浙江省温州市柳镇实验中学2021年高三数学理测试题含解析

浙江省温州市柳镇实验中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下面四个命题：①“直线直线”的充要条件是“平行于所在平面”；②“直线、为异面直线”的充分不必要条件是“直线、不相交”；③“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；④“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；其中正确命题的序号是(

)

A.①②

B.②④

C.③④

D.②③

参考答案：C略2.若，则（

）A． B．C． D．参考答案：D3.已知条件，条件，且是的一个必要不充分条件，求实数的取值范围．参考答案：．试题分析：先化简条件得，分三种情况化简条件，由是的一个必要不充分条件，可分三种情况列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.试题解析：由得，由得，当时，；当时，；当时，

由题意得，是的一个必要不充分条件，当时，满足条件；当时，得，当时，得

综上，．考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件，二是由条件能否推得条件.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的.4.下列命题中，假命题是(

)A．?x∈R，2x﹣1＞0 B．?x∈R，sinx=C．?x∈R，x2﹣x+1＞0 D．?x∈R，lgx=2参考答案：B【考点】特称命题；全称命题；命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】1．先理解特称命题与全称命题及存在量词与全称量词的含义，再进行判断．2．用符号“?x”表示“对任意x”，用符号“?x”表示“存在x”．含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．【解答】解：由指数函数y=2x的图象与性质易知，?x∈R，2x﹣1＞0，故选项A为真命题．由正弦函数y=sinx的有界性知，﹣1≤sinx≤1，所以不存在x∈R，使得sinx=成立，故选项B为假命题．由x2﹣x+1=≥＞0知，?x∈R，x2﹣x+1＞0，故选项C为真命题．由lgx=2知，x=102=100，即存在x=100，使lgx=2，故选项D为真命题．综上知，答案为B．【点评】1．像“所有”、“任意”、“每一个”等量词，常用符号“?”表示；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词，常用符号“?”表示．全称命题的一般形式为：?x∈M，p（x）；特称命题的一般形式为：?x0∈M，p（x0）．2．判断全称命题为真，需由条件推出结论，注意应满足条件的任意性；判断全称命题为假，只需根据条件举出一个反例即可．判断特称命题为真，只需根据条件举出一个正例即可；判断特称命题为假，需由条件推出矛盾才行．5.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A．

B．

C．和

D．参考答案：C【知识点】导数的概念和几何意义【试题解析】

代入原函数知：点的坐标为和。6.已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1，F2，M椭圆C上的一点，且满足,则椭圆C的离心率e= A． B． C． D．

参考答案：D【知识点】椭圆的简单性质延长MO与椭圆交于N，∵MN与F1F2互相平分，∴四边形MF1NF2是平行四边形，∵平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，∴MN2+F1F22=MF12+MF22+NF12+NF22，∵MF1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a，NF1=MF2=a，NF2=MF1=a，F1F2=2c，∴（a）2+（2c）2=（a）2+（a）2+（a）2+（a）2，∴=，∴e==．故选：C．【思路点拨】延长MO与椭圆交于N，由已知条件能推导出四边形MF1NF2是平行四边形，再由平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，结合椭圆的性质求出椭圆的离心率.

7.已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．

B． C． D．参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣ea﹣1，再由函数y=﹣ex+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=ea，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴ea=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣ea﹣1，又∵函数y=﹣ex+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．8.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为(

)A．3，－11 B．－3，－11C．11，－3

D．11,3参考答案：A略9.

函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是

(

)A．(－2，－1)

B．(－1,0)

C．(0,1)

D．(1,2)参考答案：C10.设,则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=．参考答案：

【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．【解答】解：x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即为2（sin2x1﹣sin2x2）=﹣cos2x1+cos2x2，即有4cos（x1+x2）sin（x1﹣x2）=﹣2sin（x2+x1）sin（x2﹣x1），由x1≠x2，可得sin（x1﹣x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：．12.已知在等比数列{an}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7，则数列{an}的通项公式是an=．参考答案：2n﹣1【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】根据所给的数列首项和前三项之和，整理出关于公比q的一元二次方程，解方程得到两个解，舍去负解，写出数列的通项．【解答】解：∵等比数列{an}中a1=1，a1+a2+a3=7∴a2+a3=6，∴q+q2=6，∴q2+q﹣6=0，∴q=2，q=﹣3（舍去）∴{an}的通项公式是an=2n﹣1故答案为：2n﹣113.已知三棱锥A﹣BOC，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为_________．参考答案：略14.已知

则的值为__________．参考答案：15.等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式

．参考答案：16.若实数满足不等式组则的最小值是

．参考答案：4略17.已知，则函数的零点的个数为______个.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线的参数方程为其中为参数，求直线被曲线截得的弦长．参考答案：（1）ρ=3/（2+cos）；（2）16/5.19.（14分）（2015?东阳市模拟）各项为正的数列{an}满足，，（1）取λ=an+1，求证：数列是等比数列，并求其公比；（2）取λ=2时令，记数列{bn}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项之积为Tn，求证：对任意正整数n，2n+1Tn+Sn为定值．参考答案：考点： 数列递推式；数列的求和．

专题： 等差数列与等比数列．分析： （1）把由λ=an+1代入，整理后求解方程求得．结合an＞0可得为常数，结论得证；（2）把λ=2代入数列递推式，得到2an+1=an（an+2），变形得到，然后分别利用累积法和裂项相消法求得Tn，Sn，代入2n+1Tn+Sn证得答案．解答： 证明：（1）由λ=an+1，得，∴．两边同除可得：，解得．∵an＞0，∴为常数，故数列是等比数列，公比为1；（2）当λ=2时，，得2an+1=an（an+2），∴．∴，又，∴，故2n+1Tn+Sn==2为定值．点评： 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累积法求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，是中档题．20.

已知数列的各项均为正整数，且，设集合。性质1若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。性质2若记，且对于任意，，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。性质3若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；（Ⅰ）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。（Ⅲ）若数列为阶完美数列，试写出集合，并求数列通项公式。参考答案：解：（Ⅰ）；

为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列；

（Ⅱ）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有，即，其中，必有，所以仅存在唯一一组（）使成立，即数列为阶完备数列；

，对，，则，因为，则，所以，即

（Ⅲ）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（Ⅱ）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为。

略21.设关于x的一元二次方程

（1）若a是从—4，—3，—2，—1四个数中任取一个数，b是从1，2，3三个数中任取一个数，求上述方程有实根的概率；

（2）若a是从区间[-4，-1]中任取的一个数，b是从区间[1，3]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。参考答案：22.已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜，不等式f（x1）≥mx2恒成立即为≥m，求得=1﹣x1++2x1lnx1，令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2﹣2x+2lnx；则f（1）=﹣1，f'（1）=2所以切线方程为y+1=2（x﹣1），即为y=2x﹣3．（Ⅱ）令，则2x2﹣2x+a=0当△=4﹣8a≤0，时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点；当△=4﹣8a＞0且a＞0，即0＜a＜时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点；由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，则x1+x2=1，x1=，x