2023新高考数学解析几何压轴题小册子

解析几何压轴题小册子

目录

知识点一：直线设列与韦达定理

类型一：利用韦达定理处理对称表达式

类型二：韦达定理已知一点求另一点

类型三：利用韦达定理获取切点的坐标

知识点二：点的选取与整体代入

类型一：中点弦问题

类型二：圆锥曲线的第三定义

类型三：抛物线“设一知二”技巧

类型四：圆锥曲线的极坐标与参数方程

类型五：整体代入消参

知识点三：向量条件的转化

类型一：利用向量处理线段比例

类型二：利用向量处理三点共线

类型三：利用向量内积转化条件

知识点四：距离条件的转化

类型一：弦长公式

类型二：点到线的距离

类型三：焦半径与过焦弦长

知识点五：面积条件的转化

类型一：三角形面积的计算

类型二：四边形面积的计算

类型三：面积比例的计算

知识点六：对称条件的转化

类型一：关于直线对称的处理

知识点七：角度条件的转化

类型一：利用正切法处理角度问题

类型二：利用向量法处理角度问题

知识点八：切线条件的转化

类型一：判别式为0

类型二：切线与切点弦的结论

知识点九：圆的条件转化

类型一：利用圆的几何性质转化条件

类型二：内切圆问题的处理

类型三：四点共圆问题

知识点十：定值与定点问题

类型一：直接计算的定值定点问题

类型二：先猜后证的定值定点问题

知识点十一：定直线与轨迹问题

类型一：定义法与直接法求解轨迹问题

类型二：相关点法与参数法求解轨迹问题

类型三：与极点极线相关的定直线问题

解析几何知识梳理

知识点一：直线设列与韦达定理

类型一：利用韦达定理处理对称表达式

【例1】（2008福建卷•理）椭圆5+4=1（〃>6>0）的一个焦点是FQO）,。是坐标原点.

ab

设过点尸的直线/交椭圆于A8两点.若直线/绕点厂任意转动，恒有<|AB|2,

求。的取值范围.

【解答】首先将条件+|O3『<|A8『转化为行.无<0,进一步转化为内与+%%<0,

接下来就是计算问题了.

第一步：我们需要考虑直线的设法，因为是过x轴的直线，所以设x=my+l;

反设直线为x=my+l,因为当直线斜率为零时原式显然成立，不用再单独讨论；则联

立结果为（4+4）2y2+当丫+4_1=o,因为焦点F始终在椭圆内部，所以直线始终与椭

a"b~aa~

圆有两焦点，A>0自然成立.

第二步：我们利用韦达定理来计算占超+X%<0；（二次分式，利用4,"机表示）

所以可以直接写出

八2、‘1八2"/

（1+m）（石-1）——厂

士马+>1%=（1+W）必必+m（yt+必）+1=-------------+—,”,+1

（也+1）（也+_L）

//a1b1

第三步：利用不等式求解范围.

我们此时约去分母，可以得到：（1+疗）（二-1）-2口+（4+二）<0,简单整理后得到

a2a2a2b2

/〃2>*染-1,此式恒成立，所以左边取最小值时需成立，即注意到

a2=b2+\,即可求出/>主16,a>.口

22

类型二：韦达定理已知一点求另一点

2

【例2】已知椭圆J/+=V=l（0b>0）,点4（%,%）（%*0）为该椭圆上的定点，直线A8与

ab

直线AC的斜率互为相反数，求证：直线BC的斜率为定值.

【解答】

第1页

第一步：设直线A8的方程为〉=%*-玉,）+丫0,与椭圆联立，利用韦达定理求解另外一

个点的坐标；（利用k,七,%表示）

设A8方程），-%=&（》-%）,与椭圆联立得到

二十与+Wo-^）x+6^fe）i_1：

a2b2b2b2

_2A（何,）W%一七）

利用x,+x2=—产，一即可得到XB=—厂号——天

a2+b2a2+b1

2

_2k（y0-kxa）

从而yB=&（再一玉＞）+%=-----~7^-----/斤+%，

1K

a2+b2

2k（y。+乜）_2k2（y。+5）

同理％=一卢/----%'先=------~7i---+X#+%

1K1K

---+-----1-----

a2b2----------------a2b2

第二步：计算“尤="二比

所以怎，=&_』=/.,最后这步计算由于所有项分母都统一，水到渠成.口

xa

XB—cy（）

类型三：利用韦达定理获取切点的坐标

【例3】（2014浙江卷•理）设椭圆C:0+^=15>6>0）动直

a2b

线/与椭圆只有一个公共点P,且P在第一象限.

