山东省济南市莱芜区莲河学校2027届九上数学期末统考试题含解析

山东省济南市莱芜区莲河学校2027届九上数学期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列方程中，关于x的一元二次方程是()A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－12．化简的结果是（）A．2 B．4 C．2 D．43．如果x=4是一元二次方程x²－3x=a²的一个根，则常数a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±44．的相反数是（）A． B． C． D．35．已知点O是△ABC的外心，作正方形OCDE，下列说法：①点O是△AEB的外心；②点O是△ADC的外心；③点O是△BCE的外心；④点O是△ADB的外心.其中一定不成立的说法是（）A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④6．如图，是的直径，点、在上．若，则的度数为（）A． B． C． D．7．已知一元二次方程，，则的值为（）A． B． C． D．8．如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是()A． B．C． D．9．如图，若点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（）A．-3 B．3 C．-6 D．610．设点和是反比例函数图象上的两个点，当＜＜时，＜，则一次函数的图象不经过的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题(每小题3分,共24分)11．若函数是正比例函数，则__________．12．如图，，与交于点，已知，，，那么线段的长为__________．13．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．14．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是_____．15．计算：＝______．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为_____．17．某同学用描点法y=ax2+bx+c的图象时，列出了表：x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的y值是_______．18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将△ABC缩小，使变换得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，点是二次函数图像上的任意一点，点在轴上.（1）以点为圆心，长为半径作.①直线经过点且与轴平行，判断与直线的位置关系，并说明理由.②若与轴相切，求出点坐标；（2）、、是这条抛物线上的三点，若线段、、的长满足，则称是、的和谐点，记做.已知、的横坐标分别是，，直接写出的坐标_______.20．（6分）解方程：3x（x﹣1）=2﹣2x．21．（6分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．22．（8分）如图①，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点在抛物线上，（点与点不重合），我们把这样的两条抛物线和，互称为“友好”抛物线．（1）一条抛物线的“友好”抛物线有条；（2）如图②，已知抛物线与轴相交于点，点关于抛物线的对称轴的对称点为点，求以点为顶点的的“友好”抛物线的表达式；（3）若抛物线的“友好”抛物线的解析式为，请直接写出与的关系式．23．（8分）先化简，再求值：，其中a＝3，b＝﹣1．24．（8分）已知，二次三项式﹣x2+2x+1．（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+1＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围．25．（10分）某单位800名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书数量，采用随机抽样的方法抽取30名职工的捐书数量作为样本，对他们的捐书数量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求这30名职工捐书本数的平均数，写出众数和中位数；（3）估计该单位800名职工共捐书多少本？26．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，过点D作DE⊥BD，交AB于点E，若BD＝10，tan∠ABD＝，cos∠DBC＝，求DC和AB的长．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】依据一元二次方程的定义判断即可．【详解】A.3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故A正确；B.＋－2＝0是分式方程，故B错误；C.当a=0时,方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故C错误；D.x2+2x=x2-1，整理得2x=-1是一元一次方程，故D错误；故选A.此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.2、A【解析】根据最简二次根式的定义进行化简即可.【详解】故选：A.本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义是关键.3、C【分析】把x＝4代入原方程得关于a的一元一次方程，从而得解.【详解】把x＝4代入方程可得16-12=，解得a=±2，故选C．考点：一元二次方程的根．4、A【分析】根据相反数的意义求解即可．【详解】的相反数是-，故选：A．本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．5、A【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．【详解】解：如图，连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，∴OA＝OC≠OD，即O不是△ADC的外心，OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，OB＝OC＝OE，即O是△BCE的外心，OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故选：A．本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.6、C【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：C．此题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7、B【分析】根据题干可以明确得到p,q是方程的两根,再利用韦达定理即可求解.【详解】解：由题可知p,q是方程的两根,∴p+q=,故选B.本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键.8、C【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【详解】解：它的主视图是：故选：C．本题考查了三视图的知识，掌握主视图是解题的关键.9、C【解析】设PN=a，PM=b，则ab=6，∵P点在第二象限，∴P（-a，b），代入y=中，得k=-ab=-6，故选C．10、A【解析】∵点和是反比例函数图象上的两个点，当＜＜1时，＜，即y随x增大而增大，∴根据反比例函数图象与系数的关系：当时函数图象的每一支上，y随x的增大而减小；当时，函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．