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考试要求会解决直线与椭圆的位置关系的问题.第5节直线与椭圆的位置关系知

识

梳

理当_______________⇔直线与椭圆相交；当_______________⇔直线与椭圆相切；当_______________⇔直线与椭圆相离.B2－4AC>0B2－4AC＝0B2－4AC<0基

础

自

测答案(1)√

(2)√

(3)√

(4)√解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，答案

B答案A4.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为________.过点F2(1，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，又由c＝1，得1＋b2＝a2.②由①②联立，得b2＝3，a2＝4.考点一直线与椭圆位置关系的判断【例1】

当实数m分别取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相交、相切、相离？

解将直线和椭圆的方程联立，

得关于x的一元二次方程25x2＋32mx＋16m2－144＝0，

因为Δ＝576(25－m2)，

所以当(1)Δ>0，即－5<m<5时，直线l与椭圆相交； (2)Δ＝0，即m＝5或m＝－5时，直线l与椭圆相切； (3)Δ<0，即m<－5或m>5时，直线l与椭圆相离.规律方法判断直线与椭圆的位置关系的方法：(1)用判别式法；(2)利用直线上的特殊点与椭圆的关系.解直线y＝kx－1过定点(0，－1)，短轴的下顶点，由数形结合可知：当k＝0时，直线与椭圆相切；当k≠0时，直线与椭圆相交.解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解析(1)设l：y－1＝k(x－2)交椭圆于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点A，B都在椭圆上，则得经观察知这两个式子除了字母的下标不同外，其余都相同，将两式相减，得到：(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，可以知道式中的x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，

故所求直线方程为x＋2y－4＝0.(2)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

规律方法解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立、消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.【训练3】

(2019·北京海淀区一模)已知椭圆C：x2＋2y2＝9，点P(2，0).(1)求椭圆C的短轴长和离心率；(2)过(1，0)的直线与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论.(2)结论是：|TP|<|TM|.设直线：x＝my＋

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