双曲线及其标准方程

2.3.1双曲线及其标准方程第二章圆锥曲线与方程知识点一：双曲线的定义和等于常数2a

(2a>|F1F2|=2c>0)

的点的轨迹叫做椭圆.平面内与两定点F1、F2的距离的1.椭圆定义以及定义中需要注意的问题2.引入问题：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的知识探究一:双曲线的形成|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a.②如图(B)，上面两条合起来叫做双曲线.由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a.(差的绝对值)|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a.①如图(A)，F2F1M双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.即|

|MF1|-|MF2|

|=2a.

(0<2a<2c)思考1：将定义当中的绝对值如果去掉，那么点的轨迹还是双曲线吗？焦点焦距(2c)2a【答案】两条射线【答案】无轨迹【答案】线段F1F2的垂直平分线(1)若2a=2c,则轨迹是什么？(2)若2a>2c,则轨迹是什么？(3)若2a=0,则轨迹是什么？思考2：当a和c的大小关系改变时，轨迹还是双曲线吗？F1F2知识点二：双曲线的标准方程F2F1MxOy(1)建系设点：以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系.(3)坐标化：设M(x,y),则F1(-c,0),F2(c,0).(2)列式：|MF1|-|MF2|=±2a.(4)化简：

知识点二：双曲线的标准方程移项，平方，化为

平方得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)，可设c2-a2=b2(b>0)，由c＞a＞0,即：b2x2-a2y2=a2b2，

思考：当双曲线的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢？

看x2、y2的系数正负双曲线的标准方程类似于椭圆F2F1MxOyOMF2F1xy看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题知识探究三：椭圆与双曲线定义方程焦点a,b,c的关系F(±c，0)F(±c，0)a>0，b>0，a与b没有大小关系，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

椭圆双曲线F(0，±c)F(0，±c)典例分析解：

1.确定双曲线类型2.待定系数法求系数

∴解得：a2=-16，b2=-9.(舍去)典例分析

将P、Q两点坐标代入可得

解得：a2=9，b2=16，

典例分析(1)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．∵P、Q两点在双曲线上，∴

另解：典例分析

依题设有解得a2=5，b2=1，

典例分析

另解：跟踪训练1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．

2:如果方程表示双曲线，求m的取值范围.典例分析

xOy焦点三角形||PF1|-|PF2||=2a|F1F2|=2c跟踪训练

典例分析

化为边

xOy寻找M满足的几何条件跟踪训练3.已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．圆F2：圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.解：圆F1：圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；消去R不含绝对值归纳小结1．双曲线定义中注意的三个问题(1)注意定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少．若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．(2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．(3)