常用积分公式

真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连#人生的磨难是很多的，所以我们不可对于每一件轻微的伤害都过于敏感。在生活磨难面前，精神上的坚强和无动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。套用公式⑰]⑹Jx、、.15+4x—x2dx= [(4—2x)—4]\5+4x—x2dx—2+4%—12dx请你写出答案,dx =Jv5+4x—x2d(x—2)==arcsin2二2套用公式⑼]3xdxv5+4x-x2 -2+4%—12dx请你写出答案,dx =Jv5+4x—x2d(x—2)==arcsin2二2套用公式⑼]3xdxv5+4x-x2 -2=\_J[(4-2x)—4]dx=1jd(5+4x-x2)+2jdxv5+4x-x2-2 <5+4x—x2=请你写出答案J1例 求原函数J」-1+x4dx解因为1+x4=(1+2x2+x4)—2x2=(1+x2)2-(<2x)2=(1+再x+x2)(1—<2x+x2)所以令Ax+BCx+D = ZZ 1 = 1+x4 x2+22x+1 x2—22x+1(Ax+B)(产—、=2x+1)+(Cx+D)(x2+/x+1)

k2+2x+1八2—2x+1^从恒等式（Ax+B）（x2-尬x+1）+（Cx+D）（x2+叵x+1）三1两端分子相等，可得方程组B+D=1A-22B+C+2DD=0<2A+B+-<2C+D=0A+C=0（常数项）（一次项系数）（二次项系数）（三次项系数）解这个方程组在草纸上做，得A=」=，B=1,C=——L,D=1 因此，2v2 2 2%；2 21 1 1 1x+ 二x+—1 2y2 2 2y2 2八dx=J--—— dx+J—— dx1+x4 x2+v2x+1 x2—\2x+1右端的第一个积分为dx=J4<2(2x+<2)dx 1dx=J4<2(2x+<2)dx 1J1 』 =r--+-J = dxx2+21x+1 4x2+v2x+1J4<2d(x2+<2x+1)

x2+<2x+1+1J4(2 dx(1¥+度J套用积分公式TOC\o"1-5"\h\z=—ln(x2+、、；2x+1)+—arctan(<2x+1)4<2 2c2类似地，右端的第二个积分为__x+12.2一-~2dx= Lln(x2-22x+1)+——Larctan(v2x-1)所以x2—<2x+1 4%：2 2<2所以Jdx=IInx2+1+1+——arctan(J2x+1)+——^-=arctan(v2x-1)1+x4 4<2x2—<2x+12v2 2V21Ix2+<2x+1 1 <2x=——ln = +——arctan (见下注)4V2 x2—<2x+12v2 1-x2(<2x+1)+(W-1) 2丘x <2x1-(<2x+1)(<2x-1)=(<2x+1)+(W-1) 2丘x <2x1-(<2x+1)(<2x-1)=2(1-x2)=1-x2tan[arctan(”5x+1)+arctan(近x-1)=因此arctan(%：2x+1)+arctan('-2x-1)=arctan.xJ dx求JJ dx求J (0<S<1)1-8cOSxdx【关于 (0<8<1)，见例】1+8coSx解令t=tan1半角替换,则cosxcosx=cos2——sin2—=2cos2 1=2 2 2上-1=

xsec22」--11+tan2—2TOC\o"1-5"\h\zdx=d(2arctant)= dt于是，1+t2于是，J dx J1 2J dt 2J dt= =J dt=2J = J 1-8cOSx1^1-121+12 (1-8)+(1+8)12 1+8 1-£1t21+12 1+8

2 \1+8 2 1+8 %=-，- -arctan-t+c-—. -arctan-. -tan—+c"-82 <1-8 11-82 <1-82 2【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化这是因为从根本上说，函数y-y(%)的导数或微分可以用一个“构造性”的公式y(%+h)-y(%)

y(%)-lim 或dy-y(%)d%h—0 h确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是Ie%Ie%Isin%,..d%, d%, d%等%%Je-%2d%,Jln%都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等