河北省保定市北南蔡乡中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省保定市北南蔡乡中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，是真命题的是A. B.C.的充要条件是 D.是的充分条件参考答案：DA因为，所以A错误。B当时，，所以B错误。C当时，不成立，所以C错误，选D.2.已知点P在抛物线y2=4x上，点M在圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，点N坐标为（1，0），则|PM|+|PN|的最小值为(

)A．5 B．4 C．3 D．+1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得N为抛物线y2=4x的焦点，则|PM|+|PN|的最小值等于M点到准x=﹣1的距离，进而根据M点在圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，可得答案【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为N（1，0），∴当|PM|+|PN|的最小值等于M点到准x=﹣1的距离，∵M点在圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，∴M点到准x=﹣1的距离d等于圆心（3，1）到准线的距离4减半径1，即d=4﹣1=3，故选：C【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，点到直线的距离，其中将|PM|+|PN|的最小值转化为：M点到准x=﹣1的距离，是解答的关键．3.设集合，若（为自然对数底），则A.

B.

C.

D.参考答案：C【知识点】对数的运算性质，元素与集合关系.A1

B7解析：∵=e>2,∴，故选C.【思路点拨】由对数运算性质得m值，进一步得出正确选项.4.若，则z=A．－1－i B．－1+i C．1－i D．1+i参考答案：D．故选D．

5.设集合是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A6.要得到函数，y＝sin2x的图象，可以把函数y＝（sin2x－cos2x）的图象（）

A.向左平移个单位B.向右平移个单位

C.向左平移个单位D.向右平移个单位参考答案：A7.已知实数x，y满足x2+4y2≤4，则|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|的最大值为（）A．6 B．12 C．13 D．14参考答案：B【考点】绝对值三角不等式．【分析】设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π），|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|=|2cosθ+2sinθ﹣4|+|3﹣2cosθ﹣sinθ|=4﹣2cosθ﹣2sinθ+3﹣2cosθ﹣sinθ=7﹣4cosθ﹣3sinθ=7﹣5sin（θ+α），即可得出结论．【解答】解：设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．∴|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|=|2cosθ+2sinθ﹣4|+|3﹣2cosθ﹣sinθ|=4﹣2cosθ﹣2sinθ+3﹣2cosθ﹣sinθ=7﹣4cosθ﹣3sinθ=7﹣5sin（θ+α），∴|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|的最大值为12，故选B．8.设函数，若实数使得对任意实数恒成立，则的值等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，则对任意的x∈R，f（x）+f（x-c）=1，由此得=-1，选C9.已知数列的首项为3,数列为等差数列,,则等于（

）A.0

B.3

C.8

D.11参考答案：B略10.（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中，一定成立的是（）A．a2＜ab＜b2 B．a2＞ab＞b2 C．a2＜b2＜ab D．a2＞b2＞ab参考答案：B考点： 不等式的基本性质．专题： 不等式的解法及应用．分析： 由于a＜b＜0，利用不等式的基本性质可得a2＞ab＞b2．解答： 解：∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，故选：B．点评： 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在R上的奇函数f（x）满足，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n，则f（a5）+f（a6）=

．参考答案：3【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知求得函数周期，再由数列递推式求出数列通项，求得a5、a6的值，则答案可求．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又∵，∴．∴．∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{an}满足a1=﹣1，且Sn=2an+n，∴当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1，则an=2an﹣2an﹣1+1，即an=2an﹣1﹣1，∴an﹣1=2（an﹣1﹣1）（n≥2），则，∴．上式对n=1也成立．∴a5=﹣31，a6=﹣63．∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3．故答案为：3．12.展开式中常数项为

参考答案：13.已知定义在R上的可导函数f(x)，对于任意实数x都有，且当x∈(－∞,0]时，都有，若，则实数m的取值范围为______。参考答案：(－∞，0)由题意，知，可得关于对称，令，则，因为，可得在上单调递减，且关于对称，则在上也单调递减，又因为，可得，则，即，解得，即实数的取值范围是.

14.若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程是

.参考答案：略15.若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为．参考答案：3考点：复数求模．专题：计算题．分析：先设z=a+bi，则=a﹣bi，由可得a2+b2，从而可求复数z的模解答：解：设z=a+bi，则=a﹣bi∵∴（a+bi）（a﹣bi）=a2﹣b2i2=a2+b2=9∴|z|==3故答案为：3点评：本题主要考查了复数基本概念；复数的模，共轭复数及复数的基本运算，属于基本试题16.已知，若，则的取值范围是：

.参考答案：17.sin34°sin64°+cos34°sin26°的值是

．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：由46°+26°=90°，利用诱导公式把sin64°变为cos26°，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出原式的值．解答： 解：sin34°sin64°+cos34°sin26°=sin34°sin（90°﹣26°）+cos34°sin26°=sin34°cos26°+cos34°sin26°=sin（34°+26°）=sin60°=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道综合题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知为等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式及其前项和；（Ⅱ）若数列满足求数列的通项公式.参考答案：解（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为，则，解得.

------------------------------------2分∴,

------------------------------------4分

------------------------------------6分（Ⅱ）①②-----------------------------------7分①-②得

------------------------------------8分∴,

------------------------------------10分

------------------------------------11分∴

------------------------------------12分19.已知函数f（x）=（1）当a≥1时，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a，问：曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ（O为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当0≤x＜e时，求导函数，可得f（x）在区间[0，e]上的最大值；（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P、Q的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．【解答】解：（1）∵f（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣），令f'（x）＞0，解得：0≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在[0，）递增，在（，1）递减，而f（）=，∴f（x）在区间[0，1）上的最大值为，1≤x＜e时，f（x）=alnx，f′（x）=＞0，f（x）在[1，e]递增，f（x）max=f（e）=a≥1，综上f（x）在[0，e]的最大值是a；（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1，∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴?=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，而此方程无实数解，因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt．（*），考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx++1＞0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，当t→+∞时，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．∴对于a＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．20.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点（）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设直线l:y=kx+t与圆（1＜R＜2）相切于点A，且l与椭圆E只有一个公共点B.①求证：；②当R为何值时，取得最大值？并求出最大值．参考答案：略21.在直角坐标系xOy中，直线l1：x=﹣2，曲线（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1及曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为（ρ∈R），设l2与曲线C的交点为M，N，求△CMN的面积及l1与l2交点的极坐标．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由直线L1：x=﹣2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出直线L1的极坐标方程，由曲线（θ为参数）的圆心C（0，2），半径r=2，能求出曲线C的极坐标方程．（2）联立，得，由曲线C是半径为r=2的圆，得CM⊥CN，由此能求出△CMN的面积及l1与l2交点的极坐标．【解答】解：（1）∵直线L1：x=﹣2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴直线L1的极坐标方程为：ρcosθ+2=0，∵曲线（θ为参数）的圆心C（0，2），半径r=2，∴曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）联立，得或∴，∵曲线C是半径为r=2的圆，∴CM⊥CN，∴，解方程组得两直线交点的极坐标为．22.已知函数f（x）=k（x+1）2﹣ln（x+1）（k∈R）．（1）当k=时，求函数f（x）的单调区间与极值；（2）若x轴是曲线y=f（x）的一条切线，求实数k的值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】（1）当k=时，化简f（x）=（x+1）2﹣ln（x+1），从