2021届全国高考数学模拟试卷(文科)(五)(全国Ⅲ卷)附答案解析

2021届全国高考数学模拟试卷（文科）（五）（全国川卷）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设i是虚数单位，复数z满足尊出嚼解-既=』#篇，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.若集合4={-3,-1,1,3},B={X|X2-X-6<0},则4nB=()

A.{-3,—1,1}B.{-1,1,3}C.{-3}D.{3}

3.已知数列{%}中，的=1,取=3且对九6N*,总有an+2=%i+i-%i，则&5=()

A.1B.3C.2D.-3

4.直线Z与圆％2+y2+2%_4y+1=0相交于4B两点，若弦48的中点为抛物线/=4y的焦点,

则直线Z的方程为()

A.2x+3y-3=0B.x-y-1=0

C.%+y-1=0D.%-y+1=0

5.下列结论正确的是()

A.若％>10,则％>10B.若/>25,则％>5

C.若%>y,则％2>y2D.若％2>则印>|y|

6.已知两条不重合的直线相、n,两个不重合的平面a、B，有下列四个命题

①若m〃n,mua,则a/a；

②若几la,m1£且?n〃几则a〃£：

③若mua,nca,m///?,九〃夕，则a〃伙

④若aJ"氏aA/?=m,且九u氏n1m,则九_La.

其中正确命题为（）

A.①②B.②④C.③④D.②③

7.在打击拐卖儿童犯罪的活动中，警方救获一名男孩，为了确定他的家乡，警方进行了调查:

知情人士4说,他可能是四川人，也可能是贵州人;

知情人士B说,他不可能是四川人;

知情人士C说,他肯定是四川人;

知情人士。说，他不是贵州人.

警方确定，只有一个人的话不可信.

根据以上信息，警方可以确定这名男孩的家乡是（）

A.四川B.贵州

C.可能是四川，也可能是贵州D.无法判断

8.已函数-2gsn2等+V3(co>0),其图象与支轴的相两交的离为全则在区［0,刍上

的小值为（）

A.-2B.2C.-V3D.-2V3

9.现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是（）

A.求两个正数a,b的最小公倍数

B.判断两个正数a,b是否相等

C.判断其中一个正数是否能被另个正数整除

D.求两个正数a,b的最大公约数*

10.已知椭圆G；亍+y2=1和双曲线-y2=l（m>0)的

离心率之积为1,则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）

,7TnC九57r

A------------------RF，_巴C-6'TD£史

，民33U

%66-3,3

4

11.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为三则它的正视图

为（)

1

网规圉

A.吗

13

倚视图

12.设函数,翼城=迫是定义在R上的函数，其中真嫌的导函数为步飞磁，满足

磕

¥入磁鬣磁对于塞图蹙恒成立，则（）

A.直琥:曲獭建典嘴Y沪融獭

B.瞪演点和期<

C•贯常常西麒飘辔嗨加雄明篇晦

D•避常Y或翼蹲“£承期国箫*步獭

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知sina=-g,且a是第四象限角，则tana=.

若数据x,的平均数为元，贝功的平均数为一

14.xrx2>3...»0lj3%i+5,3X2+5...3+5

15.已知△4BC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,乙4=60。，NB=45°,a=3,则b=

16.设P为等边△4BC所在平面内的一点，满足方=CB+2CA<若4B=1,则刀•丽的值为

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知函数/（%）=logmxO>0且6*1），点（an，2n）在函数f（x）的图象上.

（I）若%=an•/（即），当m=当时，求数列护工的前n项和又；

（11）设金=an-Iog2an,若数列｛5｝是单调递增数列，求实数m的取值范围.

