第十二章 达朗伯原理

第十二章达朗伯原理第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法，即用动力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，故又称为动静法。动静法在形式上将动力学问题化为静力平衡问题，以静力平衡方程的形式列出动力学方程。第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力。例如，一质量为m的小球M，用细绳系住，绳的另一端用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度为v，半径为r，如图14-1所示。第一节惯性力的基本概念受非零力系作用的物体将改变运动状态。第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五(b)(a)与上述例子实质相同的力学现象不胜枚举。可将质点惯性力的概念归结如下：一质量为m的质点受到力F的作用，具有加速度a。则由动力学第二定律有第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五质点对施力体的反作用力并记作，则有,称为质点的惯性力，可见，质点惯性力的大小等于质点质量与其加速度的乘积，方向与加速度方向相反，而作用在迫使质点改变运动状态的施力物体上。将（14－1）式可向固定直角坐标系投影有

（12－2）

（12－1）第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五若在自然轴系上投影则有（12－3）上式表明，质点的惯性力也可分解为沿轨迹的切线和法线的两个分力：切向惯性力和法向惯性力，他们的方向分别与切向加速度和法向加速度相反。第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五一、质点的达朗贝尔原理

设质量m为的质点，在主动力、约束反力的作用下运动，其加速度为a，如图（a）所示。(a)(b)第二节质点和质点系的达朗贝尔原理第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五对质点M应有上式可改写为由于，则上式记作：

（12－4）这说明，在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与质点的惯性力的矢量和为零。也可理解为：在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与虚加的质点的惯性力构成一零力系，这即为质点的达朗贝尔原理。应该明确：式（12－3）只具有静力平衡方程的形式，而没有平衡的实质。第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五【解】以摆锤为研究对象，设它的质量为。摆锤与车厢一样，有向右的加速度。则摆锤上作用的力有：(a)(b)(c)、和，其中。例12-1如图所示，一沿水平直线向右作匀加速运动的车厢内悬挂一单摆，在正常状态下摆的悬线向左偏斜，与铅垂线成角，相对于车厢静止。试求车厢的加速度a。第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五由静力平衡方程则即二、质点系的达朗贝尔原理对质点系中每一个质点应用质点的达朗贝尔原理，然后加以综合，就得到质点系的达朗贝尔原理。第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五设质点系由n个质点组成，其中第个质点的质量为。它在主动力和约束反力作用下运动，其加速度为。则点虚加的惯性力，相应地有（12－5）对整个质点系而言，这样的零力系共有n个，它们综合在一起仍构成一零力系。因此，在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系的主动力、约束反力与虚加的质点系的惯性力构成一零力系。这即为质点系的达朗贝尔原理。在应用质点系的动静法时，应当分析并画出质点系所受的外力，再虚加上质点系的惯性力，两者共同构成一个虚拟的零力系。可按静力学方法列出该力系的平衡方程。第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五若研究整个刚体的运动，可以用静力学中所描述的方法将刚体的惯性力系向一点简化，用简化结果等效地代替原来的惯性力系。设将刚体的惯性力系向任选一点O的简化，则惯性力系的主矢为又有，故有（12－6）第三节刚体惯性力系的简化第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五即惯性力系主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反。不论刚体作任何运动，这个结论均成立。至于刚体惯性力系的主矩，则与简化中心的位置和刚体的运动形式有关。现讨论刚体作平行移动、定轴转动和平面运动三种情况下刚体惯性力系的简化结果。一、刚体作平行移动在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度。任一质点的惯性力为第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。＝由平行力系中心的概念，可知此力系合成为通过质心C的合力。第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五即（12－7）此式表明：刚体平动时，其惯性力系向质心C简化为一力，这个力的大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与加速度相反。二、刚体作定轴转动这里限于研究刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面N的情况，如图所示。第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五＝(a)(b)通过上图可将整个刚体的惯性力系从空间力系转化为对称平面内的平面力系。再将该平面力系向对称平面的转动中心O（即为转轴与对称平面的交点O）简化，可得到一个力和一个矩为的力偶。第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五力矢可由（12－5）式求得，即（12－8）而应等于惯性力系对O点的主矩。设刚体转动的角速度为ω，角加速度为α。记的转动半径为，则，

相应地方向如图（b）。于是第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五即（12－9）上式的负号表示惯性力主矩的转向与角加速度相反。式（12－7）和式（12－8）表明：刚体定轴转动时，其惯性力系向转动中心简化为一个力和一个力偶。其中这个力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转化中心。这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，作用在垂直于转轴的对称平面内，转向与角加速度的转向相反。得出上述的结论有两个限制条件：第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五（1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；（2）以转动中心（转轴系与质量对称平面的交点）为简化中心。特殊情况：（1）转轴通过刚体的质心O，如图（a）所示。此时（2）刚体作匀速转动，如图（b）所示。此时第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五(a)(b)（α=0）三、刚体作平面运动（1）平面运动刚体惯性力系的简化设刚体的角速度为，角加速度为，质心加速度为

