高中数学第一章立体几何初步1.1.4投影与直观图讲义新人教B版

1.1.4投影与直观图第一章

§1.1空间几何体学习目标理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点直观图与斜二测画法(1)直观图用来表示空间图形的

.(2)斜二测画法的规则①在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使∠xOz＝

，且∠yOz＝

.②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝

，∠x′O′z′＝

，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.平面图形90°90°45°(或135°)90°③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于

、

或

的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系

.④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中

，平行于y轴的线段，长度为

.⑤画图完成后，擦去作为辅助线的

，就得到了空间图形的直观图.x′轴z′轴y′轴相同保持长度不变原来的一半坐标轴[思考辨析判断正误]1.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(

)2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.(

)3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(

)×××题型探究例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图.类型一直观图的画法解答解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示.(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝

OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2).(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3).

引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解答解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系.(2)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝

OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.

反思与感悟

(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便.(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.跟踪训练1

(1)用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.解答解①如图a所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.

②画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定).解答解①画轴.如图c，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°.②画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.③画顶点.在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高.④画棱.连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥S－ABCD的直观图，如图d所示.类型二直观图的还原与计算解答命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.解

①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如右图所示.反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍.(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.跟踪训练2如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是____形.菱答案解析命题角度2原图形与直观图的面积的计算例3如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝

C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.解答解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，反思与感悟

(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.跟踪训练3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是答案解析√达标检测1.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为A.16 B.64C.16或64 D.无法确定1234解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.答案解析√2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的1234答案解析解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.√1233.有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为____cm2.4答案解析4.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.解答1234解(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示.(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，1234过E′作E′C′∥y′轴，连接D′C′，B′C′.(3)擦去坐标轴及B′E′，E′C′，则所求四边形OBCD的直观图如图③所示.12341.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、