山东省潍坊市安丘联谊中学高三数学文期末试卷含解析

山东省潍坊市安丘联谊中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则（

）

A．

B.

C．

D．参考答案：B略3.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象(

) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数的图象求出函数的周期，然后求出ω，通过函数图象经过的特殊点求出φ，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．解答： 解：由函数的图象可知函数的周期为：T=4×（﹣）=π，所以ω==2，因为函数的图象经过（，0），所以：sin（2×+φ）=kπ，k∈Z，可解得：φ=kπ﹣，k∈Z由于：|φ|＜，可得：φ=，所以：f（x）=sin（2x+）=cos=cos2（x﹣），g（x）=cos2x，所以，要得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象向左平移个单位长度即可．故选：B．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的图象的应用，考查计算能力，属于基本知识的考查．4.已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤），且此函数的图象如图所示，由点P（ω，φ）的坐标是（） A．（2，） B． （2，） C． （4，） D． （4，）参考答案：考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 计算题．分析： 先利用函数图象计算函数的周期，再利用周期计算公式解得ω的值，再将点（，0）代入函数解析式，利用五点作图法则及φ的范围求得φ值，最后即可得点P（ω，φ）的坐标解答： 解：由图象可得函数的周期T=2×（﹣）=π∴=π，得ω=2，将（，0）代入y=sin（2x+φ）可得sin（+φ）=0，∴+φ=π+2kπ

（注意此点位于函数减区间上）∴φ=+2kπ，k∈Z由0＜φ≤可得φ=，∴点（ω，φ）的坐标是（2，），故选B．点评： 本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用函数的部分图象求函数解析式的方法，五点作图法画函数图象的应用5.设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（

）A、0

B、7

C、14

D、21

参考答案：D.

，即，根据等差数列的性质得，即，即，即，，故选D.6.已知为坐标原点，直线与圆分别交于两点．若，则实数的值为（

） A．1 B． C． D．参考答案：D7.已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：【解析】：.当时，显然成立当时，显然不成立；当显然成立；当时，则两根为负，结论成立故8.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线对称且，如果存在实数x0，使得对任意的x都有，则ω的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．12参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意直线是对称轴，对称中心为（，0），不在同一增区间，根据三角函数的性质可求ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线对称且，∴ω+φ=kπ…①，﹣ω+φ=kπ…②，ωx0+φ﹣（ωx0+φ）≥π+2kπ…③由①②解得ω=8，φ=kπ+，（k∈Z）由③解得：ω≥8（1+2k）当k=0时，ω=8，φ=，③成立，满足题意．故得ω的最小值为8．故选C．9.给出下列四个命题，其中错误的命题有（）个．（1）函数y=sin2x+cos2x在x∈[0，]上的单调递增区间是[0，]；（2）设随机变量X～N（1，σ2），若P（0＜X＜1）=0.4，则P（0＜X＜2）=0.8；（3）设函数f（x）=sin（2x+），f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象；（4）“直线x﹣ay=0，与直线x+ay=0互相垂直”的充分条件是“a=1”A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）根据辅助角公式进行化简判断即可．（2）利用正态分布的对称性进行求解．（3）根据三角函数的平移以及三角函数的性质进行判断．（4）根据直线垂直的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：（1）函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，则kπ﹣≤x≤kπ+，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，当k=0时，单调递增区间为为[﹣，]，∵x∈[0，]，∴0≤x≤；此时函数的单调递增区间是[0，]；故（1）正确，（2）∵随机变量X～N（1，σ2），若P（0＜X＜1）=0.4，∴P（0＜X＜2）=2P（0＜X＜1）=2×0.4=0.8；故（2）正确，（3）f（x）的图象向左平移个单位得到y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x为偶函数，故（3）正确，（4）当a=1时，两条直线方程分别为x﹣y=0和x+y=0，此时两直线垂直，即a=1是“直线x﹣ay=0，与直线x+ay=0互相垂直”的充分条件，故（4）正确，则错误的命题为0个，故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性和奇偶性，正态分布的性质以及想、充分条件和必要条件的判断，涉及的内容较多综合性较强．10.在抛物线（）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（A）

（B）1

（C）2

（D）4参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量、满足约束条件则目标函数的最大值为_______．

参考答案：12.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。参考答案：【命题立意】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，以及异面直线所成角的求法.本题有两种方法，一、几何法：连接，则,又，易知，所以与所成角的大小是；二、坐标法：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算得异面直线与所成角的大小是.

