广东省清远市黎埠中学2021年高三数学文联考试题含解析

广东省清远市黎埠中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则（

）A．

B．

C．D．参考答案：B2.复数在复平面上对应的点的坐标是

A．

B．

C．

D．参考答案：D复数，所以对应的点位,选D.3.函数，，的零点分别是a，b，c则（

）A．a＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜a＜c参考答案：A4.若椭圆上一点到焦点的距离为６，则点Ｐ到另一个焦点的距离为（）Ａ．２

Ｂ．４Ｃ．６

Ｄ．８参考答案：B5.（5分）一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．②④D．③④参考答案：C【考点】：平行投影及平行投影作图法．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线．解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA1和平面BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C【点评】：本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题．6.设，函数的图象如图2，则有

A．

B．C．

D．参考答案：答案：A7.已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数，则(

)（A）、

（B）、（C）、

（D）、参考答案：D∵，∴，∴，∴的周期为，∴，，，又∵奇函数在区间上是增函数，∴在区间上是增函数，∴，故选D.8.若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞）参考答案：D【考点】7E：其他不等式的解法；3F：函数单调性的性质．【分析】转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．9.已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（

）

A．8

B．4

C．2

D．1参考答案：A因为幂函数在上是奇函数，所以，所以，所以，选A.10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，则下列命题错误的是A．

B．C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}12.已知角,构成公差为的等差数列.若，则=________.参考答案：13.已知为第四象限角，，则

．参考答案：略14.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N+，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+1）都成立，则Sn=_________．参考答案：15.对于，不等式恒成立，则正数的取值范围

。参考答案：答案：

16.已知正实数x，y满足，则x+y的最小值为

▲

参考答案：略17.若两个非零向量满足，则向量与的夹角为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对于任意有。参考答案：（1）的定义域为，（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。（ii）若，而，故，则当时，；当及时，。故在上单调减少，在，上单调增加。（iii）若，即，同理可得在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+?)上单调增加。

（2）考虑函数，则，由于，故，即在上单调增加，从而当时，有，即，故；当时，有。略19.（本小题满分12分）已知向量，，，若点能构成三角形，（1）求实数满足的条件；（2）若为直角三角形，求的值.参考答案：(1)又A，B，C能构成三角形，故点A，B，C不共线，即不共线，,,故应满足.(2)由题知为直角三角形，即有且20.已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．参考答案：【分析】（1）由题意x＞0，=lnx﹣k，由此根据k≤0，k＞0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．（2）问题转化为k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．（3）设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，由此利用导数性质能证明x1x2＜e2k．【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），∴x＞0，=lnx﹣k，①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；②当k＞0时，令lnx﹣k=0，解得x=ek，当1＜x＜ek时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0，∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，无极大值．（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，∴f（x）﹣4lnx＜0，即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，即k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，∴k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）=0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，ek）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek），∵，故h（x）＜0，∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．21.已知函数，(Ⅰ)求此函数的单调区间及最值；(Ⅱ)求证：对于任意正整数n，均有；

(Ⅲ)当a=1时，过点(1，是否存在函数y=f(x)的图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由参考答案：解析：(Ⅰ)∵f(x)=lnax－=lnax－1+，∴f′(x)=

－=

(1)当a＞0时，定义域={x|x＞0}，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)上是单调减函数，在(1,+∞)上是单调增函数，进而[f(x)]min=f(1)=lna(2)当a＜0时，定义域{x|x＜0}，∴在定义域内恒有f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是单调减函数，无最值.

(Ⅱ)取a=1，由(Ⅰ)知f(x)=lnx－的最小值为0，∴lnx－≥0，∴≥1－lnx，∴1+++…+≥n－(ln1+ln2+…+lnn)=n－lnn!=ln

(3)设切线存在，且切点为T(x0，lnx0－)，∴切线方程为y+1=(－)(x－1)∵切点为T(x0，lnx0－)，∴lnx0－+1=(－)(x0－1)∴lnx0+－－1=0

①设h(x)=lnx+－－1，∴h′(x)=－+=，∵x＞0，∴h(x)在(0，1)，(2，+∞)内递增，在(1，2)内递减.∴[h(x)]极大值=h(1)=1＞0，[h(x)]极小值=h(2)=ln2+＞0又h(x)=－∞，h(x)=+∞∴方程①有且只有一个解，故有且只有一条22.已知椭圆，点A（3，0），P是椭圆C上的动点．（I）若直线AP与椭圆C相切，求点P的坐标；（II）若P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形OPAB面积的最小值．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）设直线AP的方程，代入椭圆方程，由△=0，即可求得k的值，代入即可求得P点坐标；（II）设AP中点为D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，进而得到BD的斜率和中点，可得直线BD的方程，即有B的坐标，求得四边形OPAB的面积为S=S△OAP+S△OMB，化简整理，运用基本不等式即可得到最小值．【解答】解：（I）设直线AP的斜率k，（k≠0），则直线AP：y=k（x﹣3），，整理得：（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，由直线AP与椭圆C相切，则△=（18k2）2﹣4×（1+3k2）（27k2﹣6）=0，解得：k2=，则x2﹣4x+4=0，解得：x=2，将x=2代入椭圆方程，解得：y=±，∴P点坐标为（2，）或（2，﹣）；（II）设线段AP