2022年专升本《高数》真题及答案解析

专科毕业生进入本科阶段学习考试

2022年河南省普通高等

题号—*二三四五总分

本卷须知：

答题前：考生务必将自己的、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的

试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效

选题分析:

易（40分）中［80分）难（30分）

选择：选择：选择：

1/2/3/4/11/14/16/19/20/25/6/7/8/9/10/12/13/15/1730

1/24/25/26/27/29/18/22/23/28填空：

填空：填空：计算：

31/32/33/34/3536/37/38/39/4045/47/49/50

计算：计算：应用：

应用：41/42/43/44/46/48证明：

证明：应用：53

51/52

证明：

7__________

一、选择题（每题2分，共60分）

在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

arcsin（1-x）

1.函数），=——z=——的定义域是（）.

A.[0,2]B.1,+8)C.[1,2]D.[l,2]

1

2.设/（X）—，那么/{/"（切}=（）.

\—X

111

A.-B.----C.----y-D.

XX-11-XX

1

3.函数y=------________(；-00<x<4-00)是().

In(VT4-X2-X)

A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

sin2x

4.设/(X)=——,那么bO是/（X）的（）.

X

A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点

5.当X-0时，以下无穷小量中与JO—等价的是（）.

A.xB.2xC.X2D.2X2

f(x)-g(-x)

6.f'(0)=a,g'(0)=b,且f(0)=g(0),那么lim------------=().

XTOX

A.a-bB.2a+bC.a+bD.b-a

\x-acost71

7.曲线〈7.(Q>0,〃〉0),那么f=对应点处的法线斜率为().

[y=/?sinr4

haha

A.-B.-c.-rD.--

abab

8.设/'(x)=g(x),那么或(sin，)=().

A.2g(x)sinxdxB.g(x)sin2x公

C.g(sin2x)6kD.g(sin2x)sin2jdr

9.设函数/（x）具有任意阶导数，且/,（%）=[/（X）]2,那么f（n\x）=（）.

A.n![/(x)]n+,B.n[/(x)]n+,

C.(n+l)[/(x)r+,D.(n+l)![/(x)r+I

//r

10.由方程孙=e'+'确定的隐函数x（y）的导数—().

dy

A3My+1)

D)'(xT)y(x+i)

D.-----------°x(yT)D.--------

ydy(i)

11.假设/''(x)>0[0<x<a),且/(0)=0,那么下面成立的是（).

A./,U)>08./（兀）在［0,0上单调增加

C./U)>0口./（幻在［0,a］上单调增加

12.点（0,1）是曲线yud+bf+c的拐点，那么（）.

A.b=0,c=1B./?=-1,c=0

C.b=19C=1D./?=-1,C=\

x+2

13.曲线y=l+的垂直渐近线共有().

x—X—f)

条B.2条C.3条D.4条

14.函数/（x）=，—e-x的一个原函数是（〕.

KF{x')=ex-e-xB.尸(x)=ex+ex

C.F(x)=e~'-e"D.F(x)=-ex-e-x

15.假设r（x）连续，那么以下等式正确的选项是（）.

A.J4(X)=/(x)B.df(x)dx=f(x)

cj.r(x)dx=f(x)D.dJ/(x2)dx=于(£)dx

产

16.xsinxdx-().

A.71B.-〃C.lD.O

18.以下广义积分收敛的是（）.

zdx+001^dxxdx

"78」不出7丁

19.微分方程（y'[2+5"）2），+y=0的阶数是（〕.

A.lB.2C.3D.4

20微分方程dy-2xy2dx=0满足条件MD=-1的特解是（）.

11

A—=,B.y=一,C.y=dD.y=-尤2

XJC

21.以下各组角中，可以作为向量的方向角的是().

冗冗冗71TC71冗冗冗冗兀兀

A•74'3B.6'4'3C.3,3'4D-4'3'2

x-1v+2z-4

22.直线L：='="与平面》：2x—3y+z—4=0的位置关系是).