。选质心C为基点，则刚体对称平面内任意代表点的加速度可以分解为牵连加速度和相对加速度，相应地惯性力也有此关系，如图（a）所示。第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五这样，刚体的惯性力系可设想为分成两组：一组是牵连惯性力，它的分布情况与刚体以加速度作平动时相同；另一组是相对惯性力，它的分布情况与刚体绕质心轴转动时相同。则由刚体作平行移动和刚体作定轴转动（转轴通过刚体质心）的结果可知：前一组惯性力合成为作用在质心的一个力，后一组惯性力合成为一个力偶。(a)(b)第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五即

（12－10）

（12－11）式（12－9）和（12－10）即为平面运动刚体的惯性力系的简化结果。例14-2重量为G，半径为R的均质圆盘可绕垂直于盘面的水平轴O转动，O轴正好通过圆盘的边缘，如图所示。圆盘从半径CO处于铅垂位置1无初速度释放转下。求当圆盘转到OC成为水平位置2时轴的动反力。第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五【解】（1）应用动能定理求在位置2时的瞬时角速度ω，有

代入（1）式得又（1）（2）（2）设圆盘得角加速度为，则有得（3）1CO2第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五代入（3）式有（4）将（2）式代入有（5）第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五【解】例14-3滚子半径为R，质量为m，质心在其对称中心C点，如图(a)所示。在滚子得鼓轮上缠绕细绳，已知水平力沿着细绳作用，使滚子在粗糙水平面上作无滑动得滚动。鼓轮得半径为r，滚子对质心轴得回转半径为ρ。试求滚子质心的加速度ac和滚子所受的摩擦力F1。以滚子为研究对象。作用于滚子上的外力有重力、水平拉力、地面法向反力和滑动摩擦力，如图所示。设滚子的质心加速度为，则由纯滚动条件有，相应地有第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五对图（b），由平衡方程得将代入上式有则代入，有讨论：静摩擦因数满足什么条件，滚子才能发生纯滚动？第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五【典型题精解】例14-5半径为r的均质圆柱形滚子重，被绳子拉住沿水平面作纯滚动，此绳跨过滑轮B（不计重量）后悬挂重为的物体A。如重物A下降的加速度大小为2a，试求各物体的惯性力并将他们分别画于图中各相应物体上。【解】因绳长不可伸长，故因滚子作纯滚动，故第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五将滚子的惯性力系向质心C简化，主矢为主矩为重物A的惯性力为如图（b）所示。例12-6均质细杆支承如图（a）所示。已知杆长为l，重为G，斜面倾角。若杆与水平面交角瞬时，A端的加速度为，杆的角速度为零，角加速度为。试求此瞬时杆上惯性力系的简化结果。(b)第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五【解】(a)(b)杆AB作平面运动，可将惯性力系向质心C简化，故需求得质心C的加速度，以杆端点A为基点，则上式中方向如图（b）所示，故第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五因此得此杆惯性力系得主矢为式中惯性力系向质心简化得主矩为方向如图（a）所示。第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五例12-7均质棒AB得质量为m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置，如图（a）所示。其中一绳BD突然断了，求此瞬时AC绳得张力F。(a)(b)【解】当BD绳断了以后，棒开始作平面运动，则惯性力系的简化中心在质心C上。因瞬时系统的速度特征量均为零，则点加速度为。以A为基点，有第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五其中,l为棒长。虚加惯性力系，如图（b）所示，有则因，得

又第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五得【思考题】

1、是非题（1）不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化得主矢都等于刚体得质量与其质心加速度的乘积，而取相反方向。（）对

（2）质点有运动就有惯性力。（）错（3）质点的惯性力不是它本身所受的作用力，其施力体事质点本身。（）对第三十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五1．选择题

（1）设质点在空中，只受到重力作用，试问在下列两种情况下，质点惯性力的大小和方向如何？（a）质点作自由落体运动；（b）质点被铅垂上抛

（）A．（a）与（b）的惯性力大小相等，方向都铅直向下

B．（a）与（b）的惯性力大小相等，方向都铅直向上C．（a）与（b）的惯性力大小相等，（a）向上、（b）向下D．（a）与（b）的惯性力大小相等，（a）向下、（b）向上B第三十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五（2）如图所示，半径为R，质量为m的均质细圆环沿水平直线轨道作匀速纯滚动，试问应如何虚加惯性力系？()A.虚加惯性力且过速度瞬心