上海市青浦高中2024届高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

上海市青浦高中2024届高二数学第一学期期末调研模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列数列中成等差数列的是（）A. B.C. D.2．变量，之间有如下对应数据：3456713111087已知变量与呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（）A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.33．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（）A. B.C.或 D.或4．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.5．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A. B.C D.6．已知等差数列的前n项和为，，，若（），则n的值为（）A.15 B.14C.13 D.127．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.18．函数的极大值点为（）A. B.C. D.不存在9．已知数列满足，且，则（）A.2 B.3C.5 D.810．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日的统计数据.则下列叙述正确的是A.这天的的中位数是B.天中超过天空气质量为“优良”C.从3月4日到9日，空气质量越来越好D.这天的的平均值为11．已知等差数列，，，则数列的前项和为（）A. B.C. D.12．现有4本不同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，则不同的分法有（）A.12种 B.24种C.36种 D.48种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，四边形为直角梯形，且，为正方形，且平面平面，，，，则______，直线与平面所成角的正弦值为______14．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.15．已知正数、满足，则的最大值为__________16．欧阳修在《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆的半径为，圆心在直线上，点在圆上.（1）求圆的标准方程；（2）若原点在圆内，求过点且与圆相切的直线方程.18．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线与椭圆C交于A，B两点，试探究直线上是否存在定点Q，使得为定值．若存在，求出定点Q的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由19．（12分）已知空间三点.（1）求以为邻边平行四边形的周长和面积;（2）若，且分别与垂直，求向量的坐标.20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知c•cosB+（b-2a）cosC=0（1）求角C的大小（2）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积21．（12分）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，满足.（1）求A；（2）若，求面积的最大值.22．（10分）某中学共有名学生，其中高一年级有名学生，为了解学生的睡眠情况，用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.（1）求样本中高一年级学生人数及图中的值；（2）估计样本数据的中位数（保留两位小数）；（3）估计全校睡眠时间超过个小时的学生人数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】利用等差数列定义，逐一验证各个选项即可判断作答.【题目详解】对于A，，A不是等差数列；对于B，，B不是等差数列；对于C，，C是等差数列；对于D，，D不是等差数列.故选：C2、D【解题分析】将样本中心点代入回归方程后求解【题目详解】，，将样本中心点代入回归方程，得故选：D3、C【解题分析】分情况讨论焦点所在位置及椭圆方程.【题目详解】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为，当椭圆焦点在轴上时，，，椭圆方程为，故选：C.4、C【解题分析】构造函数，分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得解.【题目详解】构造函数，其中，则，所以，函数为上的奇函数，当时，，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，且该函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，则，由得，可得，解得故选：C.5、A【解题分析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.【题目详解】与x，y轴的交点，分别为，，点在圆，即上，所以，圆心到直线的距离为，所以面积的最小值为，最大值为.故选：A6、B【解题分析】由已知条件列方程组求出，再由列方程求n的值【题目详解】设等差数列的公差为，则由，，得，解得，因为，所以，即，解得或（舍去），故选：B7、B【解题分析】由可得抛物线标椎方程为：，由焦点和准线方程即可得解.【题目详解】由可得抛物线标准方程为：，所以抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离为，故选：B【题目点拨】本题考了抛物线标准方程，考查了焦点和准线相关基本量，属于基础题.8、B【解题分析】求导，令导数等于0，然后判断导数符号可得，或者根据对勾函数图象可解.【题目详解】令，得，因为时，，时，，所以时有极大值；当时，，时，，所以时有极小值.故选：B9、D【解题分析】使用递推公式逐个求解，直到求出即可.【题目详解】因为所以，，，.故选：D10、C【解题分析】这12天的AQI指数值的中位数是，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的指数值的平均值为110，故D不正确.故选C11、A【解题分析】求出通项，利用裂项相消法求数列的前n项和.【题目详解】因为等差数列，，，所以，所以，所以数列的前项和为故B，C，D错误.故选：A.12、C【解题分析】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列求解.【题目详解】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列，则有种分法，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①..②..【解题分析】以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,根据空间向量的线性运算求得向量的坐标，由此求得，由线面角的空间向量求解方法求得答案.【题目详解】解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如下图所示）由题意可知，，，因为，，所以，故设平面的法向量为，则，令，得因为，所以直线与平面所成角的正弦值为故答案为：；.14、【解题分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【题目详解】解：由题可知，离心率，即，又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.15、【解题分析】直接利用均值不等式得到答案.【题目详解】，当即时等号成立.故答案为【题目点拨】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.16、【解题分析】分别求出圆和正方形的面积，结合几何概型的面积型计算公式进行求解即可.【题目详解】因为铜钱的面积为，正方形孔的面积为，所以随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是.故答案为：【题目点拨】本题考查了几何概型计算公式，考查了数学运算能力,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）或【解题分析】（1）先设出圆的标准方程，利用点在圆上和圆心在直线上得到圆心坐标的方程组，进而求出圆的标准方程；（2）先利用原点在圆内求出圆的方程，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径进行求解.【小问1详解】解：设圆的标准方程为，由已知得，解得或，故圆的方程为或.【小问2详解】解：因为，，且原点在圆内，故圆的方程为，则圆心为，半径为，设切线为，即，则，解得或，故切线为或，即或即为所求.18、（1）（2）存在，定点的坐标为，实数的值为【解题分析】（1）由题意可得，再结合，可求出，从而可求得椭圆方程，（2）设在直线上存在定点，当直线斜率存在时，设过点P的动直线l为，设，，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数，再计算为常数可求出，从而可求得，当直线斜率不存在时，可求出两点的坐标，从而可求得的值【小问1详解】由题意知结合，可得，所以椭圆C的标准方程为，【小问2详解】设在直线上存在定点，使为定值，①当直线斜率存在时，设过点P的动直线l为，设，·由得，则，，所以为常数则，解之得，即定点为，则②当直线斜率不存在时，即动直线方程为，不妨设，，此时也成立所以，存在定点使为定值，即19、（1）周长为，面积为7.（2）或.【解题分析】（1）根据点，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距离，可以求出周长，再利用向量的夹角公式求出夹角的余弦值，根据平方关系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先设出，根据题意可得出的方程组，解出满足条件所有的值即可求解.【小问1详解】由题中条件可知，，,，.所以以为邻边的平行四边形的周长为.因为，因为，所以.所以.故以以为邻边的平行四边形的面积为：.【小问2详解】设，则，，因为，且分别与垂直，得，解得或所以向量的坐标为或.20、(1)；(2).【解题分析】(1)由题意首先利用正弦定理边化角，据此求得，则角C的大小是；(2)由题意结合余弦定理可得，然后利用面积公式可求得△ABC的面积为.试题解析：（1）∵c•cosB+（b-2a）cosC=0，由正弦定理化简可得：sinCcosB+sinBcosC-2sinAcosC=0，即sinA=2sinAcosC，∵0＜A＜π，∴sinA≠0.∴cosC=.∵0＜C＜π，∴C=.（2）由（1）可知：C=.∵c=2，a+b=ab，即a2b2=a2+b2+2ab.由余弦定理cosC==，∴ab=（ab）2-2ab-c2.可得：ab=4.那么：△ABC的面积S=absinC=.21、（1）（2）【解题分析】（1）由正弦定理得，再由范围可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面积公式可得答案.【小问1详解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，则；【小问2详解】由余弦定理得，即，所以，当且仅当，取“=”，所以面积的最大值为22、（1）样本中高一年级学生的人数为，；（2）；（3）.【解题分析