原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 专题七 概率与统计配套课件

专题七

概率与统计题型一概率与统计

概率与统计的综合题，自从2005年走进高考试题中，就以崭新的姿态，在高考中占有极其重要的地位，每年出现一道大题(都有一定的命题背景，其地位相当于原来的应用题).连续五年都为一题多问，前面考统计，后面考概率，预计这一趋势在接下来的全国高考中会得到延续！

[例1](2019年全国Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(1)解：X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β),∴X的分布列为(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，

【名师点评】(1)高考中经常以统计图的形式显示相关的数据信息，以统计图为载体来考查概率的相关问题.本小题主要考查概率、分布列等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力；

(2)散点图与线性回归方程的有关知识，是高考考试的重要知识点，因此是高考命题的一种重要题型，要注意熟练掌握.统计问题最容易出错的两个方面：公式记错和计算出错.【互动探究】

1.(2016年全国Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图7-1：图7-1

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？Y4500P1(2)①当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y的分布列为则E(Y)＝4500×1＝4500；

②当建设4个车间且需求量50≤x<100时，则有3个车间正常运行，有1个车间闲置，此时的净利润Y＝1500×3－500＝4000(万元)；Y40006000P0.50.5需求量x≥100时，则4个车间正常运行，此时的净利润Y＝1500×4＝6000(万元)；则Y的分布列为则E(Y)＝4000×0.5＋6000×0.5＝5000；

③当建设5个车间且需求量50≤x<100时，则有3个车间正常运行，有2个车间闲置，此时的净利润Y＝1500×3－500×2＝3500(万元)；需求量100≤x<200时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置，此时Y＝1500×4－600×1＝5400(万元)；需求量x≥200时，则5个车间正常运行，此时的净利润Y＝1500×5＝7500(万元)；Y350054007500P0.50.30.2则Y的分布列为则E(Y)＝3500×0.5＋5400×0.3＋7500×0.2＝4870综上所述，要使该工厂商品A的月利润为最大，应建设4个生产线车间.题型二离散型随机变量的期望与方差

随机变量的分布列与数学期望紧密相连，只有知道随机变量的分布列，才能够计算出随机变量的数学期望，它们之间是层层递进的关系.因此，这类试题经常是以两个小题的形式出现，第一问通常是为第二问作铺垫的.

[例2](2017年天津)从甲地到乙地要经过

3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)【规律方法】(1)会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率.

(2)首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望.

(3)离散型随机变量分布列的性质p1＋p2＋…＋pn＝1，这条性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具，希望同学们在求分布列时尽量将每个变量的概率求出，而不要偷懒，否则将失去自我检查的机会.【互动探究】

2.“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践.某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品A，B，C的开发.图7-2

(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图7-2.若饮品A的百件利润为400元，饮品B的百件利润为300元，饮品C的百件利润为700元，请估计三种饮品的平均百件利润； (2)为进一步提高企业利润，企业决定对饮品C进行加工工①求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；

②若工艺改进成功则可为企业获利80万元，不成功则亏损30万元，若饮品研发成功则获利150万元，不成功则亏损70万元，求该企业获利ε的数学期望.题型三独立性检验

虽然广东高考暂时没有涉及独立性检验，但全国各省的试卷多次以解答题形式考查，体现新课程的理念，因此我们在备考时也应该引起足够的重视.

[例3]在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪调查，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试列联表：项目分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45

(1)请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”； (2)①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列(概率用组合数算式表示)；P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. (下面的临界值表供参考)项目分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045解：(1)

∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为1525＝0.6，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则Y～B(20,0.6)，

故E(Y)＝20×0.6＝12，D(Y)＝20×0.6×(1－0.6)＝4.8.

【规律方法】(1)本题是独立性检验问题，关键是由2×2列联表确定a，b，c，d，n的值.高考对独立性检验这部分的要求是了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.在复习中，不可小视.似计算要精确到小数点后三位，要选择可选择满足条件P(K2>k0)＝α的k0作为拒绝域的临界值.【互动探究】

3.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]六组，并作出频率分布直方图(如图7-3)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.项目课外体育不达标课外体育达标合计男60女110合计图7-3

(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？P(K2≥k0)0.150.050.0250.0100.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828

(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分