电磁场和电磁波第讲

电磁场和电磁波第讲第一页，共三十四页，编辑于2023年，星期一2、矢量场的通量

问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。

通量的概念：其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面积元的通量；

如果曲面S是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：面积元矢量第二页，共三十四页，编辑于2023年，星期一通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义第三页，共三十四页，编辑于2023年，星期一3、矢量场的散度为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。

散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。第四页，共三十四页，编辑于2023年，星期一柱面坐标系球面坐标系直角坐标系散度的表达式：散度的有关公式：第五页，共三十四页，编辑于2023年，星期一直角坐标系下散度表达式的推导

由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为oxy在直角坐标系中计算Ñ·FzzDxDyDP

不失一般性，令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。则第六页，共三十四页，编辑于2023年，星期一根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为

同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为第七页，共三十四页，编辑于2023年，星期一4、散度定理体积的剖分VS1S2en2en1S从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。第八页，共三十四页，编辑于2023年，星期一例1.6己知矢量场中，有一个边长为单位长度的正六面体，它位于第一象限内，其中一个顶点在坐标原点。试求从该正六面体穿出的净通量，并验证散度定理。例1.6己知矢量场中，有一个边长为单位长度的正六面体，它位于第一象限内，其中一个顶点在坐标原点。试求从该正六面体穿出的净通量，并验证散度定理。第九页，共三十四页，编辑于2023年，星期一解：先计算六面体的净通量，前表面：左侧面：解：先计算六面体的净通量，前表面：后表面：第十页，共三十四页，编辑于2023年，星期一右侧面：顶面：底面：闭合面总通量：右侧面：顶面：底面：闭合面总通量：第十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期一面积分和体积分结果相同，从而验证了散度定理。验证通量定理，由于面积分和体积分结果相同，从而验证了散度定理。第十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期一1.5矢量场的环流和旋度

矢量场的环流与旋涡源

例如：流速场不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中沿闭合路径的积分不为零。第十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期一

如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场的环流与电流的关系。

第十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期一如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。环流的概念矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即第十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期一过点M作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限称为矢量场在点M处沿方向n的环流面密度。

矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。

特点：其值与点M处的方向n有关。2、矢量场的旋度（）

（1）环流面密度第十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期一概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义：旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度第十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期一oyDz

DyCMzx1234计算的示意图

直角坐标系中旋度的表达式如图，作一包围点的边长为和且平行于yz平面的矩形回路。由定义取环流在x方向的分量旋度一般应为空间矢量，为讨论简单，我们先计算其沿x方向的分量。第十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期一式中代入第十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期一得到第二十页，共三十四页，编辑于2023年，星期一同理可得故得于是有第二十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期一旋度的计算公式:直角坐标系圆柱面坐标系球面坐标系第二十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期一旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零第二十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期一3、Stokes定理Stokes定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，在电磁理论中有广泛的应用。曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消

从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即第二十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期一4、散度和旋度的区别

第二十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期一

旋度有一个重要性质：旋度的散度恒为0。即

这在直角坐标下很容易证明第二十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期一例1.9在矢量场中，有一个三角形围线C位于xy平面上，试计算环流，并验证斯托克斯定理。解：先计算闭合曲线上的积分在上，第二十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期一第二十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期一而结果与前面相同，从而验证了斯托克斯公式。第二十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期一例1.4.2若某矢量场场中有一半球面S，通过计算验证斯托克斯公式。解：在球坐标内，面元矢量为

在直角坐标下的旋度为第三十页，共三十四页，编辑于2023年，星期一因此有第三十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期一

另外，在xy平面内，闭合路径为，，因此有环流第三十二页，共