2023年函数的单调性知识点与题型归纳

第三节福数6蝌I性

・高考明方向

1.理解函数的单调性'最大值、最小值及其几何意义.

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

★备考知考情

1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，

常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取

值，运用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等.客

观题重要考察函数的单调性，最值的拟定与简朴应用.

2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇

命题，则以解答题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P15

注意：

研究备熬草蠲雌於慎急求备数的是义域,

备核的草惆区同是定文域的

单桶暖同不像畀/

知识点一函数的单调性

1.单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数/（X）的定义域为/,如果对于定义

域/内某个区间D上的任意两个自变量X,,与.

当力<与时，都有/（%）当％时，都有/（%）

定义

<〃芍），那么就说函数>/（%）,那么就说函数

f（工）在区间0上是增人工）在区间。上是减

函数函数

2.单调性、单调区间的定义

若函数/U）在区间。上是增函数或减函数，则称函数/（x）

在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做/（幻的单

调区间.

注意：

1、《名师一号》P16问题探究问题1

关于函数单调性的定义应注意哪些问题？

（1）定义中Xi,X2具有任意性，不能是规定的特定

值.

（2）函数的单调区间必须是定义域的子集；

⑶定义的两种变式：

设任意xi,x2e［a,切且修。2,那么

①/（%）一/（%2）＞0o外©在［a,为上是增函数；

%］一尤2

”引一/但）＜0寸（X）在［a/］上是减函数.

X1一%

②（X1—X2）［/（Xi）—/■（X2）］＞。心X）在［a,Z＞］上是增函

数；

（X1-X2）V（Xi）-f（X2）］＜0/X）在［。,加上是减函数.

2、《名师一号》P16问题探究问题2

单调区间的表达注意哪些问题？

单调区间只能用区间表达,不能用集合或不等式表达；

如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“U”联

结，也不能用“或”联结.

知识点二单调性的证明方法:定义法及导数法

《名师一号》P16高频考点例1规律方法

(1)定义法：

运用定义证明函数单调性的一般环节是：

①任取XI、*2€。,且*1<*2；

②作差人为)-八处),并适当变形

(“分解因式”、配方成同号项的和等)；

③依据差式的符号拟定其增减性.

(2)导数法：

设函数y=f(x)在某区间D内可导.假如f>0,则

f(x)在区间D内为增函数;假如f<x)V0,则〃x)

在区间。内为减函数.

注意：(补充)

(1)若使得ff(x)=0的x的值只有有限个，

则假如f'(x)>0,则/(x)在区间。内为增函数；

假如尸(x)WO,则/(x)在区间D内为减函数.

(2)单调性的判断方法：

《名师一号》P17高频考点例2规律方法

定义法及导数法'图象法、

复合函数的单调性(同增异减)、

用已知函数的单调性等

(补充)单调性的有关结论

1.若/0),gG)均为增(减)函数，

则外x)+g(x)仍为增(减)函数.

2.若，（*）为增（减）函数，

则一/U）为减（增）函数，假如同时有/（x）＞o,

则忘为减（增）函数,77㈤为增（减）函数.

3.互为反函数的两个函数有相同的单调性.

4.y=f［g（x）］是定义在M上的函数，

若外x）与g（x）的单调性相同，

则其复合函数/［g（x）］为增函数；

若f（X）、g（x）的单调性相反，

则其复合函数Zig（X）］为减函数.

简称“同增异减”

5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相

同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性

相反.

函数单调性的应用

《名师一号》P17特色专题

(1)求某些函数的值域或最值.

(2)比较函数值或自变量值的大小.

(3)解、证不等式.

(4)求参数的取值范围或值.

(5)作函数图象.

二、例题分析：

(-)函数单调性的判断与证明

例1.(D《名师一号》P16对点自测1

判断下列说法是否对的

⑴函数./U)=2x+1在(-00,+00)上是增函数.()

(2)函数错误!在其定义域上是减函数.()

(3汜知f(x)=错误!，g(x)=-2x,则y=f(x)—g(x)在定

义域上是增函数.()

答案：YxY

例1.(2)《名师一号》P16高频考点例

1(1)

(2023•北京卷)下列函数中,在区间(0,+8)上为增函数的

是()

A.y=错误！B.j=(x-1)2

C.y—2TxD.j=logo.s(x+l)

答案:A.

例2.(1)《名师一号》P16高频考点例1(2)

判断函数./U)=错误!在(-1,+8)上的单调性，并证明.

法一:定义法

设-1<X1<X2,

则，xj-f(X2)=错误!-错误！

=错误！

4X1-*2

X1+1X2+1

"."-1<X1<X2,

.'•Xi—X2<0,X]+l>0,X2+l>0.