故k＜1．∴根据一次函数图象与系数的关系：一次函数的图象有四种情况：①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．因此，一次函数的，，故它的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据正比例函数的定义即可得出答案.【详解】∵函数是正比例函数∴-a+1=0解得：a=1故答案为1.本题考查的是正比例函数，属于基础题型，正比例函数的表达式为：y=kx(其中k≠0).12、【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA：OD＝AB：CD，然后利用比例性质计算OA的长．【详解】∵AB∥CD，∴OA：OD＝AB：CD，即OA：2＝4：3，∴OA＝．故答案为．本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．13、【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S扇形＝lr＝×12π×10＝60π米2，故答案为60π．本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝lr是解题的关键．14、75°【解析】已知在△ABC中°，cosA＝，可得∠A=60°，又因∠B＝45，根据三角形的内角和定理可得∠C=75°.15、-1．【分析】由题意根据负整数指数幂和零指数幂的定义求解即可．【详解】解：＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．本题考查负整数指数幂和零指数幂的定义，熟练掌握实数的运算法则以及负整数指数幂和零指数幂的运算方法是解题的关键．16、2﹣2【分析】取BC中点G，连接HG，AG，根据直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，根据勾股定理可求AG＝2，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．【详解】解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，∵CH⊥DB，点G是BC中点∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，在Rt△ACG中，AG＝＝2在△AHG中，AH≥AG﹣HG，即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2本题考查了动点问题，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形中勾股定理关系式.17、﹣1．【解析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，，函数解析式为y=﹣3x2+1x=2时y=﹣11，故答案为﹣1．“点睛”本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．18、(1，)或(－1，－)【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．本题中k＝1或−1．【详解】解：∵两个图形的位似比是1：（−）或1：，AC的中点是（4，3），∴对应点是（1，）或（−1，−）．本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．三、解答题(共66分)19、（1）①与直线相切.理由见解析；②或；（2）或.【分析】（1）①作直线的垂线，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征证明线段相等即可；②利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.（2）利用两点之间的距离公式分别求得各线段的长，根据“和谐点”的定义及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.【详解】（1）①与直线相切.如图，过作直线，垂足为，设.则，，即：与直线相切.②当与轴相切时∴，，即：代入化简得：或.解得：，.或.（2）已知、的横坐标分别是，，代入二次函数的解析式得：，，设，∵点B的坐标为，∴，，，依题意得：，即，，即：，∴(不合题意，舍去)或，把，代入得：直接开平方解得：，，∴的坐标为：或本题主要考查了两点之间的距离公式二次函数的性质，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程是解题的关键.20、x1=1，x2=﹣．【解析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．【详解】解：3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x+2）=0，∴x﹣1=0，3x+2=0，解得x1=1，x2=﹣．考点：解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．21、证明见解析.【分析】（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形．【详解】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，∵AB⊥EC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，在△BDE和△BCE中，∵，∴△BDE≌△BCE；（2）四边形ABED为菱形；由（1）得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，又∵BE=CE，∴BA=BE=ED=AD∴四边形ABED为菱形．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．22、（1）无数；（2）；（3）【分析】(1)根据题目给的定义即可判断一条抛物线有无数条”友好”抛物线.(2)先设出L4的解析式,求出L3的坐标轴和顶点坐标,再将顶点坐标代入L4的解析式中即可求解.(3)根据两个抛物线的顶点都在对方抛物线上,列式求解即可.【详解】（1）根据“友好”抛物线的定义,只需要确定原函数顶点和抛物线任意一点做“友好”抛物线的顶点即可作出“友好”抛物线,因此有无数条.∴答案为:无数.（2）把化为顶点式，得顶点坐标为，对称轴为点坐标为，点关于对称轴的对称点的坐标为，设的解析式为，把代入，得.解得.的“友好”抛物线的表达式为：.（3）由题意可得:,整理得,(a1+a2)(m-h)2=0,∵顶点不重合,∴m≠h,∴.本题考查二次函数的性质运用,关键在于根据题意规定的方法代入求解.23、，．【分析】根据分式混合运算法则化简出最简结果，把a、b的值代入求值即可．【详解】原式＝·﹣＝﹣＝﹣＝＝＝．当a＝3，b＝﹣1时，原式＝＝＝．本题考查分式的混合运算——化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．24、（1）m＝7；（2）n≤﹣2或1≤n＜2．【分析】（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，由已知可得m﹣4＝±1，解得m＝7或m＝1（舍）；（2）由已知可得A（，0），B（0，n），根据题意可得，当≤﹣1，n＜1时，n≤﹣2；当＞﹣1，n≥1时，n≥1；当＞1，n≤1时，n不存在；当＜1，n≥1时，1≤n＜2；综上所述：n≤﹣2或1≤n＜2．【详解】解：（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，∵m为整数，方程的根为有理数，∴m﹣4＝±1，∴m＝7或m＝1（舍）；（2）由已知可得A（