高斯积分法讲义

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4.5.1一般理论

求积公式含有个待定参数当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次.如果适当选取有可能使求积公式具有次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.当前第2页\共有56页\编于星期三\12点为具有一般性，研究带权积分这里为权函数，类似(1.3)，求积公式为（5.1）为不依赖于的求积系数.使（5.1）具有次代数精度.为求积节点，可适当选取

定义4如果求积公式(5.1)具有次代数精度，则称其节点为高斯点，相应公式(5.1)称为高斯求积公式.当前第3页\共有56页\编于星期三\12点根据定义要使(5.1)具有次代数精度，只要对（5.2）当给定权函数，求出右端积分，则可由(5.2)解得令(5.1)精确成立，即当前第4页\共有56页\编于星期三\12点

例5（5.3）

解令公式(5.3)对于准确成立，试构造下列积分的高斯求积公式：得（5.4）当前第5页\共有56页\编于星期三\12点由于利用(5.4)的第1式，可将第2式化为同样地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分别得从上面三个式子消去有当前第6页\共有56页\编于星期三\12点进一步整理得由此解出从而当前第7页\共有56页\编于星期三\12点这样，形如(5.3)的高斯公式是由于非线性方程组(5.2)较复杂，通常就很难求解.故一般不通过解方程(5.2)求，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.当前第8页\共有56页\编于星期三\12点

定理5是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过的多项式带权正交，（5.5）

证明即插值型求积公式(5.1)的节点必要性.设则当前第9页\共有56页\编于星期三\12点是高斯点，因此，如果精确成立，因即有故(5.5)成立.则求积公式(5.1)对于充分性.用除，记商为，余式为，即,其中.对于由(5.5)可得（5.6）当前第10页\共有56页\编于星期三\12点由于求积公式(5.1)是插值型的，它对于是精确的，即再注意到知从而由(5.6)有当前第11页\共有56页\编于星期三\12点可见求积公式(5.1)对一切次数不超过的多项式均精确成立.因此，为高斯点.定理表明在上带权的次正交多项式的零点就是求积公式(5.1)的高斯点.有了求积节点，再利用对成立，的线性方程.解此方程则得则得到一组关于求积系数当前第12页\共有56页\编于星期三\12点下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项.利用在节点的埃尔米特插值于是也可直接由的插值多项式求出求积系数即当前第13页\共有56页\编于星期三\12点两端乘，并由到积分，则得（5.7）其中右端第一项积分对次多项式精确成立，故由于（5.8）由积分中值定理得(5.1)的余项为关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有：当前第14页\共有56页\编于星期三\12点

定理6

证明它是次多项式，因而是次多项式，注意到高斯求积公式(5.1)的求积系数全是正的.考察故高斯求积公式(5.1)对于它能准确成立，即有上式右端实际上即等于从而有当前第15页\共有56页\编于星期三\12点由本定理及定理2，则得

推论

定理7定理得证.高斯求积公式(5.1)是稳定的.设即则高斯求积公式(5.1)收敛，当前第16页\共有56页\编于星期三\12点4.5.2高斯-勒让德求积公式

在高斯求积公式(5.1)中，由于勒让德多项式是区间上的正交多项式，因此，勒让德多项式的零点就是求积公式(5.9)的高斯点.形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.区间为则得公式若取权函数（5.9）当前第17页\共有56页\编于星期三\12点令它对准确成立，即可定出这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式为是中矩形公式.若取的零点做节点构造求积公式再取的两个零点构造求积公式当前第18页\共有56页\编于星期三\12点令它对都准确成立，有由此解出三点高斯-勒让德公式的形式是表4-7列出高斯-勒让德求积公式(5.9)的节点和系数.从而得到两点高斯-勒让德求积公式当前第19页\共有56页\编于星期三\12点当前第20页\共有56页\编于星期三\12点由(5.8)式，这里是最高项系数为1的勒让德多项式.由第3章(2.6)及(2.7)公式(5.9)的余项当前第21页\共有56页\编于星期三\12点得（5.10）当时，有它比区间上辛普森公式的余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值.当积分区间不是，而是一般的区间时，只要做变换当前第22页\共有56页\编于星期三\12点可将化为,（5.10）对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.这时当前第23页\共有56页\编于星期三\12点