当4>。时，f(X1)-/(X2)<O,

即八XI)<f(x2),

••・函数y=/(x)在(-l,+oo)上单调递增.

同理当。<0时，f(X1)—f(X2)>0,

即:(X1)>f(X2),

二函数y=/(x)在(-l,+oo)上单调递减.

法二:导数法

注意：《名师一号》P17高频考点例1规律方法

1.判断函数的单调性应先求定义域；

2.用定义法判断（或证明）函数单调性的一般环节为：

取值一作差一变形一判号一定论，

其中变形为关键,而变形的方法有因式分解'配方法

等；

3.用导数判断函数的单调性简朴快捷，应引起足够的重视

（二）求复合函数、分段函数的单调性区间

例1.《名师一号》P16高频考点例2（1）

求函数y=的单调增区间；

j=x-|l—x|=错误!

作出该函数的图象如图所示.

由图象可知，该函数的单调增区间是（。，1].

例2.（1）《名师一号》P16高频考点例2（2）

求函数y=log错误！（好—4x+3）的单调区间.

解析:令u=x2-4x+3,

原函数可以看作y=log错误!〃与w=x2—4x+3的复合函

数.

令”=--4x+3>0.贝ljx<l或x>3.

函数y=log错误！（/-4工+3）的定义域为

（—00,1）U（3,+oo）.

又〃=/-4x+3的图象的对称轴为x=2,且开口向上，

，〃=必-41+3在(-8,1)上是减函数，

在(3,+8)上是增函数.

而函数y=log错误!”在(0,+8)上是减函数，

y=log错误！(x2—4x+3)的单调递减区间为(3,+

oo),

单调递增区间为(一叫1).

注意：《名师一号》P17高频考点例2规律方法

求函数的单调区间的常用方法

⑴运用已知函数的单调性，

即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区

间.

(2)定义法：先求定义域,再运用单调性定义.

(3)图象法：假如，G)是以图象形式给出的，或者/U)的

图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.

(4)导数法：运用导数的正负拟定函数的单调区间.

/丫

例2.(2)(补充)y=log]x-41og]x

<2J2

答案：增区间：(，,+8]；减区间：I。­]

U)I4J

2

练习：y=(log2x)-log2x

答案:增区间：(J5,+oo);减区间：倒,、历)

(三)运用单调性解(证)不等式及比较大小

例1.(D《名师一号》P17特色专题典例(1)

已知函数=log2x+错误!，若乂1£(1,2)m£(2,+oo),

则()

A.f(xi)<0,"X2)<0B.f(Xi)<0,f(x2)>0

C.〃Xi)>0,八k2)vOD.f(x\)>0,f(X2)>d

【规范解答】，.函数/(*)=IOg2x+错误!在(1,+s)上

为增函数，且#2)=0,

.•.当乃当(1,2)时,f(x,)<f(2)=0,

当心6(2,+00)时，々X2)>/(2)=0,

即/Ui)<0,f(x2)>0.

例1.(2)《名师一号》P17特色专题典例(2)

已知函数人幻=错误!则不等式

/(层-4)>/(34)的解集为()

A.(2,6)B.(-1,4)C.(l,4)D.(-3,5)

【规范解答】作出函数f(x)的图象，

如图所示，则函数人幻在R上是

单调递减的.由加2_4)>/(3a),

可得出一4<3a,整理得a2-3a-4<0,

即(a+1)(a—4)<0,解得一1<a<4,

所以不等式的解集为(-1,4).

注意:本例分段函数的单调区间可以并!

(四)已知单调性求参数的值或取值范围

例1.(1)《名师一号》P17特色专题典例(3)

(a-2)x,x>2

已知函数/(%)=卜］丫满足对任意的实数

—1,xv2

X#X2,都有"EH/也)<0成立,则实数。的取值范

围为()

A.(-oo,2)B.错误！C.(-oo,2]D.错误!

【规范解答】函数Ax)是R上的减函数，

于是有错误!由此解得aW错误!,

即实数。的取值范围是错误!.

例2.(1)(补充)假如函数/(x)=ax2+2x-3在区间

(-co,4)上单调递增，则实数a的取值范围是__

［答案］［-错误!,0］

［解析］(1)当。=0时次幻=21-3,在定义域R上单调

递增，故在(-8,4)上单调递增；

(2)当今0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x=-

错误!，

由于1Ax)在(-00,4)上单调递增，所以a<0,且-错误!

>4,解得一错误!力<0.综上所述一错误!WaWO.

