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文档简介
千里之行,始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐考研中能用到的高等数学公式大全及常见函数图像考研中能用到的高等数学公式及函数图象
导数公式:
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
2
22212211cos12sinudu
dxxtguuuxuux+==+-=+=,,,
a
xxa
aactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1
)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22=
'='?-='?='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos11
)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx+-
='+=
'--
='-=
'?
?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C
axxaxdxCshxchxdxCchxshxdxC
aadxaC
xctgxdxxCxdxtgxxC
ctgxxdxxdxCtgxxdxxdxx
x
)ln(lncsccscsecseccscsinseccos222
22
22
2Ca
x
xadxCxax
aaxadxCaxa
xaaxdxCax
arctgaxadxC
ctgxxxdxCtgxxxdxC
xctgxdxCxtgxdx+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln2
2222222?
????++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
xaxaxdxxaC
axxaaxxdxaxC
axxaaxxdxaxIn
nxdxxdxInnn
narcsin22ln22)ln(221
cossin22
2222222
2222222
22
2
22
2
π
π
一些初等函数:两个重要极限:
三角函数公式:·诱导公式:
·和差角公式:·和差化积公式:
2
sin
2sin2coscos2cos
2cos2coscos2sin
2cos2sinsin2cos
2sin
2sinsinβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ
αβα-+=--+=+-+=--+=+α
ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg±?=
±?±=
±=±±=±1
)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(x
x
arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxx
xx
xx
x-+=-+±=++=+-=
=+=
-=
11ln
21)
1ln(1ln(:2
:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1
1(lim1
sinlim
0==+=∞→→ex
x
x
xxx
·倍角公式:
·半角公式:
α
α
αααααααααααα
α
ααα
cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12
2
cos12cos2cos12
sin-=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctgtg
·正弦定理:RC
c
BbAa2sinsinsin===·余弦定理:
Cabbaccos2222-+=
·反三角函数性质:arcctgxarctgxxx-=
-=
2
arccos2
arcsinπ
π
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(nkknnnnn
kkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++--++''-+
'+===-∑
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理。
时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:xxFfaFbFafbfabfafbf=''=
'=-)(F)
()
()()()()())(()()(ξξξ
曲率:
α
ααααααααα23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=
-=-=α
α
αααααααααα
αα22222212221
2sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=
-=
-=-=-==
.
1
;0.)
1(limMsMM:.,13202a
KaKyydsdsKMMs
Ktgydxydss=='+''==??='?'???=
=''+=→?的圆:半径为直线:点的曲率:弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:其中弧微分公式:α
ααα
α
定积分的近似计算:
???+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
a
nnnb
a
nnb
anyyyyyyyyn
a
bxfyyyynabxfyyyn
a
bxf)](4)(2)[(3)(])(2
1
[)()()(1312420220110抛物线法:梯形法:矩形法:
定积分应用相关公式:
??--==?=?=b
a
badttfabdxxfabykr
m
mkFA
pFs
FW)(1)(1
,2221均方根:函数的平均值:为引力系数引力:水压力:功:
空间解析几何和向量代数:
。
代表平行六面体的体积为锐角时,
向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影:点的距离:空间ααθθθ??,cos)(][..sin,cos,,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(22
2
2
2
2
2
212121*********cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaak
ji
ba
cbbbaaababababababababaajajaajujzzyyxxMM
dz
y
xzyx
z
yx
z
y
x
zyx
z
yxzyxz
zyyxxzzyyxxuu
??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==(马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面:
同号)
(、抛物面:、椭球面:二次曲面:
参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外随意一点到该平、截距世方程:、普通方程:,其中、点法式:平面的方程:
1
1
3,,2221
1};,,{,1
30
2),,(},,,{0)()()(122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++??
?
??+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
zbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxpt
zznt
yymt
xxpnmstpzznyymxxCBAD
CzByAxdcz
byaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA
多元函数微分法及应用
z
yzxyxyxyxyxFFyz
FFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyy
v
dxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuux
v
vzxuuzxzyxvyxufzt
v
vztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzz
udyyudxxududyyzdxxzdz-
=??-=??=?
-??
-??=-==??+??=??+??=
==???
??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=
,,隐函数+,,隐函数隐函数的求导公式:
时,,当
:
多元复合函数的求导法全微分的近似计算:全微分:0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
)
,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0
),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv
Gu
GvF
u
Fvu
GFJvuyxGvuyxFv
uvu???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=???==隐函数方程组:
微分法在几何上的应用:
)
,,(),,(),,(30
))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0
),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()
()()
(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxy
xy
xxzxzzyzy-=
-=-=-+-+-==????
?====-'+-'+-''-=
'-='-??
?
??===、过此点的法线方程::、过此点的切平面方程、过此点的法向量:,则:
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点处的切线方程:在点空间曲线
ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度:
上的投影。在是单位向量。方向上的
,为,其中:它与方向导数的关系是的梯度:在一点函数的转角。
轴到方向为其中的方向导数为:沿任一方向在一点函数lyxflf
ljieeyxfl
fjy
fixfyxfyxpyxfzlxyf
xflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(??∴?+?=?=????+??=
=??+??=??=
????
?多元函数的极值及其求法:
????
???
??=--=====不确定时值时,无极为极小值为极大值时,则:,令:设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx
重积分及其应用:
??????
??????????????
????++-=++=++==>===
=
==
?
??
?
????+???????+==='
D
zD
yD
xzyxD
yD
xD
D
yD
x
D
DD
ayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyM
MydyxdyxxM
MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf2
3
22
2
2
3
22
2
2
3
22
2
22D
2
2
)
(),()
(),()
(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(σρσρσρσρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ,,,其中:的引力:轴上质点平面)对平面薄片(位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量:平面薄片的重心:的面积曲面柱面坐标和球面坐标:
????????????????????????????????????Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
ΩΩ+=+=+====
=
=
===???=??
???=====???
??===dv
yxIdvzxIdvzyIdv
xMdvzM
zdvyM
ydvxM
xdr
r
rFddddrdr
rFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfz
zryrxzyxrρρρρρρρ?θ??
θθ??θ?θ
??θ???θ?θ?θθθθθθθπ
πθ?)()()(1,1,1sin),,(sin),,(),,(sinsincossinsincossin)
,sin,cos(),,(,),,(),,(,sincos22222220
)
,(0
2
2
2
,,转动惯量:,其中重心:,球面坐标:其中:柱面坐标:曲线积分:
??
?==+-+-+-+-nnnn
nnnnurrusuuuuuuuuuuu肯定收敛与条件收敛:
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
1时发散p级数:收敛;
级数:收敛;
发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而假如收敛级数;绝对收敛,且称为肯定收敛,则假如为随意实数;,其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupn
nnn
幂级数:
01
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