2—31

A.L在左上B.L与〃垂直相交

C.L与万平行D.L与左相交，但不垂直

23.以下方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（）.

X2z2.22

A+—y'B.Z—I=X_>

73,44

D.尤?+y2-21=0

416

1.2—A/xy+4

24.lim----------=().

ry->0孙,

A.OB.lC.--D.不存在

4

dz

25.设Z=/(尤2—>2,2x+3y),那二).

A.2)斤+3方B「2对'+3力'C.2罚+2方D.2劝'—2.5,

26.设/=J；dxp/(x,丁)力+£血公小产”"X，那么交换积分次序后，/可以化为

().

f(x,y)dx/(x,y)公

T

(：.(办产*()

fx,ydxy>>dx

~2

27积分x2ydy=().

11

A.2B.-C.-D.O

32

28.设L是抛物线x=V上从o(o,o)到A(l,l)的一段弧，那么曲线积42盯公+乂

().

A.OB.2C.4D.l

29.基级数温(〃+l)x”的收敛区间().

A.(0,l)B.(—8,4-OO)c.(-1,1)D.(-l,0)

30.以下级数收敛的是().

00,100181

A.Z(-1)77^FtB.Vin(1+—)C.Vsin—

£〃

n=l

二填空题(每题2分,共20分)

31.函数/(%)在点与有定义是极限lim/(x)存在的条件.

XT%)

32.1im(l-yx=e-2,那么p=

Xf8匚比

(e"—Q,x<0,

33.函数/(x)=《是连续函数，那么。位.

[QCOS2X+犬，x>0,

34.设函数/(」_)=d,那么八幻=

2+cosx

-dx=_Q.

2x+sinx

36.a=(1,0,1)与b=(一1,1,0)的夹角是.

37.微分方程y'+y-九=0的通解是.

38.设方程工+2丁+2-2%”=0所确定的隐函数为2=2（1，y）,那£1）=_•

dxE

39.曲面Z=/+y2在点（1,2,5）处的切平面方程是.

40.将函数/（X）=1展开成。-4）的幕级数是.

三、计算题（每题5分，共50分）

41.1im[

.—oxIn(1+x)

,.1______________dx

42.函数x=x(y)由方程arctan)=InJd+所确定,求—.

xdy

43.求不定积分[arctanGdx.

1+3x<0,3

44.设/(幻=x,求(/(冗一2)公.

e,x〉0,

45.求微分方程2y”+y-y=3/的通解.

46.设〃=f+sin2y+exy,求全微分.

47.—平面过点（10-1）且平行于向量。二（2,1,-1）和匕=[1,一1,2）,求此平面的方程.

48.计算，其中。是由y=l,y=x,y=2fx=0所围成的闭区域.

49.计算积分j(x2+2xy->12+10)wLr+(x2-2xy-y2+15)r/y,其中L为曲线y=cosx上从

TT7T

点A(,0)到点8(-Q)的一段弧・

8（X-1）"

50.求基级数—7的收敛域.

四、应用题（每题6分，共12分）

51.某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2022元时，公寓会全部租出去，当月租

金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，

试问租金定为多少可获得最大收入最大收入是多少

52.曲线y=d（xNO）,直线x+y=2以及y轴围成一平面图形。，试求平面图形。绕y轴

旋转一周所得旋转体的体积.

五、证明题（每题8分，共8分）

53.设/螃81ft区间[0刀上连续，且人够x）<l,证明:方程2审6「，钿3dt在区

间（0,1）内有且仅

有一个实根.

2022年河南省普通高等专科毕业生进入

本科阶段学习考试

高等数学

【参考答案】

一、选择题（每题2分，共60分）

在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.L

【答案】C

【解析】要使函数有意义，那么»101一"31'解得l<x♦第2,故函数的定义域为（1,2].

此题

x/6—1>0,

选C.

