浙江省温州市苏成外国语学校2021年高一数学理月考试题含解析

浙江省温州市苏成外国语学校2021年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从[0，2]中任取一个数x，从[0，3]中任取一个数y，则使x2+y2≤4的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】在平面直角坐标系中作出图形，则x∈[0，2]，y∈[0，3]的平面区域为矩形，符合条件x2+y2≤4的区域为以原点为圆心，2为半径的扇形内部，则扇形面积与矩形面积的比为概率【解答】解：在平面直角坐标系中作出图形，如图所示，则x∈[0，2]，y∈[0，3]的平面区域为矩形OABC，符合条件x2+y2≤4的区域为以原点为圆心，2为半径的扇形OAD内部，∴P（x2+y2≤4）===；故选D．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，正确作出几何图形是解题的关键．2.（3分）下列各函数中，表示同一函数的是（） A． y=x与（a＞0且a≠1） B． 与y=x+1 C． 与y=x﹣1 D． y=lgx与参考答案：A考点： 判断两个函数是否为同一函数．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据函数相等的定义，主要求出两个函数的定义域和解析式，比较是否一样即可．解答： A、∵y=x与=x（a＞0且a≠1），且f（x）和g（x））的定义域都为R，故A正确．B、的定义域为{x|x≠1}，而y=x+1的定义域为R，故B不对；C、∵=|x|﹣1，而y=x﹣1，表达式不同，故C不对；D、∵x＞0，∴y=lgx的定义域为{x|x＞0}，而的定义域为{x|x≠0}，故D不对；故选A．点评： 本题考查判断两个函数是否为同一函数，解题的关键是理解函数的定义，理解函数的两要素﹣﹣函数的定义域与函数的对应法则．3.的值为（）A.

B．

C．

D．参考答案：B4.函数的定义域是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.下列判断正确的是（）A．一般茎叶图左侧的叶按从小到大的顺序写，右侧的数据按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次B．系统抽样在第一段抽样时一般采用简单随机抽样C．两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件D．分层抽样每个个体入样可能性不同参考答案：B【考点】简单随机抽样．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】分别根据相应的定义判断即可．【解答】解：对于A，相同数据需要重复记录；故错误，对于B．系统抽样在第一段抽样时一般采用简单随机抽样，故正确，对于C，事件A与事件B的和事件是指该事件发生当且仅当事件A或事件B发生，故错误，对于D，分层抽样是一种等可能抽样，故错误故选B．【点评】本题考查了茎叶图和系统抽样分层抽样以及互斥事件的概率的问题，属于基础题．6.下列图象中表示函数图象的是（

）A

B

C

D参考答案：C略7.侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A． B．2πa2 C． D．3πa2参考答案：D【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出球的表面积．【解答】解：因为侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：；所以球的表面积为：4π=3πa2故选D8.若，则等于(

).

.

.

.参考答案：D9.函数的定义域为(

)．A.

B.C. D.参考答案：A10.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次从中任取一个，有放回地取3次，则下

列事件：⑴颜色全同；⑵颜色不全同；⑶颜色全不同；⑷无红球.

其中发生的概率等于的事件共有（

）

A．1个

B．1个

C．2个

D．3个

参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数．项数为31的等差数列{an}满足,且公差，若，则当k=____________时，．参考答案：16【分析】先分析函数的性质，可发现为奇函数，再根据奇函数的对称性及等差数列的性质，可知要使，则可得，因此即可求出.【详解】∵，∴∴函数为奇函数；∴图像关于原点对称∵是项数为31的等差数列，且公差∴当时，，即.【点睛】本题主要考察函数的性质及等差数列的性质。函数的奇偶性的判断可根据以下几步：一是先看定义域是否关于原点对称；二看关系，即是否满足或；三是下结论，若满足上述关系，则可得函数为偶函数或奇函数。12.函数的周期是___________参考答案：13.已知正数满足，则的最小值为