例2.⑵(补充)若/(>)=必-6ax的单调递减区间是(-

2,2),则a的取值范围是()

A.(-00,0]B.[-2,2]C.{2}D.[2,+oo)

[答案]C

[解析]f'(x)=3x2-6a,

若空。，则二介)单调增，排除A;

若a>0,则由广(*)=0得x=±>•，当*<-\r(2a)和

x>错误!时，/'(x)>0J(X)单调增，当-错误！Vx<错误!

时，f(x)单调减，

/./(x)的单调减区间为(-\r(2a),错误!)，从而错误!

=2,

3=2・

变式:若/(x)=x"3—6a*在区间(-2,2)单调递减，

则a的取值范围是？

1点评］/U)的单调递减区间是(-2,2)

和在(-2,2)上单调递减是不同的，应加以区

分.

本例亦可用x=±2是方程fXx)=3x2-6d=0的两

根

解得a=2.

例2.（3）（补充）

若函数/*）=logI，-以）在（-3,-2）上单调递减，

2

则实数。的取值范围是。（）

A.[9,12]。B.[4,12]C,[4,27]D.[9,27]

答案：A

温故知新P23第9题

若函数/（x）=logi（，一依+3。）在区间

[2,+oo）上单调递减，则实数。的取值范围是一

《计时双基练》P217基础7

《计时双基练》P217基础8、10

8、设函数/(%)=丝匕在区间(—2,+8)上是增函数,

x+2a

那么〃的取值范围是

答案：［1,48)

10、设函数/(x)=」一(XWG)

x-a

(2)若a>0且/(x)在区间内单调递减，

求a的取值范围.

答案：［1,+8)

(五)抽象函数的单调性

例1.(补充)已知/(x)为R上的减函数，那么满足

/(I-I)<f(1)的实数X的取值范围是()

X

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-l,0)U(0,l)D.(-8,-1)U(1,4-00)

答案:C

解析:由于/(x)为减函数，f(\-|)<f(1),所以I'I

XX

>1,则|xI<1且#0,即xe(-1,0)U(0,l).

练习：y=/(x)是定义在［—1,1］上的增函数,

解不等式/(I—x)</(I-尤2)

答案：(0,1)

温故知新P12第8题

注意：

解抽象函数的不等式通常立足单调性定义

或借助图像求解

例2.《计时双基练》P216培优4

函数/(X)的定义域为(0,+8),且对一切X〉04〉0

Y

都有〃7)=/(x)—/(y)，当％>1时，有/(%)〉0。

(D求/⑴的值；

(2)判断/(x)的单调性并加以证明；

(3)若"4)=2,求/(%)在［1,16］上的值域.

答案：单调增；［0,4］

注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义

练习：《计时双基练》P218培优4

函数/(x)的定义域为(0,48),且对一切x,ye£

都有/(x)+/(y)=/(x+y),当x>。时，有

/(x)<0,/(l)=-|.

(1)求证：/(x)在R上是减函数；

(2)求/(x)在［-3,3］上的最大值与最小值.

答案：2;-2

课后作业

计时双基练P217基础1-10

课本P16-17变式思考1、2；

二、计时双基练P217基础11、培优1-4

课本P18相应训练1、2、3

预习第二章第四节函数的奇偶性与周期性

补充：

练习1：

函数f(x)=错误!3>0且aW1)

是R上的减函数，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.[错误!，1)C.(0,错误!]D.(0,

错误!]

分析：/(x)在R上为减函数，故/'(*)=优(x，0)为减函

数，可知0<a<l,又由/>(X)在R上为减函数可知，/'(X)在

xVO时的值恒大于f(x)在xNO时的值，从而3a

解析：：Ax)在R上单调递减,

.•.错误！，错误!.

答案:B

练习2:

已知/"(幻=错误!是(-8,+8)上的增函数，那么a的

取值范围是()

A.(1,+8)B.(—00,3)

CR,3)D.(1,3)

［答案］D

［解析］解法1:由/(*)在R上是增函数,，/(x)在［1,

+8)上单增，由对数函数单调性知1①，又由f

(X)在(-8,1)上单增,.•.330,，a<3②，又由于/(x)

在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，(x)在G

°°,1］上的最大值3—5a要小于等于/(x)在［1,+°°)±

的最小值0,才干保证单调区间的规定，

即错误！③,由①②③可得1<a<3.

解法2:令。分别等于\f(3,5)、0,1,即可排除

A、B、C,故选D.

［点评］/U)在R上是增函数,a的取值不仅要保证f

(*)在(-8,1)上和［1,+8)上都是增函数，还要保证X］<

1,孙21时，有/(X1)</(X2).

练习3:

若函数f(x)=2x2-1nx在其定义域内的一个子区

间(左一邛+1)内