河南省郑州市第七十四中学2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析

河南省郑州市第七十四中学2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就匀速跑步，等跑累了再匀速走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（

）高考资源网

A

B

C

D高参考答案：D2.点P(－2,－1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d,则d的取值范围是A.0≤d

B.d≥0

C.d=

D.d≥参考答案：A略3.已知在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（

）A．（0，1）

B．（0，2）

C．（1，2）

D．［2，＋∞）参考答案：C4.正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.如图，为测一棵树的高度，在与树在同一铅垂平面的地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和75°，且A，B两点间的距离为60米，则树的高度CD为（）A．米 B．米 C．米 D．米参考答案：D【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】在△ABD中利用正弦定理计算BD，再计算CD．【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABD=105°，AB=60，∴∠ADB=45°，在△ABD中，由正弦定理得，∴BD===60，∵sin∠DBC==，∴CD=BDsin∠DBC=15（+）．故选D．6.函数的定义域是（

）A．［-1，1］ B.（-1，1） C.［-1，1） D.（-1，1］参考答案：D7.若，且为第四象限角，则的值等于（）A. B. C. D.参考答案：D∵sina=,且a为第四象限角,∴，则，故选：D.8.已知，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.有下列四个命题:(1)“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；(2)“面积相等的三角形全等”的否命题；(3)“若m≤1，则x2－2x+m=0有实根”的否命题；(4)“若A∩B=B，则AB”的逆否命题。其中真命题是

.参考答案：（1）（2）（3）略10.把函数的图像向右平移个单位可以得到函数的图像，则A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知y=f（x）是定义在（﹣2，2）上的增函数，若f（m﹣1）＜f（1﹣2m），则m的取值范围是．参考答案：【考点】函数单调性的性质．【分析】在（﹣2，2）上的增函数，说明（﹣2，2）为定义域，且函数值小对应自变量也小，两个条件合着用即可【解答】解：依题意，原不等式等价于??﹣．故答案为：12.数列的前项和，则它的通项公式是__________.参考答案：略13.若120°角的终边经过点，则实数a的值为_______.参考答案：.【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.【详解】由诱导公式得，另一方面，由三角函数的定义得，解得，故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.14.已知幂函数f（x）=xa的图象过点，则loga8=．参考答案：3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得=，解得a的值，可得loga8的值．【解答】解：∵已知幂函数f（x）=xa的图象过点，∴=，解得a=2，∴loga8=log28=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．15.关于函数，有下列命题：（1）为偶函数（2）要得到函数的图像，只需将的图像向右平移个单位（3）的图像关于直线对称（4）在内的增区间为和其中正确的命题序号为__________________.参考答案：(2)(3)略16.

参考答案：4。解析：由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为，记第n行的第m个数为,则算得答案为4。

17.若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？参考答案：平行向量三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c.已知△ABC面积（1）若求b的值；（2）若，求a的值.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用三角形面积公式可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）利用三角形面积公式求得；利用余弦定理可求解出结果.【详解】（1）由三角形面积公式可知：

（2）

由余弦定理得：【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，考查学生对于公式的掌握情况，属于基础题.19.已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用奇函数定义f（x）=﹣f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；（Ⅱ）设x1＜x2然后确定f（x1）﹣f（x2）的符号，根据单调函数的定义得到函数f（x）的单调性；（III）结合单调性和奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即?b=1，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣=因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞0即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k＜﹣．20.（16分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．参考答案：考点： 函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．专题： 应用题；函数的性质及应用．分析： （1）要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，OF，分别可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，从而可求．（2）要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得l=，α∈[，]，利用换元，设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．解答： （1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=．又∠EOF=90°，∴EF==，∴l=OE+OF+EF=．当点F在点D时，这时角α最小，此时α=；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．故此函数的定义域为[，]；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，l=，α∈[，]，设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，∴l==由t=sinα+cosα=sin（α+），又≤α+≤，得，∴，从而当α=，即BE=25时，lmin=50（+1），所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000（+1）元．点评： 本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．21.设不等式组所表示的平面区域为，其中n是正整数，记内的整点个数为.(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)（1） 求数列的通项公式；（2）

记数列的前n项和为，且，若对于一切正整数n，总有成立，求实数的取值范围。参考答案：（1）（2）

略22.（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：A1C⊥AB1；（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．参考答案：考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）利用线面垂直的判定定理证明A1C⊥平面AB1C1，即可证明A1C⊥AB1；（3）证明∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角，点E为BB1的中点，确定DE⊥A1D，再求三棱锥C﹣A1DE的体积．解答： （1）证明：连结AC1，交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（3分）（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以AC1⊥A1C…（4分）因为CA⊥CB，B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C…（6分）因为B1C1∩AC1=C1，所以A1C⊥平面AB1C1所以A1C⊥AB1…（8分）（3）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，因为AC=CB