2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第11讲与直线相关的对称问题含解析

Page1第11讲与直线相关的对称问题、最值问题与创新命题一、知识与方法（1）求点关于点的对称点用中点坐标公式；求点关于直线的对称点则要用到两个重要结论：①点及其对称点连线中点在对称轴上；②连线垂直于对称轴.需要特别指出的是：当对称轴斜率为时，可以通过将点的横纵坐标代人对称轴方程得到相应的纵横坐标.（2）点关于定点的对称点坐标为；曲线：关于定点的对称曲线方程为.（3）若求点关于直线：的对称点，可得方程组，解得（4）与直线相关的最值问题，通常含有参变量，把问题转化为参变量的函数，借助函数的性质解决，而且此类问题往往又是与方程、不等式相结合的问题，解题时还需要利用方程、不等式的有关知识（如方和解的个数、根的存在问题、不等式的性质、基本不等式等）来解决.（5）与直线相关的创新命题通常为新定义问题或者题目的结构形式，设问方式等都有创新.既要吃透题目的“新意”，又要善于“化新为旧”，解决此类题所用到的知识还是“熟悉”的知识.当然思维方向应当是发散的，多注意数形结合的运用，多思考一些题目的几何意义，注意逆向思维与创造性思维，构造法是破解创新命题的法宝.二、典型例题【例1】（1）求点关于直线的对称点坐标；（2）求直线：关于直线：对称的直线的方程；（3）设点，，试在轴上找一点，使得最小，则最小值为_______，此时点坐标为_______；若使得||最大，则最大值为_______，此时点坐标为_______，【分析】对于第（1）问，设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线与直线垂直.据此可求点的坐标.对于第（2）问，利用“垂直”“平分”这两个条件是解决对称问题的关键，对称问题的核心是利用转化的思想将所求的点转换到已知直线（或曲线）上去，这也是求轨迹的基本思想，特别应指出的是——如果对称轴方程的斜率为时，可用直接代入的方法，即把，代入：得，即为所求；如果对称轴方程的斜率不为，则不能用此法，而要用上述一般的方法.对于第（3）问，初看是与直线相关的最值问题，通过画示意图可将此类问题转化为对称问题，再结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值.【解析】（1）设是关于直线的对称点，根据直线与垂直，线段中点在直线上.有解得，.∴所求对称点的坐标为.（2）【解法一】由得两直线的交点，在直线上取一点，设关于直线的对称点的坐标为.则解得，则由题意知经过此点.∴由两点式求得的方程为.【解法二】同解法一得两直线的交点，设直线的方程为，即.在直线上取一点，则到的距离与到的距离相等.即，解得或（舍去）.∴所求的方程为.（3）如图2-12所示，寻找点关于轴的对称点，联结，交轴于点，点即为所求.否则，在轴上另取一点，则必有.直线的方程为，即.令得，即.此时的最小值为.如图2-13所示，连结并延长交轴于点，即为所求.事实上，另取一点，则有.直线的方程为，即.令得，即，此时的最大值为.【例2】已知直线，一光线从点处射向轴的点，又从点反射到直线上一点，最后又从点反射回到点.（1）判断由此得到的有有限个还是无限个；（2）根据以上判断，若是有限个，求此时直线的方程；若是无限个，求出这样的面积的最小值.【分析】根据反射的光学原理，先求出入射线上某点关于直线的对称点，然后可确定反射线方程，所以要解决此类问题，关键是求关于直线的对称点，另外，也可以用“相关点法”求轴对称的曲线方程.【解析】（1）如图2-14所示，设点的坐标为，则点关于直线的对称点的坐标为，点关于轴的对称点为，根据光学性质，点在直线上，又在直线上，而..由，解得点的横坐标.同样地，由，解得点的横坐标，∴，解得或.当时，点在直线上，此时不能构成三角形.故这样的三角形只有一个.（2）当时，点的坐标为，点的坐标为.故直线的方程为.【例3】已知正方形的边长为，折叠此正方形，使得点落在上为，折痕为；求使得折起的四边形面积最小时折痕所在的直线方程.【分析】本例是对称问题与最值问题的创新命题，折叠问题可以转化为对称问题，折痕通常就是对称轴.【解析】如图2-15所示，在平面直角坐标系中，，，，，折叠后（其中），则中点为.∵，∴折痕所在直线的斜率为，直线方程为.它与相交于点，点.则在边上.折痕所在直线与相交于点，而.点在边上.∴折起的四边形是梯形.面积.当时，取得最小值，此时有，.∴折痕所在直线的方程是.三、易错警示【例】已知，满足且目标函数的最大值为，最小值为，则（）A. B. C. D.【错解】由于已知条件中是一条不确定的直线，无法画出可行域，不知从何下手解决问题.【评析及正解】本例虽然画不出可行域，然而从所给的条件可知目标函数在的交点处取得最大值.在的交点处取得最小值.可见解数学问题，“吃透”条件是关键，逆向思維很重要.正确的解法如下：【解析】如图2-16所示，可知直线必过的交点和的交点，可得.∴，故选A.四、难题攻略【例】直线经过，两点；直线的倾斜角为，且过点；直线与平行，且与的距离是.(1)写出，，的方程；(2)再设，，是线段的中点，求过点的直线的方程，使原点到的距离是到经过点的直线的距离中最大的；(3)在轴上有一点，它使最小，求的值；(4)在轴上求一点，使得最大，并求其值.【分析】这是一道综合性很强的研究直线相关问题的例题，几乎汇集了与直线方程相关的众多知识，如求直线方程的多种方法，两平行直线之间的距离，两直线的交点，对称问题，最值问题，本例最困难的是解第(4)问，所给式子比较复杂，关键是找出它的几何背景，即求的最大值，其中，，，这也是数形结合研究数学问题的思想方法，此题即可迎刃而解.【解析】(1)直线经过，，由截距式得.∴的方程为.直线的倾斜角为，且过点，由斜截式得，∴的方程为.根据，可设的方程为.由与的距离是，得，解得或.∴的方程为或.(2)把，的方程联立得解这个方程组得到点.同理得到点，即，.由是线段的中点，可得点的第一个位置是，同理可得到点下面讨论点的第一个位置.如图所示，过点作直线与，使，再作于点.在中，，直线满足题设，直线的斜率为，直线的斜率为，且经过点，由点斜式得，化简得，这就是直线的方程之一.同理可以求的方程之二，即，综上，直线的方程为或.(3)点，的坐标分别是，或，，先讨论的第一个位置.如图所示.作关于轴的对称点.联结，直线与轴的交点就是点.事实上，，，，三点共线，最小.直线的方程是两点式).在这个方程中：令，得到的的值就是的值，即.同理可以求得的第二个值.综上所述，的值为或.(4)它表示点与点的距离减去点与点的距离，即如图所示，设直线与轴交于点，点即为所求.事实上，设轴上有异于点的点，有过，两点的直线的方程为(两点式).在这个方程中，令，得.所求的点就是.的最大值也就是的最大值，也就是的值，这个值为.五、强化训练1.已知点，，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为.【解析】由题意知,点在直线的同一侧,由平面几何性质可知,先作出点关于直线的对称点,然后联结,则直线与的交点为所求,事实上,设点是上异于的点,则设,则解得直线的方程为由解得.2.在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合(如图所示)，将矩形折叠，使点落在线段上.(1)若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在的直线的方程；(2)求折痕的长的最大值.【解析】(1)①当时,此时点与点重合,折痕所在的直线方程为;②当时,将矩形折叠后点落在线段上的点为.与关于折痕所在的