第六章 6.2.3　向量的数乘运算课件教学

第六章

§6.2

平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算学习目标1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.导语一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的数乘运算.课时对点练二、向量的线性运算三、用已知向量表示其他向量四、向量共线定理随堂演练一、向量的数乘运算内容索引向量的数乘运算

一问题1

如图，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍.知识梳理一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个

，这种运算叫做向量的

，记作

，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝

.(2)λa(a≠0)的方向当

时，与a的方向相同；当

时，与a的方向相反.λ>0λ<0向量数乘|λ||a|特别地，当λ＝0时，λa＝

.当λ＝－1时，(－1)a＝－a.0λa(1)数乘向量仍是向量.(2)实数λ与向量不能相加.注意点：

(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反B.当λ＝0时，λa与a是共线向量C.|λa|＝λ|a|D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同例1√√√根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa与a同向，或者都是与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误.λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模.反思感悟

(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是A.－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍B.3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的C.－2a与2a是一对相反向量D.a－b与－(b－a)是一对相反向量跟踪训练1√√√A中，∵－2<0，∴－2a与a方向相反，两向量共线.又|－2a|＝2|a|，∴A正确；B中，∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|；∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|.C中，按照相反向量的定义可以判断正确；D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)为相等向量.∴D不正确.向量的线性运算

二1.数乘运算的运算律设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)＝

.(2)(λ＋μ)a＝

.(3)λ(a＋b)＝

.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的线性运算向量的

、

、

运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝

.知识梳理(λμ)aλa＋μaλa＋λb加减数乘λμ1a±λμ2b

(1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于A.－a

B.－bC.－c

D.以上都不对例2√原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.4b－3a向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.反思感悟

计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.跟踪训练2(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.用已知向量表示其他向量

三例3√因为E是BC的中点，反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量.(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练3√示意图如图所示，向量共线定理

四问题2

如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0)?提示共线，存在.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使

.知识梳理(1)向量共线定理中规定a≠0.(2)λ的值是唯一存在的.注意点：b＝λa例4设a，b是不共线的两个向量.∴A，B，C三点共线.(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.∵A，B，C三点共线，则x＝1＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1.反思感悟(1)证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得

即可.(2)利用向量共线求参数的方法已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解.跟踪训练4A，B，D∴A，B，D三点共线.课堂小结1.知识清单：(1)向量的数乘及运算律.(2)向量共线定理.(3)三点共线的常用结论.2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法.3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量.随堂演练

12341.(多选)下列运算正确的是A.(－3)·2a＝－6a

B.2(a＋b)－(2b－a)＝3aC.(a＋2b)－(2b＋a)＝0D.2(3a－b)＝6a－2b√√√根据向量数乘运算和加减运算规律知A，B，D正确；C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.1234√12344(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a.3.化简4(a－3b)－6(－2b－a)＝________.10a12341234因为A，B，D三点共线，＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，课时对点练

12345678910111213141516基础巩固1.下列说法中正确的是A.λa与a的方向不是相同就是相反B.若a，b共线，则b＝λaC.若|b|＝2|a|，则b＝±2aD.若b＝±2a，则|b|＝2|a|√123456789101112131415162.(多选)下列各式计算正确的有A.(－7)6a＝－42aB.7(a＋b)－8b＝7a＋15bC.a－2b＋a＋2b＝2aD.4(2a＋b)＝8a＋4b√√√ACD正确，B错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.123456789101112131415163.(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是A.m(a－b)＝ma－mb B.(m－n)a＝ma－naC.若ma＝mb，则a＝b

D.若ma＝na，则m＝n√√由向量数乘的运算律知A，B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb，但a不一定等于b，故错误；D中，当a＝0时等式成立，但m不一定等于n，故错误.12345678910111213141516√12345678910111213141516若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线.√∵向量m与向量n共线，∴设m＝λn(λ∈R)，∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1，∵e1与e2不共线，1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415167.已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是_____.由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.123456789101112131415169.计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；12345678910111213141516原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.12345678910111213141516(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.1234567891011121314151610.设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka＋b与8a＋kb的方向相反，求k的值.12345678910111213141516由题意可知存在实数λ使2ka＋b＝λ(8a＋kb)，λ＜0，即2ka＋b＝8λa＋λkb，∵2ka＋b与8a＋kb的方向相反，∴k＝2不符合题意，舍去，∴k＝－2.12345678910111213141516综合运用√12345678910111213141516√12345678910111213141516如图所示.＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形.12345678910111213141516√1234567891011121314