广东省河源市紫金县第四中学高三数学理月考试卷含解析

广东省河源市紫金县第四中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设又是一个常数，已知当或时，只有一个实根，当时，有三个相异实根，给出下列命题：

①和有一个相同的实根；

②和有一个相同的实根；

③的任一实根大于的任一实根；

④的任一实根小于的任一实根；其中正确命题的个数为

（

）

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：答案：A2.已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知函数，若，则（

）A．1

B．－1

C.

3

D．－3参考答案：D4.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是A.

B．

C．

D．参考答案：D略5.下列函数在上为减函数的是A．

B．

C．

D．参考答案：D6.定义运算：a*b=，则函数f（x）=1*2x的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】利用新的定义求解，首先判断2x与1的大小关系，分类讨论；【解答】解：∵a*b=，若x＞0可得，2x＞1，∴f（x）=1*2x=1；若x≤0可得，2x≤1，∴g（x）=1*2x=2x，∴当x≤0时，2x≤1，故选：A7.已知全集U=R，集合，则集合等于

（

）A.

B.C.

D.参考答案：B略8.设a=dx，则二项式（x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣80参考答案：D【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出定积分a的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可计算结果．【解答】解：∵a=dx=lnx=lne2﹣ln1=2﹣0=2，∴（x2﹣）5=（x2﹣）5的展开式的通项公式为：Tr+1=?x2（5﹣r）?=?（﹣2）r?x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3，∴（x2﹣）5的展开式中含x项的系数为?（﹣2）3=﹣80．故选：D．9.下列说法正确的是

（

）

A．算法就是某个问题的解题过程；

B．算法执行后可以产生不同的结果；

C．解决某一个具体问题算法不同结果不同；

D．算法执行步骤的次数不可以为很大，否则无法实施。参考答案：B10.当0<a<1时，函数和的图像只可能是

（

） 参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图

所示，则成绩不低于60分的人数为

．参考答案：3012.已知实数满足，则的取值范围为

．参考答案：

13.（几何证明选讲）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径

．参考答案：14.若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为

参考答案：15.定义运算a※b为.如1※2=1，则函数※的值域为

▲

.参考答案：略16.运行右边的程序框图，输出的是数列{2n-1}的前7项。若要使输出的结果是数列{3n-1}的前7项，则须将处理框A内的关系式变更为

。参考答案：a＝a×3略17.记集合A={(x,y)︱x2+y2≤16}，集合B={(x,y)︱x+y-4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2．若在区域Ω1内任取一点P(x,y)，则点落在区域Ω2中的概率为____．参考答案：如图，集合A表示的点集是圆内部（含边界），集合表示的点集是直线下方的弓形区域，，，因此所求概率为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知定义域为的函数是奇函数（1）求值,并判断的单调性（不需证明）。（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；参考答案：解：（1）由题设，需，经验证，为奇函数，，减函数（2）由得，是奇函数，由（1），是减函数原问题转化为，

即对任意恒成立

得即为所求略19.已知f（x）=lg（﹣x2+6x﹣5）在区间（m，m+1）上是增函数，则m的取值范围是．参考答案：【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】先求函数的定义域，结合复合函数的单调性及对数函数的单调性可知t=﹣x2+6x﹣5在（m，m+1）上是增函数，而该函数的增区间是（1，4]，从而可得（m，m+1）?（1，3]【解答】解：函数的定义域（1，5）∵f（x）=lg（﹣x2+6x﹣5）在（m，m+1）上是增函数由复合函数的单调性可知t=﹣x2+6x﹣5在（m，m+1）上单调递增且t＞0函数的增区间（1，3]，减区间．【点评】本题考查了复合函数的单调性：对数函数与二次函数的单调性，关键是要注意对数的真数大于零的要求，即函数定义域的求解，漏掉这一点，就会把函数的单调区间弄错．20.某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.（1）设闯过关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为，试求出的表达式；（2）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？参考答案：（1），，；（2）若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于时，应选用第三种奖励方案．21.已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1?x2λ恒成立，求λ的范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．故g（x）极大=g（e）=；又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大＞0，即，所以．综上所述，．（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）