13.某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用年报废最合算（即平均每年费用最少）．参考答案：10【考点】基本不等式．【分析】设这种汽车最多使用x年报废最合算，计算总维修费可用：（第一年费用+最后一年费用）×年数，然后列出用x年汽车每年的平均费用函数，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：设这种汽车最多使用x年报废最合算，用x年汽车的总费用为10+1.5x+=10+1.5x+0.1x2万元，故用x年汽车每年的平均费用为y=0.1x++1.5≥2+1.5=3.5万元．当且仅当x=10成立．故答案为：10．【点评】本题考查函数的应用问题、利用基本不等式求最值等知识，难度不大，属于中档题．14.有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

．参考答案：甲、乙两位同学各自参加其中一个小组共有16种，其中两位同学参加同一个兴趣小组有4种，所以两位同学参加同一个兴趣小组的概率为。15.在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y＝kx（k＞0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为__________．参考答案：16.我国古代数学家赵爽利用“勾股圈方图”巧妙的证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．他是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为θ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则=．参考答案：【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】根据四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形θ对应的边为x，另一边为y．可得2xy+1=25，x2+y2=25，从而解得x，y的值，sinθ=【解答】解：由题意，设直角三角形θ对应的边为x，另一边为y．可得2xy+1=25，x2+y2=25，解得x=3，y=4，则sinθ==，∵锐角记为θ，那么：令=M＞0．则1+sinθ=M2，∴M2=，∴M=，即=故答案为：．【点评】本题考查三角恒等变换及化简求值，半角公式的灵活运用，是中档题．17.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1、F2,这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形。若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则e1·e2的取值范围为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2017?葫芦岛一模）已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m（1）作函数f（x）的图象（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．参考答案：【考点】分段函数的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（1）讨论x的范围：x≤﹣，﹣＜x≤1，x≥1，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象；（2）通过图象可得最大值m，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2ab+2bc，令2：2=1：2，求出t的值，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|=，由分段函数的图象画法可得图象如右；（2）由（1）知，当x=﹣时，f（x）的最大值为，即m=；∴a2+b2+2c2=，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2ab+2bc，令2：2=1：2，即8（1﹣t）=16t

得：t=，∴a2+b2+2c2=a2+b2+b2+2c2≥2?ab+4?bc=（ab+2bc）∴ab+2bc≤（a2+b2+2c2）=（当且仅当a2=c2=，b2=时取“=”号）．【点评】本题考查分段函数的图象和性质，考查最值的求法，注意运用图象和基本不等式，考查变形和化简整理的运算能力，属于中档题．19.（本小题满分14分）已知函数R),其中.(1)若,求曲线在点的切线方程;（6分）(2)若在区间上，>0恒成立，求a的取值范围.（8分）参考答案：解:(1)当a=1时3;……

1分f′(x)′(2)=6.……

3分所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),……

5分即.

……

6分(2)f′1).令f′(x)=0,解得x=0或.

……

7分以下分两种情况讨论:①若则.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

当时,f(x)>0等价于

即

……

9分解不等式组得-5<a<5.因此.……

10分②若a>2,则.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

当时,f(x)>0等价于

即

…

12分解不等式组得或.因此2<a<5.

…

13分综合①和②,可知a的取值范围为.……

14分20.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的值域为[0,+∞)，求a的取值范围．参考答案：（1）增区间是，单调减区间是；（2）或【分析】（1）利用导数求出的单调区间以及，时的范围，即可得到函数的单调区间；（2）先利用有解求出的大致范围，再证明在该范围内即可。【详解】（1）当，，所以，由于，可得．当时，，是减函数；当时，，是增函数；因为当时，；当时，所以函数的单调增区间是，单调减区间是（2）由题意知必有解，即有解，所以，即直线与曲线有交点．则，令得和；令得和．所以和，为增函数；和，为减函数．，当时，恒成立；所以时，；当时，，所以时，；，即时，，的图像如图所示．直线与曲线有交点，即或，所以或，下证，先证，设，则，当时，，函数h（x）单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即；当时，若，因为在时的值域是，又因为函数连续，所以：；当时，若，，当时，，时；所以时，又因为函数连续，所以，综上，或．【点睛】本题考查导数在函数研究中的应用，综合性强，属于中档题。21.已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）因为成等差数列，

所以.

（2分）

设数列的公比为，由可得 ，