2021-2022学年山西省运城市南大里中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021-2022学年山西省运城市南大里中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若与的虚部互为相反数，则实数a的值为（

）A.－2 B.2 C.－1 D.1参考答案：D【分析】分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于0，从而求得的值.【详解】因为，所以虚部为，因为，所以虚部为，所以，即.故答案为：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.2.若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（

）A．

B．6π

C．

D．参考答案：A该几何体是半个圆锥，，，母线长为，所以其表面积为，故选：A

3.i是虚数单位，z(2-i)=5i，|z|=（

）A．

B.

C.2

D.参考答案：D4.若复数(为虚数单位)，为其共轭复数，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A5.定义域为的函数满足，，若，且，则（）.A．B.C.D.与的大小不确定参考答案：A6.若对?m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，求的最大值与最小值之和是（）A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】构造h（x）=g（x）﹣3，根据函数奇偶性的定义可判定函数h（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．【解答】解：∵?m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，∴令m=n=0时，g（0）=g（0）+g（0）﹣3，∴g（0）=3，令m=﹣n时，g（0）=g（﹣n）+g（n）﹣3，∴g（x）+g（﹣x）=6，令h（x）=g（x）﹣3，则h（x）+h（﹣x）=0即h（x）为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数，∴g（x）max+g（﹣x）min=6，设F（x）=，则F（﹣x）=﹣F（x），函数为奇函数，最大值与最小值之和为0，∴．的最大值与最小值之和是6．故选B．7.已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为（

）A．2

B．

C.3

D．4参考答案：C8.设向量，，则下列结论中正确的是（

）A、

B、

C、与垂直

D、∥参考答案：C略9.已知实数满足，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C作可行域，如图阴影部分所示.表示可行域内的点与点连线的斜率.易知，，.当直线与曲线相切时，，切点为，所以切点位于点、之间.因此根据图形可知，的最大值为.故选C.

拓展：思考：如何求的取值范围呢？答案：更一般地，当直线，的交点不在可行域内时，的取值范围均能求出。10.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A．

B．

C．D．

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若都是实数，是虚数单位，则

。参考答案：1略12.若x，y满足，则z=2x+y的最大值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13.已知偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x．若在区间[﹣1，3]上，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有3个零点，则实数k的取值范围是．参考答案：（，）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据已知条件便可画出f（x）在区间[﹣1，3]上的图象，而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）图象和函数y=kx+k的个数，而k便是函数y=kx+k在y轴上的截距，所以结合图形，讨论k＞0，k＜0，k=0的情况，并求出对应的k的取值范围即可．【解答】解：根据已知条件知函数f（x）为周期为2的周期函数；且x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|；而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）和函数y=kx+k的交点个数；∴（1）若k＞0，则如图所示：当y=kx+k经过点（1，1）时，k=；当经过点（3，1）时，k=；∴；（2）若k＜0，即函数y=kx+k在y轴上的截距小于0，显然此时该直线与f（x）的图象不可能有三个交点；即这种情况不存在；（3）若k=0，得到直线y=0，显然与f（x）图象只有两个交点；综上得实数k的取值范围是；故答案为：（）．14.已知向量，满足，，且在方向上的投影是，则实数m=__________参考答案：±2【分析】利用向量投影的计算公式可得关于的方程，其解即为所求的的值.【详解】在方向上的投影为，解得，故答案为：.【点睛】本题考查在方向上的投影，其计算公式为，本题属于基础题.15.若是奇函数，则

．

参考答案：16.已知，则的值为______________．参考答案：略17.已知数列的首项，其前和为，且满足．若对任意的，恒成立，则的取值范围是

．参考答案：由条件得，两式相减得，故，两式再相减得，由得，，从而；得，，从而，由条件得，解之得三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，（1）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值；

（2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。参考答案：（2）联立方程，消去得，设，

则（），是线段的中点，，即，，-------------------10分得，若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则，-----11分略19.(本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，求证：∥平面.参考答案：(19)(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，又已知，所以平面OCE.所以，即OE是BD的垂直平分线，所以.(II)取AB中点N，连接，∵M是AE的中点，∴∥，∵△是等边三角形，∴.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.20.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知参考答案：证明：法1相加得，即证。

………………10分

法2由柯西不等式得即得

………………10分21.在直角坐标系在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为：与曲线C交于A，B两点.（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（2）若成等比数列，求直线l的斜率.参考答案：（1），；（2）或【分析】（1）利用三角函数知识消去参数，得到普通方程.把普通方程利用极坐标公式代入得到极坐标方程.(2)将代入极坐标方程,利用韦达定理得到长度关系式,代入成等比数列的等式,得到三角等式,利用齐次式解得斜率.【详解】解：（1）则(2)当时,,OA,OB对应方程的两个解即成等比数列即代入验证均满足所以答案为【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,极坐标方程的几何意义,利用韦达定理和齐次式方程来解答,题目综合性强,计算要求高,是一道中档难度的题目.22.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，点E是PD的中点．（1）求证：AC⊥PB

（2）求证PB∥平面AEC