2.【答案】D

1【解析】由《驷）==）=，=-二//{//[//（XX）]）=

_ff(

舱镯

此题选D.

3.【答案】B

【解析】令yy=f♦朝镖念不，函数小瑜o：）的定义域关于原点对称，且/3双）

1故函数是奇函数工撷选

ln(>/l+xiz-xi)=-f(x领•

4.【答案】B

【解析】是函数的无定义点，故x能0不是函数/螃8的连续点，选项A错误；

由

lim/383LSin2xgm2xx=2存在，故X化0是函数/诲8的可去间断点.此题选B.

XXTOXXTOXXXTOXX

X

5.【答案】A

【解析】当0时，要使次而与J1+X/3Vl-XX等价，即出11-+网-6-戏=l.liinW+xx71Tx

xx—O部XXTO以即

=

]加(VH=XX-JI-i(1+逢耻(1一xgilirn^0；那么]=

---------------=-lim------------------=-lim——L

戏TOX评Jl+xgJl-xx2xx->0xxnn2xx->0xxnn-l

------.1----n-*0

解得1.故当丫⑥加。时，无穷小量故与Vl+x3加Vl-xx等价.此题

选A.

6.【答案】C

【Ori/领()+心―/领0)*

鬻+加8-0)-J=hm

xr-»uxxxr->0xx正。xx-xxxr-»Oxx

lim—)+(-x4。丽=⑼+gg'(O)=帅此题选C.

xx-+O-xx—

7.【答案】B

工,dddd搬bbcosttnt,,.,ddddbb

【解析'=妣=d那么曲线在对应点处的切线斜率卜，故曲线在

dan晔-aw>intJ.▲—ddxx，8CI-“L.a_n=t—

幽tg--0=

44

I对应点处的法线斜率H'=-1=M此题选B.

4kkbb

8.【答案】D

【解析】dd/^^sin2xx)=//,(sin2x^$d^^sin2xx)=/'/',(sin2xx),2sinxxcosxxddxx=/'/',(sin2xx)sin

2xxddxx,团9//'(xx)=g(x—@所以ddf⑥蚓壮戏)=g(sin2xx)sin2x%dcta.此题选D.

9.【答案】A

【解析】由"[/翎管I?,得/8=2f幅翎ff(x8:2[/-3=2!

[/彼8P，/广(万8=2・

3，诲92"，(丫■拆2司/彼g』3![/蝌瑜]，"4(x8=234[7—vg3"，Q8

=234，—=

4![/"(x领F，…，故"("一(x-igMXx-bB+i.此题选A.

10.【答案】A

【解析】令FF(xx,yy)=xxyy—en+*那么FF'=yy-ee*1%FF=n:-ee叫故蛔=―应=—竺-ee-

Ff

xx

dd而a血-ee*d

_xx-xxd^^_

A._

dd-xxddd第l-x

笛

11.【答案】B

【解析】由""（》）>0（0<%被。8只能得到ff'Q8在［0,a8上单调增加.

此题选B.12.【答案】A

322

【解析】Syy=xx+bbxx+cc,^yy'=3xx+2bbxxfyy"=6%%+2bb.因为点(0,1)是曲线yy=%%3+

bbxx^+cc的拐点，所以啰“(°)=21)诲仇解得b妗o,cS1.此题选A.

yW)=—1，

13.【答案】A

x辍，斤】由1±_____=1+——_，得曲线的无定义点有-2,XX=3.因为limy一企

XX2-XX-6(X赧2)(双一3)xx-»-2

lim[1+-]=lim(1+1)="H8,所以通加一2不是曲线的垂直渐近线；因为

+2

X"-2(x^$k2)(xx-XX-*—xx-35

3)2

limy-»lim[l+x^2]=lim(l+1)=oo,所以xx=3是曲线的垂直渐近线.故曲线的垂

xx-»3xx->(x—>2)(xxx-xx-3

3-3)3

直渐近线共有1条.此题选A.

