高中数学苏教版必修不等式从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 一等奖

3.3.1从函数观点看一元二次方程第3章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数,了解函数的零点与方程的根的关系.(直观想象)2.会求二次函数的零点.(数学运算)课前篇自主预习情境导入观察三个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.①

②③一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?知识点拨一、二次函数的零点一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.要点笔记一元二次方程、二次函数、二次函数的图象之间的关系方程ax2+bx+c=0有实数根⇔二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点⇔二次函数y=ax2+bx+c有零点.微思考

二次函数的零点是函数与x轴的交点吗?提示

不是.二次函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.微练习

函数y=2x2-3x+1的零点个数是(

)A.0

B.1

C.2

D.3答案

C解析

由y=0得2x2-3x+1=0,解得x=或x=1,所以函数f(x)有2个零点.二、一元二次方程的解集

定义形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程,其中a,b,c是常数,且a≠0一元二次方程的解集判别式的符号解集Δ=b2-4ac>0

Δ=b2-4ac=0

Δ=b2-4ac<0⌀名师点析

1.一元二次方程的解集实质上就是借助判别式判断根的个数后再利用系数表示出根.2.若关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有微思考

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=适用于所有的一元二次方程吗?提示

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用,即当根的判别式Δ=b2-4ac≥0时适用.微练习

答案

C课堂篇探究学习探究一求二次函数的零点例1已知函数y=x2-x-2a.(1)若a=1,求函数f(x)的零点;(2)若y有零点,求实数a的取值范围.解

(1)当a=1时,y=x2-x-2.令y=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.即函数y的零点为-1和2.反思感悟二次函数零点的求法(1)代数法:求方程y=0的实数根.(2)几何法:对于不能用求根公式的方程y=0,可以将它与函数的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.变式训练1已知函数y1=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数y2=bx2+ax的零点.解

由已知得3a-b=0,即b=3a.故y2=3ax2+ax=ax(3x+1).令y2=0,即ax(3x+1)=0,探究二一元二次方程的根的个数与判别式的关系例2关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值是(

)A.0 B.8C.4± D.0或8答案

D解析

由Δ=(m-2)2-4(m+1)=0,得m2-8m=0,解得m=0或m=8.延伸探究本例的结论改为“有两个实数根”,试求m的取值范围.解

一元二次方程有两个实数根可能是两个相等的实数根也可能是两个相异的实数根,则Δ=(m-2)2-4(m+1)=m2-8m≥0,即m(m-8)≥0,解得m≥8或m≤0.故m的取值范围为(-∞,0]∪[8,+∞).变式训练2(2020山西运城景胜中学高一开学考试)关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有实数根,则a满足(

)A.a≥-4且a≠0 B.a>4C.a≥4 D.a≠0答案

A解析

因为关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有实数根,则反思感悟一元二次方程ax2+bx+c=0实数根的个数的判断方法(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个相异的实数根;(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程无实数根.素养形成一元二次方程根与系数的关系典例已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;解

(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,即(2k+1)2-4k2=4k+1>0,(2)当k=2时,方程为x2+5x+4=0,∴x1+x2=-5,x1x2=4,点评利用根与系数的关系求代数值的步骤(1)算:计算出两根的和与积;(2)变:将所求的代数式表示成两根的和与积的形式;(3)代:代入求值.当堂检测1.若x1,x2是一元二次方程2x2-6x+3=0的两个实数根,则|x1-x2|的值为(

)答案

B2.已知α,β是二次函数y=x2-4x-3的两个零点,则代数式(α-3)(β-3)的值是(

)A.7 B.1 C.5 D.-6答案

D解析

∵α,β是一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根,∴α+β=4,αβ=-3,∴(α-3)(β-3)=αβ-3(α+β)+9=-3-3×4+9=-6.故选D.3.一元二次方程(4-2x)2-36=0的解集是

.

答案

{-1,5}解析

原方程移项可得(4-2x)2=36,两边开平方可得4-2x=6或4-2x=-6,解得x1=-1,x2=5.故一元二次方程(4-2x)2-36=0的解集是{-1,5}.4.若集合A={x|(k+2)x2+2kx+1=0}有且仅有1个真子集,则实数k的取值集合是

.

答案

{-2,-1,2}解析

由集合A有且仅有1个真子集可得A中含有1个元素,当k=-2时,A={x|-4x+1=0}={},符合题意;当k≠2时,Δ=4k2-4(k+2)