第八章 立体几何初步 章末复习课-高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共51张PPT）

章末复习课第八章立体几何初步知识网络一、几何体的表面积与体积二、空间中的平行关系三、空间中的垂直关系四、空间角的求法随堂演练内容索引几何体的表面积与体积

一1.主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解.2.利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养.例1

如图，从底面半径为2a，高为

的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.则圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比为反思感悟空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作为底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法.“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决问题.反思感悟(3)展开法：将简单的几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便于将空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体，如正方体等这些对称性比较好的几何体中，以此来研究所求几何体的性质.跟踪训练1

正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为√作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，空间中的平行关系

二1.空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行.2.通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和直观想象素养.例2

如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)平面BDE∥平面MNG.因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.反思感悟线线平行、线面平行、面面平行间的关系线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如下：跟踪训练2

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，取PB的中点F，连接BD与AC交于点O，连接FO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∴在△PBD中，OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.∴PF∥MA且PF＝MA，∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.空间中的垂直关系

三1.主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化.2.通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和逻辑推理素养.例3

已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.(1)求三棱锥F－EBC的体积；如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，由BF⊥A1B1得EM⊥BF，又EM⊥CF，BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF，所以EM⊥平面BCF，又BC⊂平面BCF，所以EM⊥BC，故V三棱锥F－EBC＝V三棱锥E－FBC(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.连接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1内.在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，所以由平面几何知识可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，B1M，A1B1⊂平面EMB1A1，所以BF⊥平面EMB1A1，又DE⊂平面EMB1A1，所以BF⊥DE.反思感悟线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化跟踪训练3

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA⊥底面ABCD；因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2)平面BEF⊥平面PCD.因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形.因为AB⊥AD，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.空间角的求法

四1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角.2.通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养.例4

如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成的角为30°.(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；如图，作OE⊥BC于E，连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.(3)求二面角B－AO－C的大小.由(1)可知OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即二面角B－AO－C的大小为90°.反思感悟(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法.跟踪训练4

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD.若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小.∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，又PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角.又直线PB与CD所成的角为45°，∴∠PBA＝45°，PA＝AB.∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，即二面角P－CD－B的大小为45°.随堂演练

1.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面√1234对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确，综上可知选B.12342.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为√1234如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，12341234∴多面体的体积V＝V三棱锥E-ADG＋V三棱锥F-BCH＋V三棱柱AGD-BHC＝2V三棱锥E-ADG＋V三棱柱AGD-BHC故选A.3.如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DAB，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有A.0条 B.1条C.2条 D.3条√过点P分别作BD，AB的平行线，这两条直线都符合题意.12344.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