14.【答案】B

【解析】ffddxx=J(eexx-ee-xx>)ddxx=/eexxddxx-fee-xxddxx=Jeexxddxx+fee-xxd^^-xx)=

eexx+

ee-xx+CC.故ee、x+ee1是函数/袋^^^二ee。-ee-移的一个原函数.此题选B.

15.【答案】I)

【解析】/dd/ao)=/€颤%)+CC,选项A错误；d—//^^x)ddxx=[/飘x)ddx^^ddxx=

/翎的欣筋选项B错误；Jff(xx)ddxx=/脩x)+CC,选项C错误；dJ/翎户)ddxx=『/的")

2

ddx^kldxx=f^fKx)ddxxf选项D正确.此题选D.

16.【答案】D

【解析】令//觎x)=xx2sinxx,f■觎x)的定义域为RR即定义域关于原点对称，且

y^^-xx)=(-x^^sin(-xx)=xx2(-sinxx)=-xx2sinxx==xx2sinxx^

RR上奇函数,由奇函

数在对称区间上的定积分为0得j：/%2sinx/假dx/40.此题选D.

17.【答案】A

【解析】方程广:巧领^t)dd/萨:％%ee2+m两边对%%求导，得/'/能+xx)=ee2+xx^xxee2+xx.^t^^2

+xxf那么

/领(^^二eeu+2)eetl,即/■颤=eexx+(通>2)eexx,故⑥6=eexx+eexx+2)eexx

=xxeexx.此题选A.

18.【答案】C

[解析]广8d公竺)nxg+8=+wj+…发瞅选项A格曲广血弋2厂_三24辐+8

1XX11XX1Ax-=

12-yJxx1

般，+8曲就发散，选项B错误；+81+8=1,+8dd%X收敛，选项c正确；+8由皿也<

1"1XX2,(»)11八xx2AXX

x

4-00314+oo+8llnr^xxddxx

[⑥'俨戏d/$lnx3^=4(ln=+8,八一-~发散，选项D错误,此题选C.

19.【答案】B

【解析】由微分方程的阶数为微分方程中未知函数导数的最高阶数，得(yy')2+(yy")2ye

>8=0的阶数是2.此题选B.

I【答案】B

【解,斤】对ddy^^-2以yy2ddx^^0,别离变量，=2xxddxx；两边积分，组J2戏dd%£,那

dd2dd2dd

xx2+cc.Ehy—）=-l,得1=1+CC,解得C—c0.故微分方程满足条件的特解i=«2,即y第

,dd

一把匕题选B

21.【答案】C

【解析】向量的方向角必须满足cccccc2aa+cccccc2^+CCCCCC2YY=1.cccccc2而+_cccccc2""土cccccc?

443

哈2+审+(；)2=#1,选项A不正确;MT/耽2/年2y(争+(争+(*

3*1,选项B不正确;CCCCCC2"+CCCCCC2""+CCCCCC27171=()2+()2+(^)=1，选项C正确；CCCCCC2露+

233422T4

cccccc^714-cccccc2nn2+G2+(0)2='H1,选项D不正确.此题选C.

22.【答案】B

【解析】由直线a：；!】=±2三二4,得直线的方向向量为『={2,-3,1}.由平面Tt:2xx-3yy+

zz-

2-31

4=0,得平面n的法向量为『={2,-3,1}.因为2=干=E所次||『.故直线L与平面TT垂直相交.

2-31

本题选B.23.

【答案】D

【解析】D选项中X%2+yy2_2x^^=0形式可写成1）2+yy2=1,在空间直角坐标系中

表示圆柱面.此题选D.

24.【答案】C

(2-♦dd+j)(2+.dd+4)_]jm(2-6+4)(2+.dd+4)=1]皿4-(xxd«»h4)

【解析】lim2-♦dd+4=ljm

xx-»Oxxxx-»Oxxdd(2+-xddnOxxdd(2+^xd4xx-»0xxdd

____Jd-»Odddd-+O+4)dd-*Od+4)dd-*O

llim"8=一1此题选c.

