2022-2023学年高一数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练第4讲简单几何体的表面积和体积含解析

Page1第4讲高一数学学科素养能力竞赛专题训练——简单几何体的表面积和体积【题型目录】模块一：易错试题精选模块二：培优试题精选模块三：名校全国竞赛试题精选【典型例题】模块一：易错试题精选1．已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，计算，，根据勾股定理得到，计算表面积得到答案.【详解】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，是中点，连接，如图所示：，，则，四边形为矩形，，，故，.故选：C2．如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定球心的大致位置，结合勾股定理，得出半径的最大值，进而可求外接球的体积的最大值.【详解】因为，，所以的外接圆的圆心为的中点,且，取的中点，连接，则，所以平面；设三棱锥的外接球的球心为，则在上，设，，球半径为，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，即外接球半径的最大值为，所以三棱锥的外接球的体积的最大值为.故选：C.【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：（1）棱长为的正方体的外接球半径为；（2）长方体的长，宽，高分别为，则其外接球的半径为；（3）直棱柱的高为，底面多边形的外接圆半径为，则其外接球的半径为.3．已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球的O球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】设底面的中心为Q，根据题意可知，当三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，底面ABC，求出体积的最大值，再利用等体积法求出内切球的半径即可.【详解】设底面的中心为Q，连接BQ，OQ，则，且底面ABC，如图，延长QO交球面于点P，连接OB，此时三棱锥P－ABC的体积取得最大值，因为球O的半径为2，所以，在中，，所以三棱锥P－ABC的体积的最大值为，此时，所以，所以，解得．故选：B.4．正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积.【详解】如图所示，，，为外接球球心，设外接球半径为R，分别为棱台上下底面的中心，则，由勾股定理得：，，设，则，，故，解得：，故，故球的表面积为.故选:B5．如图，在四棱锥中，，，，P为侧棱SA的中点，则四棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取AD的中点O，连接OB，OC，OP，根据已知得出四边形OABC为平行四边形，，即可得出，则四棱锥外接球的球心为O，半径为2，即可根据球的表面积计算得出答案.【详解】取AD的中点O，连接OB，OC，OP.因为，，所以.又，即，所以四边形OABC为平行四边形，所以，同理可得.因为，且P为侧棱SA的中点，所以，所以在中，.（点拨：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）所以，所以四棱锥外接球的球心为O，半径为2，故外接球的表面积为，故选：B.6．《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，求出OM的长，进而求出OA的长，可知，从而可求出羡除外接球体积，由等体积法可求出羡除体积，进而可求得结果.【详解】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则平面.取BC的中点G，连接FG，作，垂足为H，如图所示，由题意得，，，，，∴，∴，又∵，∴，∴，即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，∴这个羡除的外接球体积为.∵，面，面，∴面，即：点A到面的距离等于点B到面的距离，又∵，∴，∴这个羡除的体积为，∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为.故选：A.7．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体和三棱锥，从而可得出答案.【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面，水最多的临界情况为多面体，水面为，因为，，所以，即.故选：A.8．在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，先利用等体积法求出，再结合勾股定理求出，再根据球的体积公式即可得出答案.【详解】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，由等体积法得，设，正的中心为，则，，由，得，故故选：B.9．如图所示的多面体由正四棱锥和三棱锥组成，其中.若该多面体有外接球且外接球的体积是，则该多面体体积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据求得体积可得其半径，分析可得四棱锥的外接球的球心为底面中心，根据等体积法可求得点到平面的距离，进而分析可得三棱锥的高的最大值为，进而可求多面体体积的最大值.【详解】设正四棱锥的外接球的半径为，则，解得，连接交于点，连接，∵正方形的边长为2，则，∴为四棱锥的外接球的球心，则，故的是以边长为2的等边三角形，过作平面的垂线，垂足为，连接，由三棱锥的体积可得：，解得，由题意可知：点在四棱锥的外接球的球面上，则，∵，即，当且仅当三点共线，则面时等号成立，可得三棱锥的高的最大值为，∴三棱锥的体积，故该多面体体积.故选：D.【点睛】关键点定睛：（1）求出球的半径结合正方形的边长分析得球心为底面中心；（2）根据几何性质，分析可得三棱锥的高的最大值.10．已知四面体外接球的球心与正三角形外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为，则该四面体外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据四面体的几何特征可知，当平面时该四面体的体积最大，计算可得外接球半径即求出外接球的体积.【详解】设球的半径为，可得.当平面时，四面体的体积最大，此时，即，得，则该四面体外接球的体积.故选：B11．河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（

