2021-2022学年广东省广州市大敦中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年广东省广州市大敦中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列中，，则（

）A.12

B.8

C.6

D.4参考答案：B【知识点】等差中项公式．D2因为为等差数列,所以化简可得:,所以,故选B.【思路点拨】利用等差中项公式求值即可．2.对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件：

①对任意的，总有

②

③若，，都有成立；

则称函数为理想函数.

下面有三个命题：（1）若函数为理想函数，则；（2）函数是理想函数；（3）若函数是理想函数，假定存在，使得，且，

则；

其中正确的命题个数有（

）

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个参考答案：D

3.在正三角形ABC中，，则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．+1参考答案：答案:D4.若与都是非零向量，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C5.已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点可化为函数f（x）与y=kx+k在[﹣1，3]内的图象有四个不同的交点，从而作图求得．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），∴函数f（x）的周期为2，∴作函数f（x）与y=kx+k在[﹣1，3]内的图象如下，，直线y=kx+k过点（﹣1，0）；当过点（3，1）时，直线的斜率k==，故结合图象可知，0＜k≤；故选C．6.已知全集U＝R,A＝｛x｜lgx≤0｝，B＝｛x｜x2≤x｝，则B∩＝（

）

A.B.｛0｝C.（0，1］D.｛0，1｝参考答案：B7.若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10 B．20 C．30 D．120参考答案：B【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】根据二项式的展开式的二项式系数是64，写出二项式系数的表示式，得到次数n的值，写出通项式，当x的指数是0时，得到结果．【解答】解：∵Cn°+Cn1+…+Cnn=2n=64，∴n=6．Tr+1=C6rx6﹣rx﹣r=C6rx6﹣2r，令6﹣2r=0，∴r=3，常数项：T4=C63=20，故选B．【点评】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．8.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b=(p,q)，令a⊙b=mq－np，下面说法错误的是（

）A.若a与b共线，则a⊙b=0

B.a⊙b=b⊙aC.对任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b)

D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2参考答案：B9.设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线：在点处的切线方程为A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.在空间直角坐标系中，过点作直线的垂线，则直线与平面的交点的坐标满足条件A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为的反函数，则的最大值为_______.参考答案：是上的单调增函数，且为的反函数，与单调性相同，当时，的最大值为且当时，的定义域为且当时，的最大值为故答案为

12.如图，已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DE=CD．动点P从点A出发，沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中=λ+μ，则下列命题正确的是

．（填上所有正确命题的序号）①λ≥0，μ≥0；②当点P为AD中点时，λ+μ=1；③若λ+μ=2，则点P有且只有一个；④λ+μ的最大值为3；⑤?的最大值为1．参考答案：①②④⑤【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到=λ+μ=（λ﹣μ，μ），然后根据相对应的条件加以判断即可．【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，则B（1，0），E（﹣1，1），∴=（1，0），（﹣1，1），∵=λ+μ，∴λ≥0，μ≥0；故①正确∴=λ+μ=（λ﹣μ，μ），当点P为AD中点时，∴=（0，），∴λ﹣μ=0，，故λ+μ=1；故②正确，当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，当λ=，μ=时，=（1，），此时P是BC的中点，满足λ+μ=2，故③错误当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，综上，0≤λ+μ≤3，故④正确；?=（λ﹣μ，μ）?（﹣1，1）=﹣λ+2μ，有推理④的过程可知﹣λ+2μ的最大值为1，综上，正确的命题是①②④⑤．故答案：①②④⑤【点评】本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，是易错题．13.设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最小值为

。参考答案：—914.（文）某高校随机抽查720名的在校大学生，询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息，得到的结果如右表，已知这720名大学生中随机抽取一名，了解商品最新信息的概率是，则

.参考答案：200了解商品最新信息的人数有，由，解得15.已知正方体的棱长为4，点是的中点，点是内的动点，若，则点到平面的距离的范围是

.参考答案：[3,4]16.若，则________参考答案：【详解】由题意可得：，即：，解方程可得：.17.已知数列满足，记数列的前项和为，若，则

；若，则

参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18..如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）∵是等边三用形，为的中点，∴，∴平面，得.①在侧面中，，，∴，∴，∴.②结合①②，又∵，∴平面.（2）解法一：如图建立空间直角坐标系，则得设平面的法向量，则即得取.同理可得，平面的法向量∴则二面角的余弦值为.解法二：由（1）知平面，∴.∴即二面角的平面角在平面中，易知，∴，设，∵∴，即得.即，∴.则二面角的余弦值为.19.一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域.

参考答案：解析:如图,设所截等腰三角形的底边边长为.

在中,

,

所以,

于是

依题意函数的定义域为

20.(文)将各项均为正数的数列排成如图所示的三角形数阵(第行有个数,同一行下标小的排在左边).表示数阵中第行第1列的数.已知数列为等比数列,且从第3行开始,各行均构成公差为的等差数列,,.(1)求数阵中第行第列的数(用表示)；(2)试问处在数阵中第几行第几列？(3)试问这个数列中是否有这个数？有求出具体位置，没有说明理由.参考答案：(1)由已知可得:…2分解得:，…4分(2)由,…6分,则…8分知为数阵中第行第列的数.…10分(3)假设为数阵中第行第列的数.由第行最小的数为,最大的数为,（12分）知,…14分当时,;…16分当时,于是,不等式整数解.从而,不在该数阵中.…18分21.（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元。设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大。（注：年利润=年销售收入-年总成本）参考答案：【知识点】函数模型及其应用B10【答案解析】（1）（2）9千件（1）当时，当时，（2）①当时，由，得且当时，；当时，；当时，取最大值，且②当时，当且仅当，即时