福建省宁德市古田县第九中学2021年高一数学理上学期期末试卷含解析

福建省宁德市古田县第九中学2021年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f(x)是定义在R上的单调函数,实数≠,≠－1,=,.若,则()

A.<0B.=0C.0<<1D.≥1

参考答案：解析：注意到直接推理的困难,考虑运用特取——筛选法.在选项中寻觅特殊值.

当=0时,=,=,则,由此否定B,

当=1时,=,f()=f(),则,由此否定D;

当0<<1时,是数轴上以分划定点,所成线段的定比分点(内分点),是数轴上以>1分划上述线段的定比分点(内分点),∴此时又f(x)在R上递减,∴由此否定C.因而应选A.2.定义在上的奇函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则与的大小关系是(

)A．

B．C．

D．参考答案：B3.下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x﹣1 B．y=lnx C．y=x3 D．y=|x|参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】选项A：y=在（0，+∞）上单调递减，不正确；选项B：定义域为（0，+∞），故为非奇非偶函数，不正确；选项C：满足f（﹣x）=﹣f（x），且在区间（0，+∞）上单调递增，正确；选项D：f（﹣x）≠﹣f（x），故y=|x|不是奇函数，不正确．【解答】解：选项A：y=在（0，+∞）上单调递减，不正确；选项B：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，不正确；选项C：记f（x）=x3，∵f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，又∵y=x3区间（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；选项D：记f（x）=|x|，∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|，∴f（x）≠﹣f（x），故y=|x|不是奇函数，不正确．故选D4.已知M是△ABC的BC边上的中点，若向量=，=，则向量等于

(

)A．(－)

B．(－)C．(＋)

D．(＋)参考答案：C略5.函数的值域是

（

）

A．R

B．

C．(2，＋∞)

D．(0，＋∞)参考答案：B6.函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1参考答案：A【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】因为f（x）为二次函数且开口向上，函数的对称轴为x=a．若a≥1，则函数在区间（﹣∞，1）上是减函数，因为是开区间，所以没有最小值，所以可知a＜1，此时x=a时有最小值，故可得结论【解答】解：由题意，f（x）=（x﹣a）2﹣a2+a∴函数的对称轴为x=a．若a≥1，则函数在区间（﹣∞，1）上是减函数，因为是开区间，所以没有最小值所以a＜1，此时x=a时有最小值故选A．7.偶函数在上单调递增，则与的大小关系是

（

）

A.

B．

C．

D．

参考答案：D8.设=（2，﹣1），=（﹣3，4），则2+等于（）A．（3，4） B．（1，2） C．﹣7 D．3参考答案：B【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接代入坐标计算即可．【解答】解：2+=（4，﹣2）+（﹣3，4）=（1，2）．故选B．9.5分）已知，若与平行，则k的值为（） A． B． C． 19 D． ﹣19参考答案：A考点： 平行向量与共线向量．专题： 计算题．分析： 由已知中已知，若与平行，我们分别求出向量，的坐标，然后根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零的原则构造关于k的方程，解方程即可求出答案．解答： ∵，∴=（k﹣3，2k+2），=（10，﹣4）∵与平行∴（k﹣3）（﹣4）﹣10（2k+2）=0解得k=故选A点评： 本题考查的知识点是平行（共线）向量，其中根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零的原则构造关于k的方程，是解答本题的关键．10.已知函数图象的一条对称轴是，则a的值为（）A.5 B. C.3 D.参考答案：D【分析】化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可．【详解】函数f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案为：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：

．参考答案：sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°﹣x）+cos2（30°﹣x）=【考点】F3：类比推理．【分析】观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：，写出结果．【解答】解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=．证明：sin2x+sinx（）+（）2=sin2x+﹣+﹣+==．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=．12.如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若?=2，?=4，则BC的长度为．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出，然后由求解，则答案可求．【解答】解：∵?=2，且?====，得，∴．∴=13﹣4=9．∴．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．13.已知等差数列{an}的公差d不为0，且成等比数列，则

。参考答案：214.已知三棱锥A-BCD中，AB⊥面BCD，，，则三棱锥的外接球的体积为__________．参考答案：【分析】由题意画出图形，证明DC⊥AD，可得AC为三棱锥A﹣BCD的外接球的直径，进一步求得AC，再由球的体积公式求解．【详解】∵AB⊥面BCD，∴AB⊥DC，又∠BDC＝90°，∴BD⊥DC，而AB∩BD＝B，∴DC⊥平面ABD，则DC⊥AD．∴AC为三棱锥A﹣BCD的外接球的直径，

∵AB＝BD＝2，CD＝1，∴AC．∴三棱锥的外接球的半径为．∴三棱锥的外接球的体积为V．故答案为：．【点睛】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.15.当8<x<10时，＝________.参考答案：216.证明：函数在上为增函数。参考答案：设，且且函数在上为增函数。

17.等差数列中,则的公差为______________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知函数的两个零点分别是和2．（Ⅰ）求；（Ⅱ）当函数的定义域为时，求函数的值域．参考答案：（Ⅰ）由题设得：，∴；（Ⅱ）在上为单调递减，∴当时，有最大值18；当时，有最小值12．19.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间.参考答案：15.

（Ⅰ）=

=

=

（Ⅱ）

()

20.如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ=，其它区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度．（1）求△PAQ面积S关于θ的函数解析式S（θ）；（2）求面积S的最小值．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】方法一：（1）通过锐角三角函数的定义及过点P作AQ的垂线且垂足为E可知，进而利用面积公式计算即得结论；（2）利用辅助角公式化简可知，进而利用三角函数的有界性即得结论；方法二：（1）利用θ分别表示出DQ、QC的值，利用利用面积公式化简即得结论；（2）通过对变形可知，进而利用基本不等式计算即得结论．【解答】方法一解：（1）∵∠BAP=θ，正方形边长为1（百米），∴，，…过点P作AQ的垂线，垂足为E，则，…∴=，其中…（少定义域扣2分）．（2）∵，∴，…∴当时，即时，取得最小值为．…答：当时，面积S的最小值为．…方法二解：（1）∵∠BAP=θ，∴，，…∴…=，…（2）∵，∴…当时，即取得最小值，…答：当时，面积S的最小值为．…【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查面积计算、三角函数等相关基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．21.已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在直线x+y﹣2=0上．（1）求圆M的方程．（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；圆的切线方程．【分析】（1）设圆心M（a，b），依题意，可求得AB的垂直平分线l的方程，利用方程组可求得直线l与直线x+y﹣2=0的交点，即圆心M（a，b），再求得r=|MA|=2，即可求得圆M的方程；（2）作出图形，易得SPCMD=|MC|?|PC|=2=2，利用点到直线间的距离公式可求得|PM|min=d=3，从而可得（SPCMD）min=2．【解答】解：（1）设圆心M（a，b），则a+b﹣2=0①，又A（1，﹣1），B（﹣1，1），∴kAB==﹣1，∴AB的垂直平分线l的斜率k=1，又AB的中点为O（0，0），∴l的方程为y=x，而直线l与直线x+y﹣2=0的交点就是圆心M（a，b），由解得：，又r=|MA|=2，∴圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）如图：SPCMD=|MC|?|PC|=2=2，又点M（1，1）到3x+4y+8=0的距离d=|MN|==3，所以|PM|min=d=3，所以（SPCMD）min=2=2．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，着重考查圆的标准方程及点到直线间的距离公式的应用，考查转化思想与作图、运算及求解能力，属于中档题．22.已知集合A={x|x＜2}、B={x|2a≤x≤a