18.每年的3月21日被定为“世界睡眠日”，拥有良好睡眠对人的健康至关重要，一夜好眠成为很多

现代入的诉求.某市健康研究机构于2018年3月14日至IJ3月20日持续一周，通过网络调查该市20

岁至60岁市民的日平均睡眠时间7(单位：小时)，共有500人参加调查，其中年龄在区间［40,60］

的有200人，现将调查数据统计整理后，得到如下频数分布表:

500位市民日平均睡眠时间的频数分布表

日平均睡眠时间分组[3,4)[4,5)[5,6)[60,7)[7,8)[8,9)[9,10]

年龄在区间［20,40)市民

20375271544818

的频数

年龄在区间［40,60)市民0132849564212

的频数

(1)根据上表，在给定坐标系中画出这500名市民日平均睡眠时间的频率分布直方图；

(2)填写下面2x2列联表，并根据2x2列联表判断是否有99%的把握认为该市20岁至60岁市民

的日平均睡眠时间与年龄有关；

年龄在区间［20,40)合计

年龄在区间［40,60)

日平均睡眠时间少于7小时

日平均睡眠时间不少于7小

时

合计

附：

P(K2>k)0.100.010.001

k2.7066.63510.828

K2,其中九一a+b+c+d.

-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

频军

028

026

024

022

020

0.1S

0.16

0.14

0.12

0.10

0.0S

0.06

0.04

0.02--r

4^-

。4~5678910日平均施眠时间(小时)

20岁至60岁市民曰平均睡眠时间的频率分布直方图

19.如图所示，在三棱锥4-BOC中，OA1底面B0C/04B=

AB=AC=29BC=内动点D在线段上.

(1)求证：平面COD_L平面4。8；

(2)当0。，48时，求三棱锥C-OB。的体积.

20.已知椭圆C：捺+，=1(。>6>0)的离心率为蜉点(27片)在椭圆。上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线1不过原点0目与坐标轴不平行，直线，与椭圆C相交于A,B两点，线段4B的中点为M,证

明：直线OM的斜率与直线的勺斜率的乘积是定值.

21.已知建也媵,，函数¥电前二・声猴：一礴:，若.飕麻二1

(1)求微的值并求曲线解=¥萼磁在点ass麴处的切线方程解=敏:感；

(2)设域那=出售第感，求颍障在上的最大值与最小值.

22.以直角坐标系的原点。为极点,工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2),

点M的极坐标为(1常)，若直线/过点P,且倾斜角为士圆C以M为圆心，1为半径.

ZO

（1）求直线I的参数方程和圆c的极坐标方程：

（2）设直线2与圆C相交于4B两点,求|P*•|PB|.

23.己知函数/。）=品.

（1）求证：/（X）在区间（一8,+8）上为单调减函数；

（2）已知关于x的不等式/'（丘2）一/（1一2x）>0在区间［1,2］内有解，求实数k的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：试题分析：1#?=史上'=三*=邈二邈=/7=-：1#六•复数z对应的点为上工既，在第

S-BS-S鬟一射

二象限，故选B.

考点：复数的几何意义，复数的代数运算。

点评：简单题，从已知出发，将z解出，根据实部、虚部符号，确定对应点所在象限。

2.答案：B

解析：解：因为集合8={x|%2-X-6W0}={x|-2WxW3},

又集合4={-3,-1,1,3},

所以4nB={-1,1,2).

故选：B.

先利用一元二次不等式的解法求出集合B，然后由集合交集的定义求解即可.

本题考查了集合交集定义的理解和应用，一元二次不等式的解法，考查了运算能力，属于基础题.

3.答案：C

解析：解：•.,数列{an}中，即=1,a?=3且对neN*,总有cin+2=an+i-an,

・•・。3=02—=3—1=2,

-02=2_3=_1,

诙=。4一。3=—1—2=-3,

06=二-3一(—1)=—2,

a7=a6-a5=-2-(-3)=1,

as=a7-a6=1—(—2)=3,

数列是周期为6的周期数列，

a15—a3=2.

故选：C.

利用数列递推公式求出数列的前8项，推导出数列{即}是周期为6的周期数列，由此能求出由5=。3・

本题考查数列的第15项的求法，考查递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档

题.