）A．24 B．12 C． D．【答案】D【分析】根据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面积公式代入计算即可.【详解】由题意可知，记正四棱台为，其底面为正方形，侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，设是底面上与的交点，是底面上与的交点则是正四棱锥的高，为正四棱台的高，设，，则上、下底面的面积分别为、，由题意，所以，在中，，所以为PA的中点，在中，，所以，所以，又，解得，，所以，所以侧棱长是，由勾股定理可得侧面的高为，所以侧面积为.故选：D12．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是等腰三角形，，且球O的直径，则该三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合正弦定理求出△ABC外接圆半径，利用勾股定理求出，进而得到，结合三棱锥体体积公式即可求解.【详解】由△ABC是等腰三角形，，,易得，如图，设△ABC外接圆圆心为M，则平面ABC，作平面ABC,又，,故，则，,故选：C.13．三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC，，，则下列说法正确的是（

）A． B．球心O在三棱锥的外部C．球心O到底面ABC的距离为2 D．球O的体积为【答案】ABD【分析】对A，由余弦定理直接判断；对B，设△ABC外接圆的圆心为，说明，圆心在△ABC外部，故球心O在三棱锥的外部；对C，取线段PA的中点Q，连接OQ，说明，则四边形为矩形，球心O到底面ABC的距离为；对D，由正弦定理求得设△ABC外接圆半径，从而求得球半径，由体积公式可求得结果.【详解】对A，在△ABC中，由余弦定理得，即，故A正确；对B，如图，设△ABC外接圆的圆心为，连接，则底面ABC，又PA⊥底面ABC，所以，由，得圆心在△ABC外部，故球心O在三棱锥的外部，故B正确；对C，取线段PA的中点Q，连接OQ，因为PA是球O的一条弦，所以，所以四边形为矩形，故，即球心O到底面ABC的距离为1，故C不正确；对D，设球O的半径为R，圆的半径为r，由正弦定理得，所以，进而，球的体积为，故D正确，故选：ABD．14．已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（

）A．三角形面积的最大值为B．三棱锥体积的最大值C．四面体外接球表面积的最小值为11D．直线SP与平面所成角的余弦值的最小值为【答案】BD【分析】选项A，由已知计算出底面半径的长度，以及轴截面的顶角大小，利用三角形的面积公式可知，当时，三角形面积最大，可判断选项A；利用三棱锥等体积转换，可得当面时，三棱锥体积最大，可判断选项B；因为底面圆，所以四面体外接球球心在的中垂面和过外接圆圆心的底面垂线的交点处，利用勾股定理和正弦定理可计算出最小值，判断选项C；由线面角公式可得，当面时，直线SP与平面所成角的余弦值最小，判断出选项D．【详解】选项A，由母线长为，高为，可得底面半径为，设是底面圆的一条直径，则，即是钝角，又，则存在点，当时，，三角形面积的最大值为，故A错误；选项B，，当面时，，故B正确；选项C，设的外接圆半径为，底面圆，四面体外接球半径满足，若外接球表面积的最小，即外接球的半径最小，又，即在底面圆中，的外接圆半径最小，由正弦定理，则点经过线段的中垂线时，最大，的外接圆半径最小，此时，，，即四面体外接球表面积的最小值为，故C错误；选项D，设点到平面的距离为，直线SP与平面所成角的正弦值为，则当面时，，此时直线SP与平面所成角的余弦值最小，最小值为，故D正确；故选：BD15．在正方体中，分别是棱的中点，过、、的平面把正方体截成两部分体积分别为，则__________.【答案】【分析】根据平面的基本性质画出过的截面，再利用柱体、锥体的体积公式求，即可得结果.【详解】延长交的延长线与点，连接交于点，连接：延长交的延长线与点，连接交于点，连接：所以过、、的截面为，如下图所示：设正方体的棱长为，由，分别是棱、的中点，所以，所以，，则过、、的截面下方几何体的体积为，所以另一部分体积为，则.故答案为：.16．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足，平面，，若三棱锥的体积为，则该“鞠”的体积的最小值为______.【答案】【分析】根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然后在直角三角形中，根据基本不等式即可求解最小值，进而可得球半径的最小值.【详解】取中点为,过作交于，则,即为中点.因为平面,所以平面.因为,所以,所以，,所以，是三棱锥外接球球心,为球的半径.由,又,当且仅当,等号成立,此时,所以球半径,故,该“鞠”的体积最小值为故答案为：17．在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________.【答案】

