江苏省镇江市丹徒中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析

江苏省镇江市丹徒中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图象关于点对称，且当时，成立（其中是的导函数），若，，，则的大小关系是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C2.若方程表示圆，则实数k的取值范围为A．(1,+∞)

B．[1,+∞)

C．(－∞,1]

D．(－∞,1)参考答案：D3.若函数，则（其中为自然对数的底数）（

）A．

B．

C．

D.参考答案：C略4.下列各数中，最大的是（

）A．101010(2)

B．111(3)

C.32(4)

D．54(7)参考答案：A，，，.故选:A

5.a是一个平面，是一条直线，则a内至少有一条直线与 A．垂直

B．相交

C．异面 D．平行参考答案：A6.在数列{}中，=2，（）,则的值为（）A．49

B．50

C．51

D．52参考答案：D7.已知点，点为坐标原点且点在圆上，且与夹角的最大值与最小值分别是

（

）A．， B．， C．， D．，参考答案：C8.用0，1，2，3，4五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数（

）A．30

B．40

C．50

D．60参考答案：D9.设，则等于（

）

A.

B．

C.

D.参考答案：D略10.已知：，则下列关系一定成立的是（

）A．A，B，C三点共线

B．A，B，D三点共线C．C，A，D三点共线

D．B，C，D三点共线参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上一点P使，则的面积是

.参考答案：912.已知，则=

；

参考答案：513.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.参考答案：14.一树的树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5m，则树干原来的高度为________．参考答案：m15.把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为

参考答案：

略16.函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0，则f（2）+f'（2）=．参考答案：﹣3【考点】导数的几何意义．【分析】先将x=2代入切线方程可求出f（2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（2）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（2）=﹣1，切点处的导数为切线斜率，所以f'（2）=﹣2，所以f（2）+f′（2）=﹣3．故答案为：﹣3．17.在数列中，，，其中为常数，则的积等于

．参考答案：－1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点分别是A1，A2，B1，B2，△A2B1B2是边长为2的正三角形，其内切圆为圆G．（1）求椭圆C及圆G的标准方程；（2）若点D是椭圆C上第一象限内的动点，直线B1D交线段A2B2于点E．（i）求的最大值；（ii）设F（﹣1，0），是否存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由△A2B1B2是边长为2的正三角形，可得b=，，即可得出椭圆C的标准方程．设内切圆的半径为r，则，即可得出内切圆G的标准方程．（2））（i）设直线B1D的方程为：y=kx﹣，．与椭圆的方程联立解得D，可得|DB1|．直线A2B2的方程为：，与y=kx﹣联立解得E．可得|EB1|．可得=，变形利用基本不等式的性质即可得出．（ii）假设存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=．当切点为点O时，由=，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．其圆M的方程为：（x﹣3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．证明即可．【解答】解：（1）∵△A2B1B2是边长为2的正三角形，∴b=，=3，=．∴椭圆C的标准方程为：．设内切圆的半径为r，则=1．∴内切圆G的标准方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）（i）设直线B1D的方程为：y=kx﹣，．联立，化为，解得D，∴|DB1|==．直线A2B2的方程为：，联立，解得E．∴|EB1|==．∴==≤1+=，当且仅当时取等号．∴的最大值为．（ii）假设存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=．当切点为点O时，由=，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．其圆M的方程为：（x﹣3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．下面证明：设N，则|NF|2﹣2|NT|2=|NF|2﹣2（|NG|2﹣1）=﹣2=16+10+8cosθ﹣2=0，∴．因此存在以椭圆C上的点M（3，0）为圆心的圆M，其圆M的方程为：（x﹣3）2+y2=10，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=．19.（2016秋?邢台期末）已知双曲线的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥k．（1）求m的取值范围；（2）设条件p：e≥k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由已知得：，，利用e≥k，m＞0，即可求m的取值范围；（2）求出q的等价结论，利用p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得：，，∵，∴，解得m≤3，∵m＞0，∴0＜m≤3，即m的取值范围（0，3]．（2）∵m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0，∴（m﹣a）（m﹣a﹣2）≤0，即a≤m≤a+2，∵p是q的必要不充分条件，∴解得0＜a≤1，即a的取值范围为（0，1]．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查充要条件，知识综合性强．20.某校高一的一个班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（Ⅰ）求分数在[50,60)的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；（Ⅲ）试用此频率分布直方图估计这组数据的众数和平均数．参考答案：（Ⅰ）分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为＝25.…………4分（Ⅱ）分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016.

…………7分（Ⅲ）分数在[60,70)之间的频率为：；分数在[70,80)之间的频率为：；

分数在[90,100)之间的频率为：，

所以分数在[70,80)之间对应的矩形最高，这组数据的众数为75。…………10分

平均数为：…………12分略21.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求C；（2）若，求△ABC的面积.参考答案：（1）（2）【分析】（1）由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系，再由余弦定理求得，从而求得；（2）由(1)及代入可解得，再由求得面积．【详解】解：（1）由及正弦定理得：，∴，由余弦定理得：，∵，∴（2）由，及，得，∴∴∴△ABC的面积为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式，解题关键是由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系．22.一个盒子里装有标号为1，2，3，…，5的5张标签，现随机地从盒子里无放回地抽取两张标签．记X为两张标签上的数字之和．（1）求X的分布列．（2）求X的期望EX和方差DX．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意知X的值可以是3，4，5，6，7，8，9．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列期望EX和方差DX．【解答】解（1）由题意知X的值可以是3，4，5，6，7，8，9．P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X