4.答案：D

解析：解：由抛物线方程知2P=4,p=2,

••・抛物线焦点F坐标为(0,1),

当直线1斜率不存在时,x=0带入圆方程求得y=2土遮,则2+)；2-百=2,此时4B的中点不在尸点，

•・•直线/的斜率存在，设直线方程为y=kx+l,带入圆的方程得，

(fc2+l)x2+(2-2/c)x-2=0,

•••弦48的中点F坐标为(0,1),

知+必)=需=。，

•••k=1,

二直线1的方程为y=x+1,即x—y+l=0.

故选：D.

利用抛物线方程求得焦点坐标，即4B的中点，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理表示出

/+外求得匕则直线方程可得.

本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系.解决此类问题常设出直线方程与圆锥曲线联立，利用

韦达定理采取设而不求的方式，来解决问题.

5.答案：D

解析：解：若x210，则x>10或％=10,故A错误；

若/>25,则％>5或x<-5,故B错误；

若0>x>y,则/<、2,故c错误；

若*2>y2,则国>|训,故。正确；

故选：D

根据不等式的基本性质及二次不等式的解法，不等式的含义，逐一分析四个答案的真假，可得答案.

本题考查的知识点是不等式的基本性质，简单不等式的转化，熟练掌握不等式的基本性质是解答的

关键.

6.答案：B

解析：解：对于①，若m〃n,mua,则n〃a或者JIua；故①错误；

对于②，若n_La,m1且m〃n,得到ml.a,贝ija〃3；故②正确；

对于③，若mua,nua,m〃氏n///?,则a与夕可能相交；故③错误：

对于④，若a1aC\p=m,且nu0,nIm,满足两个平面垂直的性质定理，所以n1a.故④正

确；

故选B

利用线面平行、线面垂直、面面平行的判定定理和性质定理对四个命题分别分析解答.

本题考查了线面平行、线面垂直、面面平行的判定定理和性质定理的运用：熟练掌握线面平行的判

定定理和性质定理是关键.

7.答案：A

解析：解：第一步，找到突破口B和C的话矛盾，二者必有一假(4B也矛盾，解题思路一样).

第二步，看其余人的话，4和。的话为真，因此男孩是四川人.

第三步，判断突破口中两句话的真假，C的话为真，B的话为假，即男孩为四川人.

故选:A.

根据知情人所说话情况，可以得出结果.

本题考查简单的合情推理，属于容易题.

8.答案：C

解析：解：三角函公式可得/()=sio)x-2V3si2^+V3

2szi(2+—6[—V32],

•••图象与％轴相两个交点的离为5，

,•G[%二2x+je5-?]'

•・•/•)在区间⑼刍上的最小值-同

71rV3

••・sn(2x4--6[——,1,

•••(X)=sin(x+)

函数的周期7==普，解得3=,

2a)

故选：

化简已知函数可得(=2SM23X+9,由象和期性可得3值，由化的围和三函最值得.

本题考查三角函数恒变，及角函的周期性和最值，属中题.

9.答案：D

解析：解：根据题意执行如图所示的程序框图知，

该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题.

故选：D.

根据程序框图知该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题.

本题考查了程序框图的应用问题，是基础题.

10.答案：C

解析：解：设椭圆的离心率为则e-争

双曲线的离心率为02,则e2=帚，

・•・椭圆G：9+y2=1和双曲线捻72=1（爪>0）的离心率之积为1,

•••6^2=—""n+I=1>解得m=V3>

1z2m

•••双曲线Q的两条渐近线分别为y=会或y=-会，

二双曲线Q的两条渐近线的倾斜角分别为擀或

故选：C.

根据椭圆与双曲线的方程，求出离心率e「e2,即可得6送2=苧.［亘=1，即可求得m的值，即

可求得渐近线方程，结合直线的斜率与倾斜角关系，即可求解.