##【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥的外接球半径，计算出的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用球体的体积和表面积公式可求得结果.【详解】因为三棱锥每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为、、，如下图所示：则，，，解得，，外接球直径，其半径为，三棱锥的体积，在中，，，取的中点，连接，如下图所示：则，且，所以，，因为三棱锥的每个面的三边分别为、、，所以，三棱锥的表面积为，设三棱锥的内切球半径为，则，可得，所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.故答案为：；.18．已知菱形ABCD中，，，现将此菱形沿对角线BD对折，在折的过程中，当三棱锥体积最大时，______；当三棱锥表面积最大时，______.【答案】

##

.【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，进而求得的长度；先求得三棱锥的表面积的表达式，进而求得表面积最大时的长度.【详解】当平面平面时，三棱锥体积最大，此时；三棱锥的表面积，,，所以三棱锥的表面积，故当，即时，表面积最大，此时.故答案为：；.模块二：培优试题精选1．正方体的棱长为3，点P在正方形的边界及其内部运动．若，则三棱锥的体积的最小值是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据图形，利用线面垂直的判断定理、勾股定理、等体积法以及棱锥的体积公式进行求解.【详解】如图所示，因为平面，平面，所以，∵，由，则，所以P在以A为圆心，为半径的圆上及圆内部，由题意可知，，因为P到的最小距离为，所以的面积的最小值是，所以四面体的体积的最小值是，故A，C，D错误.故选：B．2．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，求出点到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答.【详解】取、中点、，正方形中心，中点，连接，根据题意可得平面，，点是的中点，，在等腰中，，，同理，则等腰梯形的高为，根据几何体的结构特征可知，刍甍的外接球的球心在直线上，连接，正方体的外接圆的半径，则有，而，，当点在线段的延长线（含点）时，

视为非负数，若点在线段的延长线（不含点）时，

视为负数，即有，则，解得，则刍甍的外接球的半径为，则刍甍的外接球的表面积为，故选：C.3．已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设内切球O的半径为r，球的半径为R.由题意可得三棱锥P-ABC的表面积为.由等积法得.用一平行于底面ABC且与球O上部相切的平面去截此三棱锥，得到一个小棱锥,求此小棱锥的内切球半径即为球的半径.【详解】设内切球O的半径为r，球的半径为R.设此棱锥的高为,底面的中心为，因为底面边长为，底面的高，所以，所以三棱锥的体积,求得,在底面中，则侧棱长为，每个侧面的三边长为,则侧面的高，所以，所以三棱锥的表面积为.由等积法知，得.用一平行于底面ABC且与球上部相切的平面截此三棱锥，下部得到一个高为的棱台，那么截得的小棱锥的高为，即为高的，则此小棱锥的内切球半径即为球的半径，根据相似关系，截得的棱锥的体积为，表面积为，根据等体积法，，解得.故选:D.4．已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找到三棱锥外接球的球心，设点轨迹所在平面为，易知到平面的距离，故平面截外接球所得截面圆的半径能求，截面圆的周长就能求.【详解】取中点，则，∴平面，，又，∴，作，设点轨迹所在平面为，则平面经过点且，设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，易知平面平面，且四点共面，由题可得，，解Rt，得，又，则三棱锥外接球半径，易知到平面的距离，故平面截外接球所得截面圆的半径为，∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为．故选：C5．在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，求得的外接圆的半径为，结合图形求得三棱锥外接球半径，然后换元利用基本不等式及不等式的性质得的最小值，从而可得面积的最小值．【详解】如图，设，，为的外心，为三棱锥外接球的球心，则平面，又平面，所以，平面，则，四边形是直角梯形，设，，，由平面，平面，得，则，，，即，又，则，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立，所以三棱锥外接球表面积，故选：B．【点睛】结论与方法点睛：（1）三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此易找到球心；（2）特殊的三棱锥，如有从同一点出发的三条棱两两垂直，或三棱锥的三对棱相等则可把三棱锥补形为一个长方体，长方体的对角线即为外接球的直径．（3）如果三棱锥的一条棱与一个面垂直，可把此三棱锥补形为一个直三棱柱，直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球．6．已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（

