2024届山西省吕梁地区数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届山西省吕梁地区数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数01234概率0.10.16030.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.742．已知直线与抛物线C：相交于A，B两点，O为坐标原点，，的斜率分别为，，则（）A. B.C. D.3．椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（）A. B.C. D.4．已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．双曲线的左焦点到其渐近线的距离是（）A. B.C. D.6．直线在轴上的截距为（）A.3 B.C. D.7．【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线(，)与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.8．下列关于函数及其图象的说法正确的是（）A.B.最小正周期为C.函数图象的对称中心为点D.函数图象的对称轴方程为9．据有关文献记载：我国古代一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多为常数盏，底层的灯数是顶层的倍，则塔的底层共有灯（）A.盏 B.盏C.盏 D.盏10．已知△的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△的周长是（）A. B.C.8 D.1611．知点分别为圆上的动.点，为轴上一点，则的最小值（）A. B.C. D.12．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节、下午4节），分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有______14．已知函数，则函数在区间上的平均变化率为___________.15．椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于，则的标准方程为______.16．已知抛物线的焦点到准线的距离为，则抛物线的标准方程为___________.（写出一个即可）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）18．（12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，F为椭圆的右焦点（1）求椭圆C的方程；（2）经过点的直线与椭圆C交于两点，，且以为直径的圆经过原点，求直线的斜率；（3）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点，求证：过点且垂直于的直线过定点19．（12分）在公差为的等差数列中,已知，且成等比数列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.20．（12分）在四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.21．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且（1）求数列的通项公式；（2）求的值22．（10分）已知等差数列中，首项，公差，且数列的前项和为（1）求和；（2）设，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解【题目详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：故选：D【题目点拨】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题2、C【解题分析】设，，由消得：，又，由韦达定理代入计算即可得答案.【题目详解】设，，由消得：，所以，故.故选：C【题目点拨】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.3、B【解题分析】求得，可得出，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，可得，由可求得的取值范围.【题目详解】设，设双曲线的实轴长为，因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，，则，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即，因，则，故.故选：B.4、C【解题分析】建立空间直角坐标系，设直线与所成角为，由求解.【题目详解】∵长方体中，，，∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，，则，，，，所以，，设直线与所成角为，则，∴直线和夹角余弦值是.故选：C.5、A【解题分析】求出双曲线焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果.【题目详解】在双曲线中，，，，所以，该双曲线的左焦点坐标为，渐近线方程为，即，因，该双曲线的左焦点到渐近线的距离为.故选：A6、A【解题分析】把直线方程由一般式化成斜截式，即可得到直线在轴上的截距.【题目详解】由，可得，则直线在轴上的截距为3.故选：A7、C【解题分析】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，所以，则，解得，双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，则双曲线的离心率为，故选C.8、D【解题分析】化简，利用正弦型函数的性质，依次判断，即可【题目详解】∵∴，A选项错误；的最小正周期为，B选项错误；令，则，故函数图象的对称中心为点，C选项错误；令，则，所以函数图象的对称轴方程为，D选项正确故选：D9、C【解题分析】根据给定条件利用等差数列前n项和公式列式计算即可作答.【题目详解】依题意，层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列，，于是得，解得，，所以塔的底层共有灯盏.故选：C10、D【解题分析】根据椭圆定义求解【题目详解】由椭圆定义得△的周长是，故选：D.11、B【解题分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.【题目详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为1，∴若与关于x轴对称，则，即，当三点不共线时，当三点共线时，所以同理(当且仅当时取得等号)所以当三点共线时，当三点不共线时，所以∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，∴.故选：B.12、B【解题分析】由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.【题目详解】数列的前项和满足，当时，；当时，，当时，适合上式，所以，则，所以.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2400种【解题分析】分三步，第一步：根据题意从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，第二步：将数学和英语捆绑排列，第三步：将剩下的5节课全排列，最后利用分步乘法计数原理求解.【题目详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，有（种）编排方法；第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，所以有（种）编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有（种）编排方法根据分步乘法计数原理知共有（种）编排方法故答案为：2400种14、3【解题分析】根据平均变化率的定义即可计算.【题目详解】设，因，，所以.故答案为：315、【解题分析】根据椭圆定义求出其长半轴长，再结合焦点坐标即可计算作答.【题目详解】因椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于，则该椭圆长半轴长，而半焦距，于是得短半轴长b，有，所以的标准方程为.故答案为：16、（答案不唯一）【解题分析】设出抛物线方程，根据题意即可得出.【题目详解】设抛物线的方程为，根据题意可得，所以抛物线的标准方程为.故答案为：（答案不唯一）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小问1详解】解：因为，所以，解得，所以不等式的解集是；【小问2详解】因为，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是.18、（1）；（2）；（3）.【解题分析】（1）由题意中离心率和长轴长可求出，即可求出椭圆方程.（2）设出与的坐标即直线的方程，把直线与椭圆方程进行联立写出韦达定理，由题意以为直径圆经过原点可得，化简即可求出直线的斜率.（3）由题意可得圆的方程，设，由和直线的方程化简，即可得到答案.【小问1详解】，，椭圆C的方程为.【小问2详解】由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.设.把直线的方程与椭圆的方程进行联立得：..由以为直径圆经过原点知，..经检验，满足，所以.【小问3详解】由题意可得圆的方程为，设，由得.①.当时，，直线的方程为.直线过椭圆的右焦点.当时，直线的斜率为且过，②把①代入②中得.故直线过椭圆的右焦点.综上所述，直线过椭圆的右焦点.19、(Ⅰ)或(Ⅱ)【解题分析】(Ⅰ)由题意求得数列的公差后可得通项公式．(Ⅱ)结合条件可得，分和两种情况去掉中的绝对值后，利用数列的前n项和公式求解试题解析：（Ⅰ）∵成等比数列，∴，整理得，解得或，当时，;当时，所以或（Ⅱ）设数列前项和为，∵，∴，当时，，∴；当时，综上20、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）取的中点，利用三角形中位线定理可证明BG//EF，由线线平行，可得线面平行；（2根据图像可得，以为底面，证明为高，利用三棱锥的体积公式，可得答案;【小问1详解】取的中点，因为为的中点，所以且，又因为为的中点，四边形为菱形，所以且，所以且，故四边形BFEG为平行四边形，所以BG//EF，因为面面，所以面.【小问2详解】因为底面是边长为2的菱形，，则为正三角形，所以因为面，所以为三棱锥的高所以三棱锥的体积.21、（1）（2）【解题分析】（1）若选①可得，从而得到，即可得到是常数列，即可求出数列的通项公式；若选②，根据，作差即可得到，再利用累乘法计算可得；若选③：可得，即可得到数列是等差数列，首项为2，公差为1，从而求出数列的通项公式；（2