本题主要考查了椭圆与双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题.

11.答案：B

解析：由几何体的侧视图和俯视图可知：该几何体的下方必是一个棱长为1的正方体，其体积为1；

又已知其体积为4三!，所以上方几何体的体积必为1土，而由侧视图可知上方几何体的高为1,故其底

鬻笔

面积应为1的四棱锥体才行，如图：

故知其正视图应选B.

考点：1.三视图.2.几何体的体积.

12.答案：A

解析：试题分析：转r项=责弱第;其翼燧=砌［贲畛二翼朗y网,所以F(x)在E上是减函数,

&.At.s!c

</獭.观鲍嗨V尸舆娜

考点：商的导数，利用导数研究函数的单调性.

点评：解本小题的关键是利用导数研究出函数f(x)在R上是减函数，从而可得串翳触:幸赐醺，

，髀蒯颗W,翦獭.

13.答案：

解析：解：・「a是第四象限角，

・•・cosa>0,tana<0.

vsi.na=-4:.cosa=3

4

sina_74

:、tana=----=k=——.

cosa-3

5

故答案为：—

由已知利用同角三角函数基本关系，求出cosa,进而求出tana的值.

本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，解题时要注意角的范围，属于基础

题.

14.答案：31+5

解析：解：由题意得，亍=X虫?Wt+F,

n

则3%+5,3X2+5,3xn+5的平均数为：

(3%I+5)+(3%2+5)+(3%3+5)+…+(3%九+5)

n

=运色虫.甘…辿+5=3元+5,

n

故答案为：3土+5.

根据平均数的公式可得土=……+…+?代入(3石+5)+(3必+5)+(3与+5)+...+(3事+5)化简求值即可.

nn

本题考查了平均数的公式，以及计算化简能力，属于基础题.

15.答案:V6

解析：

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题.

由已知利用正弦定理即可解得b的值.

解：•.,乙4=60。，/.B=45°,a=3,

•••由正弦定理一、=一4,可得：匕=喏=孝=遍.

stnAsinBsinA也

2

故答案为：＞/6«

16.答案：3

解析：解：如图，四边形CBPD为平行四边形.

TA-PB=(PD+DA)-PB=(BC+AJC)-2AC=2BC-A£+

2AC2=2x1x1xcos600+2xl2=3>

故答案为：3

利用向量加法的几何意义和运算法则，转化为品，冠的运算.

本题考查向量数量积的运算，结合运算法则进行转化是关键.

17.答案：解：(I)由题意可得2n=logman,即有册=m2%

7nn

bn=an-=2,2n,

n

当m=当时，bn=2n-(|).

Sn=2q+2.21+2.3+…+2n・©n①

2=26+2,2.套+2,3*+.“+2小(非+@

②-①,可得|Sn=|+|+捺-1-----2n.(3，+1

=I：—；"，—2n-(^)n+1=1—(|)n—2n-(^)n+1

即有%=|—等；

2n

(H)cn=an•log2ali=m•2nlog2m,m>0且mH1.

2n+2

cn+1=m•2(n+l)log2m,

若数列｛7｝是单调递增数列，

则2=$.至±11=症.”1>1,

2n

cnm2nn

i

即为？n2＞」-=1

n+l,

由于可得一",

解得小＞1或m＜-1.

由m>0H1,可得m>1.

则实数小的取值范围是(1,+8).

解析：(I)由题意可得册=m2n,由对数的运算性质可得%=2n•G)71.由错位相减法，即可得到数

列｛为｝的前n项和Sn；

(II)由对数的运算性质求出7，cn+1,若数列｛金｝是单调递增数列，则蜉＞1，由恒成立思想，解

不等式即可得到m的范围.

本题考查等比数列的求和和数列的求和方法:错位相减法，同时考查数列的单调性的判断，考查运

算能力，属于中档题和易错题.