（1）己知直线/的斜率为k,用。涉,k表示点尸的坐标；

（2）若过原点。的直线《与/垂直，证明：点P到直线《的距

离最大值为a-b.

【解答】（1）

第一步：设直线y=fcr+〃?与椭圆联立，并令△=（）,得到匕加间的等式.

y=kx+m

设直线/的方程为y=kx+m，从f2,可以解得

F+-=1

第2页

。+”+得》+偌-1)=0,令A=4(*

km

利用韦达定理/+与=--J,得至J,题目要求使用。，"k表示，并

1K.1k

且P在第一象限，消去相得到P（-

•Jb2+(Tk2\Jb2+a2k2

第一步：先讨论最简单的斜率不存在的情况，本题中k=0.

当后=0时，直线4的斜率不存在，此时直线/:y=±6,/,:x=0,此时尸就在直线4上,

距离为0.

第二步：对于一般情形，设/1：x+Ay=0,直接计算P到《的距离.（使用&表达，可能出

现关于上的高次表达式）.

P到4的距离为：

a2kb2k

馍）十@ol\ja2k2+/?2y]a2k2+b2a2-b-a2-b2

I=,.=---------------,“-------------=,,-a-b

Jl+公

4时等号成立•

由均值不等式取等条件k=_.

a

知识点二：点的选取与整体代入

类型一：中点弦问题

22

【例4】（2018全国3卷•理）已知斜率为火的直线/与椭圆C:二r+2v-=1交于两点,

线段AB的中点为

（1）证明：

2

（尤22

生+二=1_

【解答】设A（XQJ,B（X2，M），贝叶*\相减化简可得■・上»=

第3页

m=——，易知中点M在椭圆内，,+<1,代入可得k<——或&>1,又m>0,k<0,

4k4322

综上％<

2

类型二：圆锥曲线的第三定义

［例5］证明椭圆=+4=1的焦点三角形的内心在一个椭圆上.

a2b2

【解答】为证明椭圆的内心轨迹，我们从椭圆的第三定义入手，我们只需要计算出号为M明.

设NMKK=/,IHlF/2,鸟的内切圆半径为r.所以

aBrrrr4r2,

tan—,tan—=--------------=--------------------------------------------------=----------------------------,由

22F}HF2HL+PF、-PF2F\F?-MF、+gF、F；-(MF「MFj

三角形面积公式r=——也些——=❷-,由焦半径公式Mf；-知居=2”，，代入即得：

FXF2+MFY+MF2a+c

aBrr4r2(a+c)2h2

tan—,tan——-----♦-------=-----------------------------=-----------------=-----------

22

22FrHF2HF}F^-(MFt-MF2)4c?-4/xj(67+c)'

所以根据椭圆的第三定义，/在椭圆(”+：)：，=1上口

c2b2c2

类型三：抛物线“设一知二”技巧

【例6】如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(l,2),

A(x,,yJ,8(*2，%)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y+y2的值及直线AB

第4页

的斜率.

【解答】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为V=2*.因为点尸(1,2)在抛物线上，得

22=2pxl,即p=2,故所求抛物线的方程是以，准线方程是x=-l.

(2)设直线PA的斜率为原,，直线P8的斜率为原8

又PA与PB的斜率存在且倾斜角互补—.

故M+2=-(%+2)=>y+丫2=4

所以直线A8的斜率：心8=上&=」一=T•口

々一%乂+%

类型四：圆锥曲线的极坐标与参数方程

【例7】椭圆£+乙=1上两点A,8满足OA_LOB,则。到A8的距离为定值，进而求解

a2h2

SA。”的取值范围•

【解答】由OA_L0B令A(qcos。,？sn6),B(T%sin仇心cos。),代入椭圆方程有：

4cos26dsin20J__cos20sin20

c1c—12)1,

a-b2=%,从二

r；sin20r；cos291sin20cos20r；r；crb「

1'从付a2'b2

由射影定理。到AB的距离d=Jr＞；_1a*

方+方\a2+b2

令tfe[b,a],/(/)=j[].

-205—21||

/+记\

J__2

+±+

f,(x\a-b2t)ta2红」■丁.注意到分子部分是单调增加的，而为

(t)=c-丫7

[a1+b2t)[a2+

b2t}

正，，=户时为负.