）A．圆锥的侧面积为B．的取值范围为C．若为线段上的动点，则D．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为【答案】AC【分析】依次判断每个选项，直接计算A正确；当时，，B错误；当三点共线时最小，根据余弦定理计算得到C正确；计算截面，根据均值不等式计算得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：母线长，侧面积为，正确；对选项B：中，，，则当时，，错误；对选项C：为等腰直角三角形，，将放平得到，如图2所示，当三点共线时最小，为中点，连接，则，，，正确；对选项D：如图3，设截面为，为中点，连接，设，，则，当，即时等号成立，D错误.故选：AC【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中侧面积，截面积和线段和的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和空间想象能力，其中，将空间的线段和转化为平面的距离是解题的关键.7．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，如图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体.已知，则（

）A．十面体的上、下底面之间的距离是B．十面体的表面积是C．十面体外接球球心到平面ABE的距离是D．十面体外接球的表面积是【答案】ABD【分析】利用勾股定理求得的长即可判断选项A；由几何体的结构特征将侧面积和底面积加起来即可得出其表面积判断B；易知长方体的外接球就是十面体的外接球可求得外接球半径，计算可得外接球表面积从而判断D；根据十面体外接球球心与外接圆圆心之间的位置关系，利用勾股定理即可求得其距离，进而判断选项C.【详解】由图2可知，上底面的平面图如下所示：连接交于点，易知，由勾股定理可得，又因为长方体中，平面，平面，所以，所以，解得，即，所以十面体的上、下底面之间的距离是，即A正确；由，可知的面积为，下底面面积，所以十面体的表面积是，故B正确；因为十面体是将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到的，所以长方体的外接球就是十面体的外接球；设十面体的外接球半径为，则即，所以十面体外接球的表面积是，故D正确；由于，所以；设的外接圆半径为，则，即，由外接球与平面外接圆之间的关系可知，十面体外接球球心到平面ABE的距离是，即C错误；故选：ABD.8．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（

）A．该阳马的体积为 B．该阳马的表面积为C．该阳马外接球的半径为 D．该阳马内切球的半径为【答案】ABD【分析】根据相等的两条棱，求出四棱锥的高，可得其体积和表面积；然后再分析发现其外接球球心为中点，内切球的大圆半径其实是的内切圆半径.【详解】如图，不妨底面，两两互相垂直，平面平面，又由对称性：，所以A对；B对；都是以为斜边的直角三角形，所以都在以为直径的球上，C错；分析易知：内切球的大圆半径其实是的内切圆半径，根据内切圆半径公式可得：D对；故选：ABD【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.9．如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（

