2021年安徽省宣城市适之中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021年安徽省宣城市适之中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（） A．6个 B．9个 C．18个 D．36个参考答案：C【考点】计数原理的应用． 【分析】本题需要分步计数，由题意知1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．首先确定谁被使用2次，再把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，最后将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，相乘得结果． 【解答】解：由题意知，本题需要分步计数 1，2，3中必有某一个数字重复使用2次． 第一步确定谁被使用2次，有3种方法； 第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法； 第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法． 故共可组成3×3×2=18个不同的四位数． 故选C 【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列组合和计数原理中经常出现的问题，这种题目做起来限制条件比较多，需要注意做到不重不漏． 2.定义在R上的函数满足，，且时，则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数的奇偶性周期性B4A因为，所以是奇函数，所以当时，，则，因为，所以，所以是周期为4的周期函数。而，所以故选A.【思路点拨】因为，所以是奇函数，因为，所以，所以是周期为4的周期函数，从而.3.参考答案：C略4.已知，其中为虚数

单位，则

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：B略5.某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（

）． A．第一年到第三年 B．第二年到第四年C．第三年到第五年 D．第四年到第六年参考答案：A设年平均增长率为，末年生产总值为，起始年生产总值为，则．（为年间隔数）∴两年间的年平均增长率，由图知，第一年到第三年的最大．故选．6.已知函数的定义域为[0,1]，则函数的定义域为A.[－1,0]

B.[0,1]

C.[1,2]

D.[3,4]参考答案：A7.右边是一个算法的程序框图，当输入的值为3时，输出y的结果也恰好是3，则？处的关系式是

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C8.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．

B．

C．1

D．2参考答案：C由函数是上的偶函数及时得故选C.9.已知若或，则的取值范围是A．

B．

C．

．

参考答案：B略10.设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①c=0时，f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；③f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多两个实根．其中正确的命题是（）A．①④ B．①③ C．①②③ D．①②④参考答案：C考点： 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的判断；奇偶函数图象的对称性．专题： 计算题；综合题．分析： ①c=0时，可由奇函数的定义判断正确．③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，故f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；②④中取b=﹣3，c=2即可判断错误．解答： 解：①c=0时，f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx=﹣f（x），故f（x）是奇函数，故①正确；③由①可知c=0时，f（x）图象关于原点对称，f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，故关于（0，c）对称正确；取b=﹣1，c=0，则f（x）=x|x|﹣x=x（|x|﹣1）=0，x=0或x=±1，故④错误；b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c=，函数f（x）是一个增函数，故只有一个零点，故②正确故选C点评： 本题考查含有绝对值的函数的奇偶性、对称性和零点问题，综合性强，难度较大．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在边长为4的等边△ABC中，D为BC的中点，则?=

．参考答案：12【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，根据条件便可求出AD，∠BAD的值，并知道AB=4，这样根据向量数量积的计算公式便可求出的值．【解答】解：如图，根据题意，，且AB=4；∴=．故答案为：12．12.执行如图所示的程序框图，若输入___参考答案：略13.已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的距离公式是解决本题的关键．14.设数列满足，点对任意的，都有向量，则数列的前项和

.参考答案：

15.已知f（x）=，则f（2011）=．参考答案：考点： 函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用分段函数的性质求解．解答： 解：∵f（x）=，∴f（2011）=f（1005）﹣f（﹣1）=f（0）﹣=1﹣=．故答案为：．点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16.若直线和平行，则实数的值为

.参考答案：-3或2由两直线平行的充要条件得，解得或.17.的展开式中常数项为 .（用数字表示）参考答案：【知识点】二项式定理

=，4-2k=0,k=2展开式中常数项为.【思路点拨】先求出通项再求常数。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分14分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（Ⅰ）求证：平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．参考答案：是直角斜边AC上的中线，∴

……………9分

方法二：(2)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则，……

9分19.已知函数.（1）求的最小正周期及最大值；（2）若,且，求的值.参考答案：略20.（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；（Ⅲ）令，如果图象与轴交于，中点为，求证：．参考答案：（Ⅰ），，．∴，且．

解得a＝2，b＝1．……………3分

（Ⅱ），令，则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；当x∈时，，∴h(x)是减函数．则方程在内有两个不等实根的充要条件是即．

……8分 由④得，∴．即．即．⑤ 令，（0＜t＜1)，则＞0．∴在0＜t＜1上增函数．，∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴．……14分21.已知函数f(x)=+lnx．（a∈R）（Ⅰ）若函数在区间[，e]上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间（0，+∞）内极值点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由题意可知f′（x）=﹣+≤0，a≥，则构造辅助函数，求导，根据函数函数的单调性即可求得最大值，即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）方法1：构造辅助函数，g（x）=，求导g′（x）=，根据函数的单调性即可求得g（x）最小值，根据函数的单调性及极值的判断求得函数的f（x）的极值点的个数；方法2：分类讨论，根据当a≤1时，根据函数的单调性f（x）在区间（0，+∞）递增，f（x）无极值，当a＞1时，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性与极值的关系，即可求得f（x）的极值个数．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：对?x∈，f′（x）=﹣+≤0，即a≥，对?x∈恒成立，令g（x）=，求导g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1，g′（x）＞0，∴函数g（x）在[，1]上单调递减，在（1，e]上单调递增，∴g（）=，g（e）=ee﹣1，由ee﹣1＞，∴在区间上g（x）max=ee﹣1，∴a≥ee﹣1，（Ⅱ）解法1：由f′（x）=﹣+==，g（x）=，g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，g（x）min=g（1）=e，当a≤e时，g（x）≥a恒成立，f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增，f（x）无极值点，当a＞e时，g（x）min≥g（1）=e＜a，故存在x1∈（0，1）和x2∈（1，+∞），使得g（x1）=g（x2）=a，当0＜x＜x1，f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，当x＞x2，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（x1，x2）单调递减，在（0，x1）和（x2，+∞），∴x1为函数f（x）的极大值点，x2为函数f（x）的极小值点，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．方法2：f′（x）=，设h（x）=ex﹣ax（x＞0），则h（x）=ex﹣a，由x＞0，ex＞1，（1）当a≤1时，h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）＞h（0）=1，则f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；（2）当a＞1时，由h′（x）=ex﹣a＞0，则x＞lna，可知h（x）在（0，lna）内递减，在（lna，+∞）单调递增，∴h（x）max=h（lna）=a（1﹣lna），①当1＜a≤e时，h（x）＞h（x）min≥0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；②当a＞e时，h（x）min＜0，又h（0）＞0，x很大时，h（x）＞0，∴存在x1∈（0，lna），x2∈（lna，+∞），使得h（x1）=0，h（x2）=0，即f′（x1）=0，f′（x2）=0，可知在x1，x1两边f′（x）符号相反，∴函数f（x）有两个极值点x1，x2，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，,,平面,为的中点，.(I)

求证：∥平面;

(II)求四面体的体积.参考答案：【知识点】直线与平面平行；几何体的体积.

G4,G8(I)略(II)

解析：1)法一：

取AD得中点M，连接EM,CM.则EM//PA

因为所以，

（2分）在中，所以，而,所以,MC//AB.

（3分）因为所以，

（4分）又因为所以，因为

（6分）法二：

延长DC,AB,交于N