2023学年完整公开课版等比数列2

2.4等比数列人民教育出版社A版必修5

马登盛蒲世吉主要内容等比数列的通项公式等比数列的定义等比数列的性质等比中项等比数列的通项与指数函数关系观察1细胞分裂124816

半衰期

放射性物质镭的半衰期为500年，如果从现有的１克镭开始，每隔500年，剩余量依次为观察2银行存钱本利和---复利

我国银行定期储蓄中的自动转存业务,如果不提取存款，也不扣除利息，那么在实际上可以按复利支付利息.

把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.本利和=本金(1+利率)存期观察3

按活期存入10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，五年内各年末的本利和分别是时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年10000100001.0198第2年100001.0198100001.01982第3年100001.01982100001.01983第4年100001.01983100001.01984第5年100001.01984100001.01985各年末的本利和（元）组成了一个数列1，2，4，8，16，，100001.0198，100001.01982，100001.01983上述例子构成三个不同的数列这些数列有什么共同特点？

这些数列的共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数.

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列（geometricsequence),这个常数叫做等比数列的公比（commonratio)，公比通常用字母q表示（）.定义特征：（1）每项均不为0，且q≠0；（2）各项均为负数，或均为正数，或正负相间;(3)当q=1时各项都相等，是非零的常数列.2.3.1.等比数列的符号表示其中q0或递推公式是公比为q=的等比数列是公比为q=的等比数列例如：（1）.1，2，4，8，16，，（3）100001.0198，100001.01982，100001.01983公比q=2公比q=1/2公比q=1.0198等比中项

由三个数a，G，b组成的等比数列叫做最简单的等比数列.此时G叫做a与b的等差中项（Arithmeticmean）

一个等比数列{an}的任意相邻的三项也是最简单的等比数列：三个数a、G、b成等比数列的充要条件例1求以下各题中两数的等比中项：（1）1和8；（2）(a+b)2与(a-b)2

(3)与解：1）G=2）3）例2：设均为非零实数，求证：成等比数列且公比为d.证：关于的二次方程有实根，所以非零实数a,b,c成等差数列.探究

下面等比数列的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？1）an=2n-11).1，2，4，8，16，，3).100001.0198，100001.01982，100001.019833)an=100001.0198n2)an=10解：等比数列的通项公式

一般地，如果等比数列{an}的首项是a1,公比是q，根据等比数列的定义有：an/an-1=qa2=a1qan=qan-1a3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3所以：an=a1qn-1通项公式写出前面例子中等比数列的通项公式探究

在直角坐标系中，画出通项公式为an=2n-1的数列的图象和函数y=2x-1图象，你发现了什么？

在直角坐标系中，画出通项公式为an=（1/2）n-1的数列的图象和函数y=（1/2）x-1图象，并观察它们之间的关系.函数关系等比数列的图象（1）数列：1，2，4，8，16，…2012345678910246810121416180●●●●●y=2x-1等比数列的图象（2）数列：12345678910123456789100●●●●y=（1/2)x-1等比数列的通项公式还可以写成an=a1qn－1

当q是不为1的正数时，它是一个非零常数与一个指数函数的乘积.y=c·qx例3．已知数列{an}的通项公式为an=3×4n，试问这个数列是等比数列吗？解：因为当n≥2时，

所以数列{an}是首项a1=12、公比q=4的等比数列.等比数列{an}的三种判定方法

例4.某种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？

解:设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留的量是，由条件可得，数列{an}是一个等比数列，其中a1=0.84，q=0.84设an=0.5，则0.84n=0.5两边取对数，得nlg0.84=lg0.5用计算器可得n4答：这种物质的半衰期大约为4年.通项公式的应用

例5.根据框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？解：递推公式的应用数列的前5项分别为可得递推公式递推公式的应用因此这个数列是等比数列，其通项公式是答：这个数列的第1项和第2项分别是

例6.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.解：设这个等比数列的第1项是a1,公比是q，那么a1q2=12，a1q3=18两式相除得进而得例7．已知等比数列{an}中，a5=20，a15=5，求a20.解：由a15=a5q10，得所以因此或分析：利用方程求出公比即可.

例8.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论？证明你的结论.anbnan·bn判断{anbn}是否是等比数列123是

若{an}、{bn}是项数相同的等比数列，则{anbn}是等比数列.证明：结论设an=a1qn-1，bn=b1pn-1

（其中p、q为不为零的常数）（非零常数）所以{anbn}是等比数列.上述结论推广若{an}、{bn}是项数相同的等比数列，则1）{anbn}是等比数列.2）若s，t不等于零，则{(s·an)(t·bn)}是等比数列.3）若s，t不等于零，则是等比数列.若数列{an}是公比为q的等比数列,则当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;

当q>1,a1<0,或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;

当q=1时,{an}是常数列;

当q<0时,{an}是摆动数列;(2)an≠0,且anan+2>0(3)an=amqn-m(n,m∈N*).(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq,(5)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时，

am,an,ap成等比数列.等比数列的性质(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an•bn}是公比为qq′的等比数列.(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.(10)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.

例9.已知等比数列{an}，对于正整数m,n,s,t,如果m+n=s+t，求证：aman=asat证明：aman=a1qm-1a1qn-1=a12qm+n-2因为m+n=s+t，所以aman=asatasat=a1qs-1a1qt-1=a12qs+t-2类比等差数列相应的性质.它们的区别什么？

例10.在等比数列中，，求该数列前七项之积.∴前七项之积解：例11：在等比数列中，已知，求

解：∵∴

解：根据题意知b1，b2，b3成等比数列,b22=b1b3，b1b2b3=1/8,得b2=1/2

由题意得b1+b3=17/8,b1b3=1/4b1=2,b3=1/8,或b1=1/8,b3=2a1=-1，a2=1，a3=3或a1=3，a2=1，a3=-1

通项an=2n-3，或an=5-2nA.成等差数列不成等比数列，B.成等比数列不成等差数列C.成等差数列又成等比数列，D.既不成等差数列又不成等比数列3.若a1a9=64，且a3+a7=20，则a11=________自我练习1.若a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=_________

例13.三角形的三边成等比数列，求公比q的取值范围.解：设三边长为：a,aq,aq2(a,q>0)，则解得：qR故公比q的取值范围：例14．在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数.解：依题意，a1=4，

由等比数列通项公式得所以

因此插入的3个数依次是2，1，

或－2，1，－

例15.已知正项等比数列{an}中，

a1a5+2a2a6+a3a7＝100，a2a4-2a3a5+a4a6=36求数列的通项公式解：等比数列{an}中，a1a5=a2a4=a32，a2a6=a3a5，a3a7=a4a6=a52，代入已知条件中得a32+2a3a5+a52=100，a32-2a3a5+a52=36，a3+a5=10，a3-a5=±6，各项为正数解得a3=2，a5=8或a3=8，a5=2通项公式为an=2n-2或an=26-n1.某人于1996年7月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，1997年7月1日他将到期存款的本息一起取出，再加a元后，还存一年的定期储蓄，此后每年