4xx->0xxdd4

dd->0

25.【答案】B

【解析】由ZZ=/f（"2一yy2,2XX+3沙），得曲=-2）州'+3/f.此题选B.

dddd12

26.【答案】A

【解析】根据二重积分变量的上下限画出积分区域，由积分区域的图像写出交换二重积分后

的形式.此题选A.

27.【答案】C

1221

jddxxfxxyyddyy=^xxddxxf1312211（22-1"）=13J,本

1

o-3-2-3-2]

题选c.

28.【答案】D

22

【解析】J2xydx+xdy=2为ddy-£J04ddy-酎％=1.此题选D.

12y♦耕伪5#”

29.【答案】C

【解析】lim铲olim琴涔1,得收敛半径为RR=-时刎雌区间为（-R8

nn-»co。丽7WIT8n舲1pp

此题选c.

30.【答案】A

[解析]Hm1=0..；―灶&L单调不增，由莱布尼茨判别法，得级数E（一1）”’收敛，

〃f00〃+ln+1w=|n+1

]8J

选项A正确；级数工111（1+一）~£’,由级数、'』发散，得级数、'也（1+一）发散，选项B

„=i〃，1n3n3n

001

错误；级数£sin-Z一，由级数Z一发散，得级数»in淡散，选项C错误;

/i=l〃g】〃n=l〃，曰n

(〃+1严

班5干(〃+1严〃！n\(〃+l)・5+l)〃(〃+l)”

lim—=lim________=lim=lim•____________=lim_______

n->oon〃->8〃"/i->oc(〃+l)F~n~-(〃+])!~n〃f8~-

n

n\

=lim（l+1）"=e>l,由比值审敛法得级数£工发散，选项D错误.此题选A.

“T8nn=l〃・

二、填空题（每题2分，共20分）31.

【答案】既不充分也不必要

【解析】函数「（“）在点ho有定义只说明行（富）的定义域中包含小，//（碗）存在，而1加//（*）存在

XXTXX0

等价于limff（xx）,两者之间没有什么本质联系.故函数//（“）在点的有定义是极限

XX-^XXQXX->^X+

limf♦掘8存在的既不充分也不必要条件.

XX-^XXQ

32.【答案】2

3

3

33.【答案】I

2

融附=limlim(<eeaaxx-1-limlim(a^$?os2x^^F

xx->0-xx->0xx-»O+xx->0+

0处连续，得/^$0)=limlim即1-aa,解得

xx-»O-xx->0+2

34.【答案】一2

X3

」螃析】令工=比，那么/2-1.由L4,得/■$t8=i,即/螃8=1.故"，(久8=

XX2«切Qz)=t2XX2XX3

35.【答案】In|2xx+sinxx\4-

CC-------------------

d^fj^x^rsinxg=ln|2x^Fsinxx|+CC.

【解析】L+cos,加=/1

2xr+sinn2n+sinn

36.【答案】2ml

3_________

【解析】E^COS<?,F>=_lx(-l)+0xl+lx0=T=—1,得<i,『>=2二

1ST，。7I2+O2+I2<^HI)2+I2+O2V2V223

37.【答案】y协％觎。田”一1,其中CC为任意常数

【解析】由yy'+yy=xx,得微分方程的通解为yy=e~!ldixi[feflidn•xxddxx+CC]=e-n[Jxxen

ddxx4-

C■^二e-叫l)e政+C8=1+其中CC为任意常数一

38.【答案】一5

39.【解析】当%%=0,yy=1M,zz=-2.方程两边对:《求偏导,得1+*"—2yyzz=2%xyy

=0,

dxxdx

x

解得如=皿=1,故&加=。=2xlx(-2)-l=_5

oxxl—2xxdxx1—2x0x1

dd=i

39.【答案】2哦H嚼-z新5

【辍]令F(xx,加劝="2+产-zz,那郊'=2xi,FF'=2w,FF'=-1,FF'(1,2,5)=2,FF'(1,2,5)=

xxaazzxxdd

4,町(1,2,5)=-1.那么曲面的切平面方程是2(xx-1)+4(yy-2)-(zz-5)=0,B^xx+4yy

—zz—

5.

