角函数5正弦函数余弦函数的图象与性质再认识余弦函数的图象与性质再认识公开课

5.2余弦函数的图象与性质再认识课标阐释

1.会用五点法画出余弦函数的图象.(数学抽象)2.能够根据余弦函数的图象求满足条件的角的范围.(数学运算)3.能结合余弦函数的图象理解余弦函数的性质.(数学运算)4.会求余弦函数的定义域、值域、最值.(数学运算)5.会求余弦函数的单调区间,根据单调性能比较大小.(逻辑推理)6.会判断有关函数的奇偶性.(逻辑推理)思维脉络

激趣诱思知识点拨某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,根据有关数据描出曲线,经拟合,该曲线可近似地看作函数y=cost的图象.你能类比正弦函数的性质,总结出余弦函数的相关性质吗?激趣诱思知识点拨一、余弦函数的图象

激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨答案(1)√

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√激趣诱思知识点拨二、余弦函数y=cos

x的性质

性质y=cosx定义域R值域[-1,1]奇偶性偶函数单调性当x∈[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)时,函数单调递增;当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,函数单调递减周期性最小正周期是2π最值当x=2kπ(k∈Z)时,y的最大值为1;当x=(2k+1)π(k∈Z)时,y的最小值为-1对称轴x=kπ(k∈Z)对称中心激趣诱思知识点拨名师点析1.余弦函数有单调区间,但都不是定义域上的单调函数,即余弦函数在整个定义域内不单调.2.余弦函数图象的对称轴一定过余弦函数图象的最高点或最低点,即此时的余弦值取最大值或最小值.3.利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再比较大小.激趣诱思知识点拨微练习1函数y=-3cosx的一条对称轴方程是(

)答案D激趣诱思知识点拨微练习2A.值域是[-1,0] B.是奇函数C.最小正周期是2π D.在区间[0,π]上单调递减答案C激趣诱思知识点拨微练习3使y=sinx和y=cosx均为减函数的一个区间是(

)答案B探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测用五点法作余弦函数的图象例1画函数y=2cosx+3,x∈[0,2π]的图象.解(1)列表:探究一探究二探究三探究四探究五探究六(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟

用五点法画函数y=Acos

x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤(1)列表:当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六变式训练1作出函数y=-cosx+1,x∈[0,2π]的图象.解(1)列表:当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六根据余弦函数的图象求角的范围

当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟

用余弦函数图象解不等式的步骤(1)作出余弦函数在区间[0,2π]上的图象;(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;(3)根据余弦函数周期确定取值范围.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六变式训练2满足cosx>0,x∈[0,2π]的x的取值范围为

.

当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六利用余弦函数图象判断方程根的个数

当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟

与余弦函数图象有关的根的个数问题的处理策略判断f(x)-Acos

x=0(A≠0)的根的个数时,运用数形结合的方法,转化为函数图象交点的个数.由于余弦函数的图象都是介于y=-1与y=1之间,只需考虑-A≤f(x)≤A的x的范围,在该范围内f(x)的图象与Acos

x的图象的交点的个数即方程根的个数.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六变式训练3方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内的所有根的和为(

)A.2 B.1 C.0 D.-1解析如图所示,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=|x|与g(x)=cos

x的图象,易知两个函数的图象在(-∞,+∞)内只有两个交点,即原方程有两个根,且两根互为相反数,故和为0.选C.答案C当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六求与余弦函数有关的定义域问题例4(1)已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cosx)的定义域;当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟

利用余弦函数图象处理函数的定义域问题一些函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到,但同时要注意区间端点的取舍.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六与余弦函数有关的奇偶性、对称性问题例5判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xcosx;当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟

判断与余弦函数有关函数奇偶性的处理方法1.判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数既不是奇函数,也不是偶函数.2.判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时,需注意诱导公式的合理利用.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六变式训练5函数y=-xcosx的部分图象是下图中的(

)答案D当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六求与余弦函数有关的值域与最值问题例6(1)设M和m分别是函数y=cosx-1的最大值和最小值,则M+m=

.

(2)函数y=cos2x-4cosx+5的值域为

.

解析(1)因为cos

x∈[-1,1],(2)令t=cos

x,则-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,所以t=-1时,y取得最大值10,t=1时,y取得最小值2.所以y=cos2x-4cos

x+5的值域为[2,10].答案(1)-2

(2)[2,10]当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六反思感悟

求余弦函数值域的常用方法(1)求解形如y=acos

x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos

x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.(2)求解形如y=acos2x+bcos

x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos

x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos

x的有界性.当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六答案D当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数也是偶函数答案A探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测2.函数y=cosx-2在x∈[-π,π]上的图象是(

)解析把y=cos

x,x∈[-π,π]的图象向下平移2个单位长度即可.答案