）A．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为B．若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为C．三棱锥的体积最大值为D．若点M在上运动，则到直线PM的距离的最小值为【答案】ABC【分析】A选项，把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间，线段最短进行求解，注意展开方式可能有多种；B选项，找到点在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求解弧长；C选项，利用等体积法和建立空间直角坐标系，求出的最大值，即为最大值；D选项，在空间直角坐标系中利用点与线距离公式即可判断该选项.【详解】对于A，将平面与平面展开到同一平面内，连接AP，此时，也可将平面ABCD与平面展开到同一平面内，此时，，故A正确；对于B，取DD1中点E，连EM，PE，如图，因是正方体的棱中点，则PE//CD，而CD⊥平面ADD1A1，则有PE⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1，因此，点在侧面内运动路径是以E为圆心，1为半径的圆在正方形内的圆弧，如图，圆弧所对圆心角为，圆弧长为B正确；对于C，连接，，，，，，则，所以，以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，设，（，），设平面的法向量为，则，令，得：，所以，设到平面的距离为，则，故当，时，取得最大值，为，此时三棱锥体积最大，，C正确；对于D，正方体的棱长为1，为的中点，点M在上运动，设，可得，，，，，，可得，得，，，由图可见，明显地，当与重合时，必有到直线PM的距离的最小，此时，，故，设直线与直线的夹角为，可得,则，故到直线PM的距离的最小值为，故D选项错误；故选：ABC10．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题：①平面截得球的截面面积最小值为；②球的表面积是圆柱的表面积的；③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为．其中所有正确的命题序号为___________.【答案】①③【分析】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可判断①；利用球体和圆柱的表面积公式可判断②；在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可判断③.【详解】对于①，过点在平面内作，垂足为点，如下图所示：易知，，，由勾股定理可得，则由题可得，设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，因为平面，当平面时，取最大值，即，所以，，所以平面截得球的截面面积最小值为，①对；对于②，因为球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，球的表面积为，圆柱的表面积为，所以球与圆柱的表面积之比为，②错；对于③，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，则，，，由勾股定理可得，令，则，其中，所以，，所以，，因此，，③对.故答案为：①③.11．已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点到底面的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球的半径为5，则满足上述条件的顶点的轨迹长度为__________.【答案】【分析】先设出，并根据体积求解出，然后再根据给出的外接球半径，计算球心到底面的距离，然后分两种情况，球心在底面和截面圆之间和球心在底面和截面圆同一侧，分别计算截面圆的半径，从而求得顶点的轨迹长度.【详解】由为等腰直角三角形可得：，由顶点到底面的距离为3，三棱锥体积为24，可得：，所以，所以，因为三棱锥外接球的半径为5，为底面的外接圆圆心，在中，，解得，即球心到底面的距离为，又因为顶点到底面的距离为3，所以顶点的轨迹是一个截面圆的圆周，当球心在底面和截面圆之间时，球心到该截面圆的距离为，设顶点的轨迹所在圆的半径为，可得：，所以顶点的轨迹长度为，当球心在底面和截面圆同一侧时，球心到该截面圆的距离为，所以截面圆的半径为，所以顶点的轨迹长度为，综上，顶点的轨迹长度为：.故答案为：.12．球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球的半径为为球表面上两动点，为线段的中点.半径为2的球在球的内壁滚动，点在球表面上，点在截面上的投影恰为的中点，若，则三棱锥体积的最大值是___________.【答案】15【分析】作出图形，在球中求得三角形的面积的最大值为3，作出图形，求得点为到平面的距离最大值为15，根据锥体的体积公式即可求得答案.【详解】解：如图一所示：在圆中，因为点在截面上的投影恰为的中点，且，所以为直角三角形，且，又因为，所以可得，设，则有，所以，所以，当时，等号成立，所以；如图二所示：因为球的半径为，为线段的中点，所以，当三点共线且为如图所示的位置时，点为到平面的距离最大，即此时三棱锥的高最大，此时,所以此时,即三棱锥体积的最大值是15.故答案为：15.13．给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个的四个顶点满足：（，2，3，4），则该正四面体的体积为_________．【答案】##【分析】利用正方体性质找到正四面体满足题设的四个平行平面，进而求出正方体棱长，即可求出四面体的体积.【详解】如下图正方体中，过的平面，过的平面，过的平面，过的平面，且面面，每相邻的两个平面距离为1，所以正四面体满足题设要求，此时其上底面如下图示，过作于：所以，设正方体棱长为，则，由等面积知：，可得，所以正四面体的体积.故答案为：14．如图所示的六面体由两个棱长为a的正四面体，组合而成，记正四面体的内切球为球，正四面体的内切球为球，则______；若在该六面体内放置一个球O，则球O的体积的最大值是______．【答案】

##

【分析】第一空，取的中点D，连接，设点M在平面内的射影为N，知N为的中心，求出正四面体的高，利用等体积法即可求得正四面体的内切球半径，根据对称性可得答案；第二空，六面体内放置一个球O，当球O的体积最大时，球O与该六面体的六个面都相切，由此根据对称性确定球心位置，求得其半径，即可求得答案.【详解】如图，取的中点D，连接，设点M在平面内的射影为N，连接，由四面体是正四面体，知N为的中心，且N在线段AD上,,由正四面体的棱长为a，可得，，．设球的半径为r，由等体积法可，得，根据六面体的对称性可知正四面体的内切球和正四面体的内切球与面相切于N点，可得．当球O的体积最大时，球O与该六面体的六个面都相切，此时，由对称性可知球心O即的中心N，连接，,过点O作于点E，由于,平面,故平面,而平面,所以,又平面,故平面,则OE为球O的半径．，即，得，即此时球O的半径为，所以球O的体积的最大值为．【点睛】方法点睛：在正四面体中要注意以下几个重要结论：（1）棱长为a的正四面体，其每个面的三角形的高为，正四面体的高为，外接球的半径为，内切球的半径为；（2）求棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的等体积法列式得出．15．中，，沿将折起到位置，点不在面内，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球半径是__________；当时，三棱锥的外接球表面积是__________.【答案】