第5页

所以当/谭可S.取至隈小为瑞力

当％=4或者。时，取到最大为;浦.口

类型五：整体代入消参

22

【例8】已知点4,8是椭圆C：L+±=i上的两个动点，。为坐标原点，直线04。3与椭

43

圆C的另一交点分别为A，B1,且直线040B的斜率之积等于问四边形ABA优的面积

S是否为定值？请说明理由.

【分析与解答】本题可以设线去处理，但是我们选择设点的话会更加简单.

3得"=-1•

第一步：设&菁，》）,8（犬2，%），由koA^koB=-:

x{x24

第二步：将四边形ABAN分割成四个面积相等的三角形，用$来表示面积，我们

选择。4为底边来计算.

设4（芭，％）,8（々，刈），直线OA:yx-±y=0,点8到04的距离d=军二装,四

W+x；

边形ABA|B]的面积S=45,=210A|d=2，城+xj-一广，-21y{x2-x,y2].

《城+x；

&2

4+y

3一=1

2

互+

第三步：我们利用<4231=1,去计算S=2|弘/一玉为I的值•

2iA=_2

中24

将才与只乘在一起，得到y汶=2（4-X；）（4-X：），结合型1=_3，得到

16x1x24

2（4-X；）（4-X；）=2X；X；，化简得到4+考=4.

1616

将5=2|>'-外力I平方得到S?=4（y；x；-2xjx2y2+♦¥）•

333

进而S?=4［（3--x；）K-2X,X2（--x/2）+x：（3-—x；）］=4［3（x；+x；）］=48,所以S为定

值.口

第6页

知识点三：向量条件的转化

类型一：利用向量处理线段比例

【例9】已知抛物线）/=4x的焦点为居，鸟与耳关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂

足为T）,与抛物线交于不同的两点P,Q,且£户&。=-5.

（1）求点T的坐标.

（2）若以耳，片为焦点的椭圆C过点1,学.

a.求椭圆的标准方程

b.过点鸟作直线/与椭圆交于A,B两点，设“=标,若/U[-2，T，求忸+网的

取值范围.

【解答】⑴由抛物线方程，6（1,0）,则耳（-1,0）.由对称性不妨设叩2.，Q（f,-2〃），

则有用=1+1,2«）,豆=9一1,一2〃）.从不•瓶=-5得到f=2.

（2）a.易得椭圆的标准方程为《+y2=1

2

第一步：反设直线/:彳=妙+1,与椭圆联立利用韦达定理得对称表达式.

2

设A（X“J,B（X2，%），设直线并代入、+y2=1，得方程（F+2）/+2切-1=0,

由韦达定理，y,+y2=—~~—,yty2=—」一;

।“公+2”，2公+2

第二步：将向量条件转化为坐标的比例形式，为了保持对称性考虑!+&

/L

从F\A=AF\B得至I」A=/l,又—+/+2=5+上）,得

%当XXM

=2+-+2er-i,ol.WWO<Jl2<-.

k2+2ZL2J7

第三步：将|源+方|表示为k的函数，利用第二步的结果求范围.

因为包=（百一2,乂）,范=（々—2,%），所以|万+运『=（6|+b2-2）2+（y+%）?

=16.3+—8

心2伙

第7页

171河+河=8,-1）-ye4噂，故忸+邳2,萼.□

令，二G

k2+21692

类型二：利用向量处理三点共线

【例10】（2012北京卷•理）已知曲线6（5）/+（理—2））=8（加€7?）.

（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求机的取值范围；

（2）设胆=4,曲线C与），轴的交点为A,B（点A位于点8上方），直线y=fcc+4与曲

线C交于不同的两点M,N,直线y=l与直线交于点G.求证：A,G,N三点共线.

（88

---->-----

5-mm-2

【解答】（1）原方程可化为一1—+匕•=1,依题得上>0故工<〃?<5.

885-m2

5-tnm-28

----->0

m-2

（2）这里我们采用向量法来证明三点共线，要证明A,G,N三点共线，只需证恁,而共线

即可.利用向量的共线条件，将元=/1由转化为3*（乃-2）+/（%+2）=0,即

4日/2+6（$+x2）=0,由式子的对称性不难想到利用韦达定理来证明.

