解析】（1）因为，所以函数在处的切线的斜率，又因为，所以函数在处的切线的斜率，所以，由，得．（2），即，则，令，则，因为，所以，所以，故，所以在上是减函数，因此，所以存在x使不等式成立，则．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数处理存在性问题；第二问中处理问题的关键是分离参数，构造函数，属综合中档题.28．（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)当时，求函数的单调递减区间【答案】(1)(2)和【分析】（1）根据先求解切点坐标，根据导数的几何意义求解切线方程即可；（2）先求解导数，利用导数求解函数在区间上的单调递减区间即可.（1）解：，所以，，所以函数在处的切线方程为，即.（2）解：.又，故当和时，，即，当时，，即，所以函数的单调递减区间为和.29．（2022秋·安徽·高三砀山中学校联考阶段练习）已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若x=0为函数的极值点，且函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出导函数，根据导数几何意义即可得到切线方程；（2）由函数的极值点确定参数值，结合函数的单调性与极值，数形结合可得结果.（1）依题意，故；而，故，又故所求切线方程为；（2）令，则；，.而，解得，经检验成立所以，故函数的定义域为R；令，解得或；故当时，，当时，，当时，，故函数在和上单调递增，在上单调递减；而，，且当时，，当时，，作出的大致图象如图所示，观察可知，实数的取值范围为30．（2022秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知函数是R上的奇函数，当时，取得极值.(1)求的单调区间