2022-2023学年湖南省怀化市大江坪中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省怀化市大江坪中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，则=(

) A．﹣i B．+i C．﹣1 D．﹣i参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数除法公式直接计算．解答： 解：===﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的代数形式的乘除计算，是基础题，解题时要注意复数运算法则的合理运用．2.双曲线的一个焦点为，若a、b、c成等比数列，则该双曲线的离率e=（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由成等比数列，可得，，解方程可得结果.【详解】因为成等比数列，所以，，所以，因为，所以．故选B．【点睛】本题主要考查双曲线的性质与离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．3.

（）A． B． C． D．

参考答案：B4.设函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又的解集为

（

）

A．（－2，0）∪（0，2）

B．（－∞，－2）∪（0，2）

C．（－∞，2）∪（2，+∞）

D．（－2，0）∪（2，+∞）参考答案：D略5.已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有两个不等实根、，且，则的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知集合则

（

）

（A）{}

（B）

{}

（C）

{}

（D）

{}参考答案：A7.已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为C．f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象参考答案：D考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x+）+，分别求出其周期，最大值，对称轴即可判断A，B，C，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的性质即可判断D选项．解答：解：∵f（x）=（sinx+cosx）cosx=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∴函数f（x）的最小正周期T=，A错误；f（x）的最大值为：，B错误；由2x+=kπ，解得f（x）的图象的对称轴为：x=，k∈Z，故C错误；将f（x）的图象向右平移，得到g（x）=sin2x+图象，再向下平移个单位长度后会得到h（x）=sin2x的图象，而h（x）是奇函数．故正确．故选：D．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式，两角和与差的正弦函数公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查．8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C．1 D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三视图的数据，直接求出棱柱的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1，，棱柱的高为，所以几何体的体积为：=1．故选C．9.函数y=2x3－3x2－12x+5在区间[0，3]上的最大值和最小值依次是（

）A．12，－15

B．5，－15

C．5，－4

D．－4，－1参考答案：答案：B10.“”是“函数在区间上为增函数”的 A．充分条件不必要

B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.规定满足“f（﹣x）=﹣f（x）”的分段函数叫“对偶函数”，已知函数f（x）=是对偶函数，则（1）g（x）=﹣x2+4x．（2）若f[﹣]＞0对于任意的n∈N°都成立，则m的取值范围是．参考答案：m＜5考点：函数奇偶性的性质．专题：新定义．分析：（1）先设设x＜0，则﹣x＞0，代入解析式求出f（﹣x），再由题意f（﹣x）=﹣f（x），求出g（x）；（2）由（1）求出的解析式，分别求出函数值的范围，进而把条件转化为对于任意的n∈N°恒成立问题，即对于任意的n∈N°恒成立问题，分离常数m并把和式展开，利用裂项相消法进行化简，再求出此式子的最小值即可．解答：解：（1）由题意设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2﹣4x，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+4x，（2）由（1）得，，∴当x＜0时，f（x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4＜0，当x≥0时，f（x）=x2+4x=（x+2）2﹣4≥0，∵对于任意的n∈N°恒成立，∴条件转化为对于任意的n∈N°恒成立，即m＜10×=10（）对于任意的n∈N°成恒立，令y=10（），即求y的最小值，则y=10×[（1）+（）+…+（﹣）]=10（1﹣），∵1﹣≥1﹣=，∴y的最小值为5．综上可得，m＜5．故答案为：﹣x2+4x；m＜5．点评：本题以一个新定义为背景考查了恒成立问题，求和符号的展开，分离常数法和裂项相消法求和等，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．12.若函数，则的最小正周期为

；

．参考答案：

；

13.已知映射，其中，，对应法则是，对于实数，在集合中不存在原象，则的取值范围是

.参考答案：【知识点】映射的概念B1【答案解析】解析：解：在区间上是增函数，，所以A若不存在原象则【思路点拨】根据映射的概念可求解.14.如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为

．参考答案：15.在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．参考答案：π【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直径为：=所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=π故答案为：π【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．16.已知数列的前n项和为，且，则=___．参考答案：【知识点】数列递推式．D1

【答案解析】-128解析：∵sn=2（an+1），∴当n=1时，a1=2（a1+1），解得a1=﹣2，当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2an﹣2an﹣1，∴=2；∴数列{an}是﹣2为首项，2为公比的等比数列，∴an=﹣2n．∴a7=﹣27=﹣128．故答案为：﹣128．【思路点拨】当n=1时，可求得a1=﹣2，当n≥2时，可求得=2；从而可得数列{an}是﹣2为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为：an=﹣2n，问题可解决．17.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）令，区间，e为自然对数的底数。（ⅰ）若函数在区间D上有两个极值，求实数m的取值范围；（ⅱ）设函数在区间D上的两个极值分别为和，求证：.参考答案：解：(1)当时，，所以若，则所以的单调区增区间为若则所以的单调区增区间为（2）（ⅰ）因为，所以，，若函数在区间D上有两个极值，等价于在上有两个不同的零点，令，得，设，令

大于00小于0

0增减

所以的范围为（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数在区间D上有两个极值分别为和，不妨设，则，所以即，要证，只需证，即证，令，即证，即证，令，因为，所以在上单调增，，所以，即所以，得证。

19.如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，，且，.（Ⅰ）求证：MN∥平面BEC；（Ⅱ）求二面角N-ME-C的大小.参考答案：（Ⅰ）证明：过作交于，连接因为，，所以……2分又，所以故，……4分所以四边形为平行四边形，故，而平面，平面，所以平面；……6分（Ⅱ）以为坐标原点，所在方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，则，，，平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即，不妨设，则所求二面角的大小为

……12分20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，已知点A，B的坐标分别为．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是．记点P的轨迹为．

（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）已知直线AP，BP分别交直线于点M，N，轨迹在点P处的切线与线段MN交于点Q，求的值．

参考答案：（Ⅰ）设点坐标为，则直线的斜率（）；直线的斜率（）．由已知有（），化简得（）． 4分故点的轨迹的方程为（）．（注：没写或扣1分）（Ⅱ）设（），则． 5分直线的方程为，令，得点纵坐标为； 6分直线的方程为，令，得点纵坐标为； 7分设在点处的切线方程为，由得． 8分由，得，整理得．将代入上式并整理得，解得， 9分所以切线方程为．令得，点纵坐标为． 10分设，所以，所以． 11分所以．将代入上式，，解得，即． 12分

21.已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.（1）求的值；（2）正数满足，求证：.参考答案：（1）由绝对值不等式要满足题意，则，解得∴（2）由（1）知正数满足∴22.（本小题满分15分）如图，设抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，线段的中点到轴的距离为.（Ⅰ）求抛物线的方程