湖南省张家界市一鸣实验中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析

湖南省张家界市一鸣实验中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．2.已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于()A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非法半轴重合，终边经过点，则A.

B.

C.

D.参考答案：D角的终边与单位圆的交点为，所以，，于是．选D.4.下列结论正确的是(

)A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．5.曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=x3，∴y′=3x2，当x=1时，y′=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=0得：x=，∴切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为：S=×（2﹣）×4=．故选A．6.直线的倾斜角是()A．

B．

C．

D．参考答案：C7.椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且点P的横坐标为3，则|PF1|是|PF2|的（）A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍参考答案：A【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】求得椭圆的焦点坐标，则当x=3时，y=±，丨PF1丨=，利用椭圆的定义可得：丨PF2丨=，则|PF1|是|PF2|的7倍．【解答】解：由椭圆的焦点在x轴上，F1（﹣3，0），F2（3，0），当x=3时，y=±，则丨PF2丨=，由丨PF1丨+丨PF2丨=2a=4，∴丨PF1丨=，∴|PF1|是|PF2|的7倍，故选A．【点评】本题考查椭圆的定义及标准方程，考查转化思想，属于基础题．8.已知i为虚数单位，复数z1=a+2i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为(

) A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．±1或0参考答案：C考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的模的定义得到关于a的方程解之．解答： 解：因为复数z1=a+2i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，所以a2+4=4+1，解得a=±1；故选：C．点评：本题考查了复数求模；复数a+bi（a，b是实数）的模为．9.抛物线的准线方程是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列ca1，ca2，ca3，…，can(c为常数，且c≠0)是(

)(A)公差为d的等差数列

(B)公差为cd的等差数列

(C)非等差数列

(D)可能是等差数列，也可能不是等差数列参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，设，且函数的零点均在区间（，，Z）内，圆的面积的最小值是_______.参考答案：，，，，，12.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，底面边长为，则这个球的表面积是

．参考答案：16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．13.一个袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球，在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是

参考答案：14.函数的值域是__________.参考答案：15.若曲线在点处的切线与直线垂直，则常数a=___.参考答案：-2【分析】利用导数的几何意义，求得在点处的切线斜率为，再根据两直线的位置关系，即可求解．【详解】由题意，函数，可得，所以，即在点处的切线斜率为，又由在点处的切线与直线垂直，所以，解得．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中利用导数的几何意义求得切线的斜率，再根据两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.已知圆的圆心是直线与轴的交点,且圆与直线相切.则圆的方程为

.参考答案：17.已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点,若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=

.参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△ABC的周长为+1，且sinB+sinC=sinA．（1）求边BC的长；（2）若△ABC的面积为sinA，求角A的大小．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理，得，△ABC的周长为+1，即可求边BC的长．（2）根据△ABC的面积为sinA=AC?ABsinA，可得AC?AB的值，，利用余弦定理即可求A【解答】解：（1）由正弦定理，得，∵，∴，BC=1．（2）∵，∴．又，由余弦定理，得==，∴A=60°．19.（12分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。（1）

根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）

判断性别与休闲方式是否有关系。附：；0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：解：（1）2×2的列联表

休闲方式性别看电视运动总计女432770男213354总计6460124

（5分）（2）假设“休闲方式与性别无关”

计算

（10分）

因为，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，

有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”

（12分）略20.如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

参考答案：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．依题意解得

∴椭圆方程为.[（2）假若存在这样的k值，由得．∴①设，、，，则②而．要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即

∴③将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立.综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E.21.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．(1)求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；(2)若＝λ1，＝λ2，∈，求λ2的取值范围参考答案：（1）证明：由已知F，设A(x1，y1)，则y＝2px1，圆心坐标为，圆心到y轴的距离为，圆的半径为＝×＝，所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切．…………6分(2)解法一：设P(0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ1，＝λ2，得＝λ1(－x1，y0－y1)，＝λ2，所以x1－＝－λ1x1，y1＝λ1(y0－y1)，－x2＝λ2，y2＝－λ2y1，由y2＝－λ2y1，得y＝λy.

又y＝2px1，y＝2px2，所以x2＝λx1.代入－x2＝λ2，得－λx1＝λ2，(1＋λ2)＝x1λ2(1＋λ2)，整理得x1＝，代入x1－＝－λ1x1，得－＝－，所以＝1－，因为∈，所以λ2的取值范围是……………14分解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：x＝my＋，将x＝my＋代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2(*)．由＝λ1，＝λ2，得＝λ1(－x1，y0－y1)，＝λ2，所以x1－＝－λ1x1

，y1＝λ1(y0－y1)，－x2＝λ2，y2＝－λ2y1，将y2＝－λ2y1代入(*)式，得y＝，所以2px1＝，x1＝.代入x1－＝－λ1x1，

得＝1－，…………14分为∈，

所以λ2的取值范围是.……………14分

略22.名同学排队照相．(1)若排成一排