2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第15讲抛物线的标准方程和几何性质含解析

Page1第15讲抛物线的标准方程和几何性质一、知识与方法抛物线的标准方程和几何性质如下.定义平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线，，．按照圆锥曲线统一定义，是抛物线的焦点，是抛物线的准线，离心率．图形标准方程范围，，，，对称轴轴为对称轴轴为对称轴焦点，顶点，，，，准线方程焦半径（为抛物线上点的横坐标）（为抛物线上点的横坐标）（为抛物线上点的纵坐标）（为抛物线上点的纵坐标）点与抛物线点在含焦点区域点在含焦点区域点在含焦点区域点在含焦点区域二、典型例题【例1】（1）已知抛物线的顶点在原点，求焦点在上的抛物线的标准方程；（2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为，求的值，并写出此抛物线的方程；（3）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，设、是抛物线上的两个动点（不垂直于轴），但，线段的垂直平分线恒过定点，求此抛物线的方程．【分析】第（1）问，抛物线的标准方程其焦点必在坐标轴上，而直线与正半轴与负半轴各有一个交点．可依次设抛物线方程为，，所以本题有两解．第（2）问，同样，虽然抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，处于标准位置，然而开口方向并不确定，因此也应分类讨论．第（3）问，在求圆锥曲线方程时抓住相应圆锥曲线的定义非常重要．【解析】（1）由已知条件知，直线与两坐标轴的交点坐标分别为和，当抛物线的焦点坐标为时，抛物线的标准方程为．∵焦点到顶点的距离是，∴，即．∴抛物线的标准方程是．同理，当抛物线的焦点坐标为时，抛物线的标准方程为．∵焦点到顶点的距离是，即．∴抛物线的标准方程为．综上，抛物线的标准方程为或．（2）若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为，这时准线方程为，由抛物线定义知，解得．∴抛物线方程为，此时将点代入方程，得．若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为．从知准线方程可统一成的形式．∴有解此方程组可得或或或此时抛物线方程为：，；或，；或，；或，．（3）设抛物线的方程为，其准线为．设点，的坐标分别为，．∵，∴，即．∵在线段的中垂线上，∴，即．又，，∴．∵与轴不垂直：．故，即，解得．故抛物线的方程为．【例2】（1）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上，且，则的面积为（）.A.4 B.8 C.16 D.32（2）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（）.A.16 B.14 C.12 D.10 【分析】第（1）问，利用拋物线的定义将条件中的等量关系进行转化，借助于平面几何知识可以有多种解法，当然还可以利用条件建立关于的方程，与联立求出点的坐标，再求的面积也是可以的．总之，对于与焦点弦有关的拋物线问题，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．即用定义法解通常比用纯代数方法解更为简捷．第（2）问是抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化为到准线上．另外，直线与拋物线联立，运用判别式和韦达定理是通法．最值问题通常用基本不等式解决，关于拋物线焦点弦问题，将弦长用倾斜角表示，从而转化为三角函数求解，也是一种好方法．【解析】（1）解法一如图2—41所示，不妨设点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为．由抛物线定义可知．在中，．∴．∴直线的方程为，代入，解得．∴．∴．故选．解法二由题设知抛物线的焦点为，准线方程为，故．设，过点作准线的垂线，垂足为，则．∵，又，∴得，解得，故．∴．故选．解法三抛物线的焦点为，准线方程为，．设，由，得．化简得，与联立，解得．∴．故选．（2）解法一设直线的方程为，联立抛物线方程可得方程组消去整理可得，．∴．同理，直线与抛物线的交点满足．由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号．故选A．解法二设直线的倾斜角为，对于抛物线，则焦点弦长为，，∴．故选Ａ，【例3】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为．（1）若，求的方程；（2）若，求．【分析】第（1）问，设出直线的方程，并与抛物线方程联立得到一元二次方程，根据韦达定理及抛物线的几何性质得到关于（为直线的纵截距）的方程，解方程得到的值，进而得到直线的方程．第（2）问，根据两向量的关系得到两点纵坐标的关系，结合韦达定理求解两点的纵坐标，进而根据两点间的距离公式求解线段的长度（也可用弦长公式），若用抛物线的参数方程解或由这一关系得到、两点间坐标的关系求得直线的纵截距进而求弦长都可轻松获解．【解析】设直线，，．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得，．∴的方程为．（2）解法一由可得．由可得．∴，从而，故，．代入的方程得，．由两点间距离公式得．解法二抛物线的参数方程为（为参数）．则可设，．根据直线的斜率为，得．于是．又，设，于是，∴，解得，，，，故．解法三由，得，即．则有．由（1）知，（为直线的纵截距），将代入可得，从而有（舍去），．∴．从而．三、易错警示【例】讨论抛物线与圆的公共点的个数．【错解】由消去得．①，当时，，无解；当时，，有两个公共点（切点）；当时，，相交，有4个公共点．【评析及正解】上述解法中对于都有，这就意味着方程①有两个不同的实数解，但不一定是两个不同的正数解，所以并不意味着抛物线与圆有4个交点，因为抛物线与圆是有范围的，这里应当起限制作用．由此可以这样说，直线与圆锥曲线位置关系的讨论，判别式是可起到决定作用的（但必须注意直线与双曲线、抛物线有一个交点尚有特殊情况），曲线与曲线的交点个数常受到范围的制约，一定要深入讨论．正确的解法如下：【解析】联立方程组消去得．②．（1）当时，内含，无解；（2）当时，内切，有两个公共点；（3）当时，，结合隐含条件分如下情况讨论：当时，相交，有4个交点；当时，相交，有3个交点；当时，相交，有两个交点；当时，外切，有1个交点；当时，相离，无公共点．四、难题攻略【例】已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点．过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．【分析】第（1）问，将点的坐标代入抛物线方程可得的值．由此可写出抛物线方程、其焦点坐标与准线方程．第（2）问，点斜式设出直线方程，入抛物线方程，消元化为一元二次方程，设出点的坐标．计算的坐标，由中点坐标公式证之．若结合韦达定理或把抛物线的普通方程化为参数方程，则证明过程更为简捷．【解析】（1）抛物线过点，得．∴抛物线的方程为．抛物线的焦点坐标为，准线方程为．（2）证法一由题意，设直线的方程为，与抛物线的交点为，．由得．则，．∵点的坐标为，∴直线的方程为，点的坐标为．直线的方程为，点的坐标为．∵．∴．故为线段的中点．证法二设直线的方程为：，，．直线的方程为：，直线的方程为：．由题知点，．得，则，．由消去，可得．∵，．∴，∴为线段的中点．（上述两种证法比较，联立方程组消去得关于的一元二次方程，可以简化运算，若运用参数法，则下列解法更加简捷）证法三设抛物线的参数方程为（为参数），则点，，由点与点共线，可得，化简可得．直线的方程为，因此点的坐标为．由，可得，由于点的坐标为，∴为线段的中点．五、强化训练1.如图所示，抛物线的顶点为，点的坐标为．倾斜角为的直线与线段相交（不经过点或点）且交抛物线于两点，求面积最大时直线的方程，并求的最大面积．【解析】由题意，可设的方程为，其中．由方程组得①直线与拋物线有两个不同交点，故方程①的判别式，解得，且．即的范围为．设点的坐标为，点的坐标为，则点到直线的距离为，故．从而，当且仅当，即时取等号．故直线的方程为的最大面积为2.如图所示，已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．【解析】(1)由拋物线的定义得，即，解得抛物线的方程为．(2)证法一：点在拋物线上，由拋物线