例6用4点()的高斯-勒让德求积公式计算

解先将区间化为，根据表4-7中的节点及系数值可求得由(5.11)有当前第24页\共有56页\编于星期三\12点4.5.3高斯-切比雪夫求积公式若且取权函数则所建立的高斯公式为（5.12）称为高斯-切比雪夫求积公式.当前第25页\共有56页\编于星期三\12点由于区间上关于权函数的正交多项式是切比雪夫多项式，因此求积公式(5.12)的高斯点是次切比雪夫多项式的零点，即为(5.12)的系数使用时将个节点公式改为个节点，（5.13）于是高斯-切比雪夫求积公式写成当前第26页\共有56页\编于星期三\12点由(5.9)，余项带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分.（5.14）当前第27页\共有56页\编于星期三\12点

例7用5点()的高斯-切比雪夫求积公式计算积分

解当时由公式(5.13)由(5.14)式，误差这里可得当前第28页\共有56页\编于星期三\12点4.6数值微分数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值.当前第29页\共有56页\编于星期三\12点

4.6.1中点方法与误差分析

按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式其中为一增量，称为步长.

（6.1）当前第30页\共有56页\编于星期三\12点后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均.但它的误差阶却由提高到较为常用的是中点公式.为利用中点公式计算导数的近似值，首先必须选取合适的步长，为此需要进行误差分析.分别将在处做泰勒展开有当前第31页\共有56页\编于星期三\12点代入中点公式得从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确.其中且（6.2）当前第32页\共有56页\编于星期三\12点再考察舍入误差.按中点公式，当很小时，因与很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失.因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的.例如，用中点公式求在处的一阶导数取4位数字计算.结果见表4-8(导数的准确值).当前第33页\共有56页\编于星期三\12点从表4-8中看到的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差.则计算的舍入误差上界为这是因为当及分别有差入误差及若令当前第34页\共有56页\编于星期三\12点它表明越小，舍入误差越大，故它是病态的.用中点公式(6.1)计算的误差上界为要使误差最小，步长不宜太大，也不宜太小.其最优步长应为当前第35页\共有56页\编于星期三\12点4.6.2插值型的求导公式对于列表函数运用插值原理，可以建立插值多项式作为它的近似.由于多项式的求导比较容易，我们取的值作为的近似值，这样建立的数值公式（6.3）统称插值型的求导公式.当前第36页\共有56页\编于星期三\12点即使与的值相差不多，与导数的真值仍然可能差别很大.导数的近似值因而在使用求导公式(6.3)时应特别注意误差的分析.依据插值余项定理，求导公式(6.3)的余项为式中当前第37页\共有56页\编于星期三\12点但如果限定求某个节点上的导数值，那么第二项中由于是的未知函数，所以对随意给出的点，误差是无法预估的.因式变为零，这时余项公式为（6.4）下面仅考察节点处的导数值并假定所给节点是等距的.当前第38页\共有56页\编于星期三\12点1.两点公式设已给出两个节点上的函数值对上式两端求导，记，有做线性插值于是有下列求导公式：当前第39页\共有56页\编于星期三\12点利用余项公式(6.4)知，带余项的两点公式是当前第40页\共有56页\编于星期三\12点2.三点公式设已给出三个节点上的函数值，做二次插值令上式可表示为当前第41页\共有56页\编于星期三\12点两端对求导，有（6.5）式中撇号（′）表示对变量求导数.当前第42页\共有56页\编于星期三\12点分别取得到三种三点公式：带余项的三点求导公式为（6.6）当前第43页\共有56页\编于星期三\12点其中的公式(6.6)是中点公式.它比其余两个三点公式少用了一个函数值.用插值多项式作为的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式：例如，将式(6.5)再对求导一次，有当前第44页\共有56页\编于星期三\12点于是有而带余项的二阶三点公式如下：（6.7）当前第45页\共有56页\编于星期三\12点4.6.3利用数值积分求导微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分.设是一个充分光滑的函数，（6.8）对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式.则有当前第46页\共有56页\编于星期三\12点例如，用中矩形公式(1.2)，则得从而得到中点微分公式若对(6.8)右端积分用辛普森求积公式，则有当前第47页\共有56页\编于星期三\12点略去上式余项，并记的近似值为则得到辛普森数值微分公式这是关于的个方程组，已知，（6.9）若则可得当前第48页\共有56页\编于星期三\12点这是关于的三对角方程组，且系数矩阵为严格对角占优的，可用追赶法求解(见第5章5.4节).如果端点导数值不知道，那么对(6.9)中第1个和第个方程可分别用及的中点微分公式近似，然后求即为的近似值.即取当前第49页\共有56页\编于星期三\12点

例8给定的一张数据表(表4-9左部)，并给定及的值(见表4-9).

解解之得利用辛普森数值微分