【分析】根据图形，得出面外接圆的半径为，而后利用勾股定理求出三棱锥的外接球半径；结合余弦定理，二倍角公式以及同角关系，求出，再由勾股定理得出，进而求出三棱锥的外接球表面积.【详解】由题知，取中点，连接，，设的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，半径为，连接，如图所示，要使三棱锥的体积最大时，即要使得点到平面的距离最大，只有当平面平面时，体积最大，即点到的距离最大，三棱锥体积最大.此时，四边形是正方形，假设外接圆的半径为，则在中，由勾股定理得：，解得，所以，.当时，由上述可知，结合余弦定理，由二倍角公式，，，，三棱锥的外接球表面积为.故答案为：；.16．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________，设的中点为，的中点为，以为球心，1为半径作球，则该球与三棱锥的公共部分的体积为____________．【答案】

；

.【分析】（1）先把三棱锥可以扩充为直三棱柱,取上下底面的外心，连接，取的中点，判断出为外接球的球心.连接，利用勾股定理求出，即可取出外接球的表面积；（2）将三棱锥补成三棱柱，利用顶角出发的三棱锥相同截得相同球面从而得到答案.【详解】如图示：因为平面，所以三棱锥可以扩充为直三棱柱,且三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球.取上下底面的外心，连接，则且.取的中点，则为直三棱柱的外接球的球心，其中.因为平面，所以，所以为直角三角形，，，所以.在底面中，,,,由余弦定理得：.所以的外接圆半径连接，则.所以外接球的表面积为.将三棱锥补成三棱柱，如图四面体与四面体与四面体相同，故截球所得的球面也相同，所以故答案为：；.【点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.模块三：名校全国竞赛试题精选1．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，设弧的中点分别为M，N，若线段的长度为a，则（

）A．弧的长度为B．线段的长度为aC．勒洛四面体能置于一个直径为a的球内D．勒洛四面体的体积大于【答案】D【分析】根据球的对称性可得球心到弧所在的平面的距离为，从而可求弧所在的平面与球的截面圆的半径，故可判断A；设的中点为分别为，由球的对称性可得共线，连接，计算可得线段的长度，故可得判断BC，计算出正四面体的体积后可判断D的正误.【详解】选项A，弧为两个半径为a、球心距为a的球面相交所得的小圆中的弧，根据球的对称性，球心到弧所在的平面的距离为，因球的半径为，故弧所在的平面与球的截面圆的半径为，因为弦的长度为，故弧所对的圆心角为大于，故弧长不为．故A错误；选项B，设的中点为分别为，由球的对称性可得共线，连接.由为正四面体可得，故，而弧所在的平面与球的截面圆的半径为，故，故B错误；选项C，由，故C错误；选项D，设的外接圆的圆心为，连接，则平面.而，故，故由四面体的体积为，故D正确．故选：D.2．（2022·湖南湘西·高三统考竞赛）蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴､踢､蹋的含义，鞠最早系外包皮革､内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴､蹋､踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点，且球心在上，，则该鞠（球）的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出图形，作出辅助线，求出，进而得到，利用勾股定理求出球的半径，求出球的表面积.【详解】如图，取的中点，连接，由得：，由，得：，连接并延长，交球于点，连接，因为球的直径，设球的半径为，则，则，所以，解得：，球的表面积为.故选：A.【点睛】本题是立体几何中外接球问题，要画图，找到球心的位置，结合解三角形等知识进行求出半径，再求解球的表面积，其中如何求出半径是难点；本题属于较难题.3．（2017秋·浙江杭州·高一学军中学校考竞赛）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据割补法去求该多面体的体积即可解决.【详解】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为点G，H，连接DG，CH，容易求得，.取AD的中点O，连接GO，易得，则，所以，多面体的体积故选：A4．（2014·天津·高三竞赛）圆柱的底面半径为r，高为h，体积为2，表面积为24，则的值是（）A．6 B．8 C．12 D．24【答案】A【详解】试题分析：圆柱的体积为，表面积为，两式相除得即故选：A考点：圆柱的体积，表面积5．（2012·天津·高三竞赛）在半径为1的球面上有不共面的四个点，，，且，，，则等于A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C