．参考答案：略14.已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，0）【考点】函数单调性的性质．【分析】由条件利用函数的单调性的性质，可得1﹣2a＞1，且a＜0，由此求得a的取值范围．【解答】解：由于函数f（x）=是R上的增函数，∴1﹣2a＞1，且a＜0，求得a＜0，故答案为：（﹣∞，0）．15.如果指数函数是R上的减函数，则ａ的取值范围是___________.参考答案：1<a<2

略16.函数y=2+(x-1)的图象必过定点,点的坐标为_________.参考答案：（2,2）17.（5分）已知圆O：x2+y2=1和点A（﹣2，0），若存在定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则点P（b，λ）到直线（m+n）x+ny﹣2n﹣m=0距离的最大值为

．参考答案：考点： 直线和圆的方程的应用．专题： 综合题；直线与圆．分析： 利用|MB|=λ|MA|，可得（x﹣b）2+y2=λ2（x+2）2+λ2y2，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得b、λ，直线（m+n）x+ny﹣2n﹣m=0，即m（x﹣1）+n（x+y﹣2）=0过点（1，1），利用两点间的距离公式，即可得出结论．解答： 设M（x，y），则∵|MB|=λ|MA|，∴（x﹣b）2+y2=λ2（x+2）2+λ2y2，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣b）2=λ2（1+2）2，（﹣1﹣b）2=λ2（﹣1+2）2，∴b=﹣，λ=．直线（m+n）x+ny﹣2n﹣m=0，即m（x﹣1）+n（x+y﹣2）=0过点（1，1），∴点P（b，λ）到直线（m+n）x+ny﹣2n﹣m=0距离的最大值为=．故答案为：．点评： 本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分（1）已知，求的值.（2）若，若恒成立，求的取值范围.参考答案：

19.函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对一切x＞0，y＞0，都有=f（x）﹣f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）=1，解不等式f（x+5）﹣f．参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【分析】（1）由条件只要令x=y=1，即可得到f（1）=0；（2）令0＜x1＜x2，则＞1，当x＞1时，有f（x）＞0．f（）＞0，再由条件即可得到单调性；（3）由f（6）=1，求出f（36）=2f（6）=2，f（x+5）﹣f即f＜f（36），再运用单调性，即可得到不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵对一切x＞0，y＞0，都有=f（x）﹣f（y），∴令x=y=1．则f（1）=f（1）﹣f（1）=0；（2）f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数．理由如下：令0＜x1＜x2，则＞1，当x＞1时，有f（x）＞0．∴f（）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），则f（x）在定义域（0，+∞）上递增；（3）若f（6）=1，则f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），f（36）=2f（6）=2，∴f（x+5）﹣f即f＜f（36），∵f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，∴0＜x（x+5）＜36，∴x＞0且﹣9＜x＜4，∴0＜x＜4．故原不等式的解集为（0，4）．【点评】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性的证明，以及单调性的运用，注意定义域，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．20.（14分）已知是定义在上的奇函数，且。若对任意都有。

（1）判断函数的单调性，并简要说明理由；（2）若，求实数的取值范围；（3）若不等式≤对所有和都恒成立，求实数的取值范围。参考答案：（1）设任意满足，由题意可得

，

∴在定义域上位增函数。………………4分

（2）由（1）知。

∴即的取值范围为。

……8分

21.已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数k的范围．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）只需要利用好所给的在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数；（Ⅱ）要结合（Ⅰ）的结论将问题具体化，在通过游离参数化为求函数?（t）=t2﹣2t+1最小值问题即可获得问题的解答；（Ⅲ）可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答．【解答】解：（Ⅰ）（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数故当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数故∵b＜1∴a=1，b=0（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x2﹣2x+1.．方程f（2x）﹣k?2x≥0化为，令，k≤t2﹣2t+1∵x∈[﹣1，1]∴记?（t）=t2﹣2t+1∴φ（t）min=0∴k≤0（Ⅲ）方程化为|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）∵方程有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1记?（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k）则或∴k＞0．【点评】本题考