2021年浙江省温州市龙湾镇中学高二数学文联考试卷含解析

2021年浙江省温州市龙湾镇中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数.过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则f(x)的极大值点为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】设切点的横坐标为t，利用切点与点M连线的斜率等于曲线C在切点处切线的斜率，利用导数建立有关t的方程，得出t的值，再由得出两切线的斜率之和为零，于此得出a的值，再利用导数求出函数的极大值点。【详解】设切点坐标为，∵，∴，即，解得或.∵，∴，即，则，.当或时，；当时，.故的极大值点为.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题。

2.双曲线的渐近线方程为（）A、

B、

C、 D、参考答案：D3.将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于（

）A. B. C. D.参考答案：A解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=4.球面上有四个点P，A，B，C，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的球面面积为(

)A．B．C．3πa2D．参考答案：C考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．解答：解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积．故选C．点评：本题是基础题，考查球的内接体知识，球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出，正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在．5.设i为虚数单位，则复数（

）A．i

B．－i

C．2+i

D．2－i

参考答案：B由题意，复数满足，故选B．

6.设平面向量=（1，2），=(-2，y），若

//，则|3十|等于

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是A．

B.

C.

D.参考答案：B略8.抛物线的焦点恰好与椭圆的一个焦点重合，则=（

）A.1

B.2

C.4

D.8参考答案：C9.若是纯虚数，则实数m为（

）

A．

1

B.1或2

C.

0

D.－1或1或2参考答案：C略10.过抛物线的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆锥曲线G的一个焦点是F，与之对应的准线是l，过F作直线与G交于A、B两点，以AB为直径作圆M，圆M与l的位置关系决定G是何种曲线之间的关系是：圆M与l的位置相离相切相交G是何种曲线

参考答案：椭圆，抛物线，双曲线.12.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若，则______．参考答案：65【分析】由可得，再由等差数列的求和公式结合等差数列的性质即可得结果.【详解】在等差数列中，由，可得，即，即，，故答案为65.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列性质的应用，属于中档题.解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.13.已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则满足的实数的范围是

▲

.参考答案：只能是开区间也可以写不等式14.已知复数,则

.参考答案：515.已知若不等式恒成立，则的最大值是_________ 参考答案：916.抛物线上到直线的距离最短的点的坐标是

参考答案：（1,1）略17.计算：=_____.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知曲线与抛物线的交点分别为、，点在第二象限内，曲线和抛物线在点处的切线分别为、，且、的斜率分别为、.（Ⅰ）当为定值时，求证为定值（与无关），并求出这个定值；（Ⅱ）若直线与轴的交点为，当取得最小值时，求曲线和的方程。参考答案：解:（Ⅰ）设点的坐标为，曲线的方程可写成：，∴∴……2分又……4分∴为定值。……6分∴，.……12分19.已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由两点式，可得直线l的方程；（Ⅱ）利用圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，∴圆心的纵坐标为3，∴横坐标为﹣2，半径为2∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．20.已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）当a=2时，对于任意的m∈[﹣1，1]，n∈[﹣1，1]求f（m）+f′（n）的最小值；（2）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0求a的取值范围．参考答案：考点：函数最值的应用；函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题．分析：（1）欲求f（m）+f′（n）的最小值，就分别求f（m）、f′（n）的最小值（2）存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0即寻找f（x）max＞0是变量a的范围．解答： 解：（1）由题意知f（x）=﹣x3+2x2﹣4，f′（x）=﹣3x2+4x令f′（x）=0，得x=0或当x在[﹣1，1]上变化时，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：X﹣1（﹣1，0）0（0，1）1f′（x）﹣7﹣0+1f（x）﹣1↓﹣4↑﹣3∴对于m∈[﹣1，1]，f（m）的最小值为f（0）=﹣4，∵f′（x）=﹣3x2+4x的对称轴为且抛物线开口向下∴对于n∈[﹣1，1]，f′（n）的最小值为f′（﹣1）=﹣7，∴f（m）+f′（n）的最小值为﹣11．

（2）∵f′（x）=﹣3x（x﹣）①若a≤0，当x＞0，时f′（x）＜0∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，又f（0）=﹣4，则当x＞0时，f（x）＜﹣4∴当a≤0时，不存在x0＞0，使f（x0）＞0②若a＞0，则当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0从而f（x）在（0，]上单调递增，在[，+∞）上单调递减，∴当x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（）=根据题意，，即a3＞27，解得a＞3综上，a的取值范围是（3，+∞）点评：本题考查了三次函数、二次函数的最值问题，以及存在性问题．21.（本题满分14分）已知函数⑴设，求函数的极值；

⑵在⑴的条件下，若函数

（其中为的导数）在区间（1，3）上不是单调函数，求实数m的取值范围．参考答案：解：（1）

……（2分）

……（3分）解，得

……（4分）-0+↙极小值↗

……（6分）由表可知，，无极大值

……（7分）（2）由（1）知

……（8分）

……（9分）在区间（1，3）上不是单调函数，所以在区间（1，3）内有极值点……（10分）满足

……

（12分）即

解得

……（14分）略22.已知函数在处的切线与直线平行．(1)求实数a的值，并判断函数的单调性；(2)若函数有两个零点，，且，求证：．参考答案：（1）在上是单调递减；在上是单调递增.（2）详见解析【分析】（1）由可得，利用导数可求的单调区间.（2）由可得，，令，则且，构建新函数，利用导数可以证明即【详解】（1）函数的定义域：，，解得，，令，解得，故在上是单调递