18.答案：解：⑴所调查解0位20岁至60岁市

民日平均睡眠时间的频率分布直方图如下所

示：

(2)由该市年龄在区间［20,60］的市民日平均

睡眠时间的频率分布直方图与年龄在区间

［40,60］的市民日平均睡眠时间的频率分布表

得2x2列联表.

年龄在区间［20,40)合计

年龄在区间［40,60)

日平均睡眠时间少于7小时18090270

日平均睡眠时间不少于7小

120110230

时

合计300200500

・・・/的观测值/_500(080X110-120X90)2_250〜

300x200x170x230123~10.870

由于10,870>10.807

故有99%的把握认为该市20岁至60岁居民的日平均睡眠时间与年龄有关.

解析：（1）利用频率分布表，转化求解频率分布直方图即可.

（2）完成联列表，求解即可判断是否有99%的把握认为该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与

年龄有关；

本题考查频率分布直方图，独立检验的应用，考查计算能力.

19.答案：证明：（1）OA_L底面BOC,力。1OC,AO1OB.

vNOAB=/.OAC=30°,AB=AC=2,

AOC=OB=1.又BC=V2，OC1OB,

又。C_L4。，AOr\OB=0,

OC_L平面40B.

•••。。＜3平面（70。，二平面。。。_1平面4。8.

解：（2）T0。_L4B,•••BD=1,BD=-,OD=—.

-2,2

〃11V31.V3

•••VC-OBD=5X2XTX2X1=24,

解析：（1）推导出AOLOC,AO1OB,OCLOB,从而。Cl平面4。8,由此能证明平面COD1平面

AOB.

（2）推导出。。14B,BD=1,BD=3,OD=与由此能求出三棱锥C-OBD的体积.

本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方

程思想、数形结合思想，是中档题.

20.答案：（1）解：由题意得，离心率e=£=*,所以W=2

—a3a29

因为Q2=/+C2,所以m=1,

a29

所以椭圆C的方程为乙+、=1,

9b2b2

将点（2夜,》代入椭圆方程得是盛+表=1,所以=1.

所以椭圆C的方程为＜+y2=i.

（2）证明：根据题意设直线/的方程为y=kx+m（kW0,7nH0）,

代入葛+y2=i,得（i+9k2）/_|_18km%+9m2-9=0,

所以巾2一9好一1vo.

设%)，8。2/2)，则+x2=一^^，y1+丁2=kg+x2)+2m=-^7+

02m

2加二诉.

所以线段4B的中点为M的坐标为(一部,就).

m0

所以直线0M的斜率为k°M=上照一=一一

~T^-09k

所以/COM•&=_表/=一a

即直线0M的斜率与直线I的斜率的乘积是定值

解析：(1)利用离心率，结合椭圆经过的点，求解a,b,即可得到椭圆方程.

(2)证设直线，的方程为y=kx+m(kH0,?n=0),代入椭圆方程，设4(与,%)，B(x2,y2),利用韦

达定理，求解线段4B的中点为M的坐标，求解直线0M的斜率，通过求解直线0M的斜率与直线/的斜

率的乘积推出经过即可.

本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析

问题解决问题的能力，是中档题.

21.答案：⑴域礴=重-4

(2)呦:燧在嬲口I上有最大值1，有最小值嘉.

,O

解析：试题分析：解：(1)舞播=兽请-森阚，由黄期=［得胃-刎i=L所以谢=：1;

当磔=：!时，黄磷：=斓一谓，京颁=孰又,：奠颂=工，

所以曲线解=¥豫磁在©，庚2制处的切线方程为展-尊=3总《得-瀚，即薮=富-16分

竺

(2)由(1)得微璘=嘎点-=因归一

••4电磁在1奥可上有最大值1，有最小值号•-12分

,嗨

考点：导数的运用

点评：主要是根据导数的几何意义求解切线方程以及函数的最值，属于中档题。

22.答案：解：(1)已知点