2024学年海南省天一大联考高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2024学年海南省天一大联考高二数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（）A. B.C. D.2．已知椭圆，则它的短轴长为（）A.2 B.4C.6 D.83．下列命题中的假命题是（）A.，B.存在四边相等的四边形不是正方形C.“存在实数，使”的否定是“不存在实数，使”D.若且，则，至少有一个大于4．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的可能为（）A.9 B.5C.4 D.35．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率（）A. B.C. D.6．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（）A. B.C. D.7．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（）A.2 B.C.1 D.8．直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（）A.2 B.6C.8 D.109．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝()A. B.C.3 D.210．已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）A. B.C. D.与2的大小关系不确定11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.54 B.45C.27 D.8112．已知、、、是直线，、是平面，、、是点（、不重合），下列叙述错误的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在x=1处的切线方程为__________.14．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙______尺；若城墙厚40尺，则至少在第________天相遇15．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是___________.①甲比乙的极差大；②乙的中位数是18；③甲的平均数比乙的大；④乙的众数是21.16．若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若在上存在极值点，证明：.18．（12分）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，（1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；（2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？19．（12分）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.20．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由21．（12分）双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.（1）求C的方程；（2）设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点(不与，重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】求得，可得出，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，可得，由可求得的取值范围.【题目详解】设，设双曲线的实轴长为，因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，，则，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即，因，则，故.故选：B.2、B【解题分析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.【题目详解】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B3、C【解题分析】利用简易逻辑的知识逐一判断即可.【题目详解】，故A正确；菱形的四边相等，但不一定是正方形，故B正确；“存在实数，使”的否定是“对任意的实数都有”，故C错误；假设且，则，与矛盾，故D正确；故选：C4、D【解题分析】根据输出结果可得输出时，结合执行逻辑确定输入k的可能值，即可知答案.【题目详解】由，得，则输人的可能为.∴结合选项知：D符合要求.故选：D.5、D【解题分析】依题意，不妨设点A的坐标为，在中，由余弦定理得，再根据离心率公式计算即可.【题目详解】设椭圆的焦距为，则椭圆的左焦点的坐标为，右焦点的坐标为，依题意，不妨设点A的坐标为，在中，由余弦定理得：，，，，解得.故选：D.【题目点拨】本题考查椭圆几何性质，在中，利用余弦定理求得是关键，属于中档题.6、B【解题分析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.【题目详解】，所以实数组故选：B7、B【解题分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.【题目详解】，即整理得由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解之得故选：B8、C【解题分析】根据渐近线可求出a，再由双曲线定义可求解.【题目详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，所以，，又或，或（舍去），故选：C9、C【解题分析】过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，利用抛物线定义以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.【题目详解】如图所示：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.【题目点拨】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.10、A【解题分析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.【题目详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，则由切线的性质可知：，，，所以，所以，所以.故选A【题目点拨】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.11、B【解题分析】由三视图可得该几何体是由平行六面体切割掉一个三棱锥而成，直观图如图所示，所以该几何体的体积为故选B点睛：本题考查了组合体的体积，由三视图还原出几何体，由四棱柱的体积减去三棱锥的体积.12、D【解题分析】由公理2可判断A选项；由公理3可判断B选项；利用平行线的传递性可判断C选项；直接判断线线位置关系，可判断D选项.【题目详解】对于A选项，由公理2可知，若，，，，则，A对；对于B选项，由公理3可知，若，，，则，B对；对于C选项，由空间中平行线的传递性可知，若，，则，C对；对于D选项，若，，则与平行、相交或异面，D错.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据导数的几何意义求切线方程的斜率并求出，再由点斜式写出切线方程即可.【题目详解】由题设，，则，而，所以在x=1处的切线方程为，即.故答案为：.14、①.##0.25②.6【解题分析】由题意知小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可算出小老鼠第三天穿城墙的厚度，再根据等比数列求和公式，构造等式，即可得解.【题目详解】由题意知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，前天打洞之和为，∴小老鼠第三天穿城墙的厚度为；大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前天打洞之和为，∴两只老鼠第天打洞穿墙的厚度之和为，且数列为递增数列，而，，又城墙厚40尺，所以这两只老鼠至少6天相遇.故答案为：；6.15、①③④【解题分析】根据茎叶图提供的数据求出相应的极差、中位数、均值、众数再判断【题目详解】由茎叶图，甲的极差是37－8＝29，乙的极差是23－9＝14，甲极差大，①正确；乙中位数是，②错；甲平均数是：，乙的平均数为：16.9，③正确；乙的众数是21，④正确故答案为：①③④16、【解题分析】分为和考虑，当时，根据题意列出不等式组，求出的取值范围.【题目详解】当得：，满足题意；当时，要想保证关于的不等式的解集为R，则要满足：，解得：，综上：的取值范围为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解题分析】（1）由题得，在，上为单调递增的函数，在，上恒成立，分类讨论，再次利用导数研究函数的最值即可；（2）由（1）可知，在存在极值点，则且，求得，再两次求导即可得结论.【小问1详解】由题得，在，上为单调递增的函数，在，上恒成立，设，当时，由，得，在，上为增函数，则，在,上恒成立，满足命题，当时，由，得，在上为减函数，，时，，即，不满足恒成立，不成立，综上：的取值范围为.小问2详解】证明：由（1）可知，在存在极值点，则且即：要证只需证即证又由（1）可知在上为增函数，且,成立.要证只需证即证：设则即在上增函数在为增函数成立.综上，成立.18、（1）（2）【解题分析】（1）由相互独立事件的概率可得；（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.【小问1详解】记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是【小问2详解】记事件B为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，，，，，，，故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为19、（1）（2）证明见解析，定值为【解题分析】（1）由题意得，从而写出椭圆的方程即可；（2）易知直线斜率存在，令，，，，，将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得值，从而解决问题.【小问1详解】（1）由条件得，所以方程为【小问2详解】易知直线斜率存在，令，，，由，因为，所以，即-1-x1因为，所以，即-4-x1由①，由②将，代入上式，得20、（1）；（2）存在，最大距离为.，理由见解析【解题分析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.【小问1详解】由题设知：且，又，∴，故椭圆C的方程为.小问2详解】联立直线与椭圆，可得：，∴，即直线与椭圆相离，∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，∴，可得，当，切线为，其与直线距离为；当，切线为，其与直线距离为；综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.21、（1）（2）【解题分析】（1）根据已知条件求得，由此求得的方程.（2）结合点差法求得直线的斜率，从而求得直线的方程.【小问1详解】因为C的离心率为2，所以，可得.将代入可得，由题设.解得，，，所以C的方程为.【小问2详解】设，，则，.因此，即.因为线段AB的中点为，所以，，从而，于是直线AB的方程是.22、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解题分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；（2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案；（3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【题目详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，，又因为，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，，，，，，所以，，，因为，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知