第18讲三角形与全等

第18讲三角形与全等三角形180°三角形的边、角关系大于三角形的任意两边之和

第三边；三角形的内角和等于

．三角形的分类按角可分为

直角三角形

和

斜三角形

，按边可分为

和

．不等边三角形 等腰三角形3．三角形的主要线段4.全等三角形的性质和判定性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等．判定：①

两边和夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；②

两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；③

对应相等的两个三角形全等(AAS)；两角和其中一角的对边④

对应相等的两个三角形全等(SSS)；三边⑤ 对应相等的两个直角三角形全等(HL)．斜边和一条直角边5．命题与定理命题：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由

和

两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．命题的证明：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是

，只需举出一个反例即可．(3)定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．定理是真命题，但真命题不一定是定理．题设 结论假命题1．证明三角形全等的三种基本思路有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；有两个角对应相等时，找一对边对应相等．另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件．2．证明几何题的四种思考方法顺推分析：从已知条件出发，运用相应的定理，分别或联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标；逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法；顺推分析与逆推分析相结合；联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法．A．4

B．5

C．6

D．9命题点1：与三角形有关的线段1．(2017·河池)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的A是(

)A．中线B．角平分线C．高D．中位线命题点2：三角形三边关系2．(2017·舟山)长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是(

)C3．(2017·株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD＝(

B

)A．145°

B．150°

C．155°

D．160°_____，使得△ABC≌△DEF.4．(2017·黑龙江A)B如＝图D，E或BCB∥C＝EFE，F或ACA∥C＝DFD，F添加一个条件

命题点5：命题5．(2017·百色)下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中是假命题的有

．(填序号)②三角形的三边关系【例C1】

(1)(2017·金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(

)A．2，3，4

B．5，7，7C.5，6，12

D．6，8，10(2)(2017·扬州)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是(

)A．

C

B．7

C．11

D．126【点评】

三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.[对应训练]1．(1)(2017·白银)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－Db|的结果为(

)A．2a＋2b－2c

B．2a＋2bC．2c

D．0(2)(2017·达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是

．1＜m＜4三角形中重要线段的有关计算【例2】(2017·宁夏)在△ABC

中，AB＝6，点D

是AB

的中点，过点D

作DE∥BC，交AC

于点E，点M

在DE

上，且ME＝31DM.当

AM⊥BM

时，则

BC

的长为

．8【点评】

对于三角形中求线段长度的问题：若条件中涉及三角形的中位线，即利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半来计算；若条件中涉及三角形的角平分线时，则应联想到角平分线上的点到角两边的距离相等；若条件中涉及到三角形的中线时，则应联想到两条线段相等；若条件中涉及垂直平分线时，则应联想到垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；若条件中涉及到高线时，则应联想到勾股定理．D，若AB＝6，AC(2)(2017·遵义)如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(

)A．4.5

B．5

C．5.5

D．6[对应训练]2．(1)(2017·常州)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直15平分线，垂足为E，交AC于点 ＝9，则△ABD的周长是

．A全等三角形的判定与性质【例3】

(1)(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：

AB＝DE，使得△ABC≌△DEC.(2)(2017·泸州)如图，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AF＝DC，∠A＝∠D，BC∥EF，求证：AB＝DE.证明：∵AF＝CD，∴AC＝DF，∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE，∠A＝∠D，在△ABC

和△DEF

中，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE【点评】

判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．[对应训练]3．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，∴∠BAD＝∠NAM，AB＝AN，在△BAD

和△NAM

中，∠BAD＝∠NAM，AD＝AM，∴△BAD≌△NAM(SAS)，∴∠B＝∠ANM全等三角形判定和性质的综合运用【例4】

(2017·常德)已知四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F.(1)如图①，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；(2)如图②，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明你的结论．证明：(1)①如图①，∵AB⊥AD，AE⊥AC，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠CAE＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABC

和△ADE

中，∵∠1＝∠2，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE(SAS)；②如图①，∵△ABC≌△ADE，∴∠AEC＝∠3，在Rt△ACE

中，∠ACE＋∠AEC＝90°，∴∠BCE＝90°，∵AH⊥CD，AE＝AC，∴CH＝HE，∵∠AHE＝∠BCE＝90°，∴BC∥FHBF，∴FE＝HECH＝1，∴BF＝EF；(2)结论仍然成立，理由是：如图②所示，过E作MN∥AH，交BA，CD延长线于M，N，∵∠CAE＝90°，∠BAD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠CAD＝90°，∴∠2＝∠CAD，∵MN∥AH，∴∠3＝∠HAE，∵∠ACH＋∠CAH＝90°，∠CAH＋∠HAE＝90°，∴∠ACH＝∠HAE，∴∠3＝∠ACH，在△MAE

和△DAC

中，∠2＝∠CAD，∵AE＝AC，∠3＝∠ACH，∴△MAE≌△DAC(ASA)，∴AM＝AD，EF

AMBF

AB∵AB＝AD，∴AB＝AM，∵AF∥ME，∴

＝

＝1，∴BF＝EF【点评】本题的关键是能正确找出全等三角形；在几何图形中证明线段相等或已知线段相等的一般思路是：①证明相等线段所在的三角形全等；②利用相等线段的比值为1证相等．[对应训练]4．(导学号：65244022)(2016·长春)感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.应用：如图③，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝

．(用含a的代数式表示)2a探究：证明：如图②中，作DE⊥AB

于E，DF⊥AC

于F，∵DA

平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∠F＝∠DEB，∴∠B＝∠FCD，在△DFC

和△DEB

中，∠FCD＝∠B，DF＝DE，∴△DFC≌△DEB(AAS)，∴DC＝DB应用：解；如图③连接AD、作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，∠F＝∠DEB，∴DF＝DE，CF＝BE，在Rt△ADF

和Rt△ADE

中，在△DFC

和△DEB

中，∠FCD＝∠B，∴△DFC≌△DEB(AAS)，DC＝DB，AD＝AD，DE＝DF，∴△ADF≌△ADE，∴AF＝AE，∴AB－AC＝(AE＋BE)－(AF－CF)＝2BE，在Rt△DEB