8(-1)",

40•【答案】2而"(“一4)

n=0-

H=0

]3r—4

得/w=iZ(—D"()"=E得i)"a—4)"

,0<x<8,

4〃=o4Dn=04'"i

三、计算题（每题5分，共50分）41.

【答案】」2

1■,

【解析】lim［二1=]而Him!1

]=limin(i+M-wmi+m-M=lim=一

XX-^XXIn（1+n）xr^Onln(l+xx)xx->xx2XXT2x2xx-^01+xx2

00x

42.【答案】

帚而

【解析】方程5~22「1_1_ddxxi

arctan>n.+w羁边对淮跳导，

1+（磐'【通康’（一城ddd』©a+财2

2xx—i2dd

—d-----做x_—w——祖-dd入xx-dd

出

2^r2+dd2xx2+dd2xx2+dd2x^+dd2xx2+dd2xx2+dd2xx2idd2ddddx^^dd

dddddddddddd

43.[答案】x^arctanV%^^-arctanVx^^4-CC

2

【解析】令Vxx,那么x份修故JaaaaccttQflnnfaaaaccttaannttdd(tt)=—J解

9;Vddx❷tt2aaaaccttaanntt:—

-6--

1+l，2-1(idtt=f同的叶J】ddt际

tt2aaaaccttaaJ(l-'a燃价

1+tt2

nntt—rtt2a(ia(iccttamntt—ttaaaaccttaannt^-

Ji+tt2

tt2aa(Kicctt(ianJitt-ttiaaaaccttaannttiC=xxQQdQccttaQnnVxx-Vn+QQQQCC血皿Vnn+CC.

44.【答案】eg+1

3-

【解析】J3ff(xx-2)ddxx=f3ff(xx-2)dd(xx-J1//(tt)ddtt=J°(1+tt2>)ddtt4-f1e的她

io

141

[0-(-13)]+(ee—1)=3+e给1=e^-.

45.【答案】yy=C4旷口+。*2”+}*,其中电，©为任意常数

【解析】原微分方程化简，得与“+、）/-ly=3ee巩对应齐次方程的特征方程为2ii

222

°'即("+1)("_1)=0'解得%=f〃「那么齐次方程的通解为yy=ccee-«+cc'ee«,其中

以故族泌任意常数.设非齐方程的特解为yy*=aaee%代入原方程，解得aa=3,那么*

1242w=Z要

_'叫其中Ca的任意常数.

2+消12

46.［答案］(2xx+)yeendd)ddxx+(2cos2yy+xxeexidd)ddyy

【解析】dddd=dd(xx24-sin2yy+e泗)=dd(xx2)+dd(sin2yy)+dd(ee曲)=2xxddxx+2cos2)夕蜘

+

比威dd(xxyy)=2xxddxx+2cos2)yddyy+eenid(yyddxx+xxddyy)=(2xx+yye泗)ddii+(2cos2yy+m^Qddyy.

47.［答案］x协5y.3z新4

iJ『

【解析】所求平面的一个法向量为H『=，1一1。=『一5『一3『=(1,-5,-3),所求平

1-12

面过点(10-1),故所求平面的方程为(xgl)-5(yg0)-3(zgl)=0,即

3z舲=4.

48.【答案】但^

于2出£2瑟面2

【解析】根据积分区域得［fe公办yJiddyyJ0Md加=八步评I。ddyy=A用(ee-l)ddyy=

D

ee~xv^2三44-1)=印1).

49.【答案】-