第一步：设出点坐标，联立方程，写出韦达定理

设"（再，/），%（々，丫2）

联立卜+2y=8,消去得。+2k2）/+i6履+24=0,△=64k2-96>0

y=fcv+4l'

-16k

M+工2=-------------7

121+2&2

k2>-,由韦达定理<

224

百々=-----7

1-1+222

第二步：写出对应向量，根据x,y坐标成比例，列出方程，代入韦达定理验证

恁=丽=（天，必一2）,元=几而可以得到_2）_（7）%=0,

消去y”必得4处9+6（玉+%）=0，代入韦达定理成立，于是4,G,N三点共线.口

第8页

类型三：利用向量内积转化条件

【例11】(2017浙江卷•理)如图，已知抛物线f=y,点A(-；，\，BO,抛物线上

的点P(x,y)(-g<x<I).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围：

(2)求|PQ|.|P川的最大值.

【解答】(1)由于A,P两点坐标已知，所以可用坐标表示直线斜率,设两点坐标为A

1

--

41

2=

所以直线AP的斜率为勤XX1-2---<x<-,所以

+-22

2

—1<kAP<1.

所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).

(2)注意本题中如果直接计算归川与|PQ|都会出现根式，这里我们逆向使用向量的内积公

式，用_记.而来表示归0.|网.

第一步：将向量用坐标表示出来.

依题=(_犬,1,尸片=("I_X,'_工2),所以

\PQ\\PA\=-PA^B=-

第二步：利用工的范围进行最值求解.

注意到彳。后面再求解最值时可以利用均值不等式:

Lx+\x+l-3X+9、

22227

4

取等条件为x=l.或者构造函数求导解决.

第9页

令=+r（x）=L+|j（4-4x）,所以最大值在x=l处取得，最

大值为看口

知识点四：距离条件的转化

类型一：弦长公式

22

【例12】（2016四川卷・文）已知椭圆E:^+£=l（a>6>0）的一个焦点与短轴的两个端

点时正三角形的三个顶点，点P（G,；）在椭圆E上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设不过原点O且斜率为1的直线/与椭圆£交于不同的两点A,8,线段的中点为

2

M,直线OM与椭圆E交于C,。，证明：|脑4卜眼叫二|"。卜|"。|.

【解答】（1）根据条件可得。=病，所以/=4〃，而点尸（百,；）在椭圆E上，所以有

1

*+解得所以椭圆方程为1十八L

（2）首先由中点弦的性质不难发现直线OM的方程为了=-所以我们只需要按照弦长公

式计算出四条线段长（用直线AB的截距旭表示），然后验证题中的等式即可.

第一步：设A8为y=；工+小（加工0）,计算A8的长和M的坐标（相）.

设直线AB方程为y=；x+W0）,设点坐标为A（x，y）,3（%2,%），M（%,九）,联立

X2->[

丁+y=1

直线与椭圆得到4042+〃优+病_]=0,根据韦达定理可得

12

y=—x+m

[2

第10页

再+々=-2见内々=2（4-1）,而方程有两不等实根可得八？-加>0,解得加

根据弦长公式可得\AB\=Q(X|+W4芭々=J10-5〃T所以

心HMB|=JAB(=甘^

11

=一用，+m--m,中点坐标为M

2

第二步：利用两点间距离公式计算眼。卜眼。|（m）.

x22.

•—+y=1«

直线CO方程为y=-gx,联立直线与椭圆,4<=>-x2-1=0,解得x=±Vi,

12

V=——X

2

所以"两点坐标为C（-L6苧0”"（,L一0苧（不妨设点C在左边）.

止匕时阿讣眼。|=3+等一5..立+时2+（_*_£=;弧2_2],因

为"/<2,所以=10丁’=|加4卜例8|.

综上，等式|乂4卜四川=悭。卜阿力|成立.口

类型二：点到线的距离

【例13】（2008浙江卷•理）己知曲线C是到点P和至U

直线y=-3距离相等的点的轨迹，/是过点Q（-l,0）的直线，M

8

是。上（不在/上）的动点；A,8在/上，AM_L/,MBJLx轴

（1）求曲线C的方程

（2）求出直线/的方程，使得雪为常数

侬

满足到点PJL口和到直线y=-2距离相等有,

【解答】（1）设曲线上点坐标为（X,），）,

I28）8

第II页

5,整理可得？=1(炉+..

y+-

-8

故曲线。的方程为y=g(x2+x).

(2)

第一步：先讨论斜率不存在的情况.

当斜率不存在时x=-1,此时8与。重合.题目所求的比值不存在.

第二步：在一般情况下，利用距离公式计算各个线段长.

设直线/方程为尸Mx+1),设M+玉)，则有8(%,%(工0+1)).

\QB\=+1)-0)2+(小+1)2=J「2+1、+1,

](%~+%)-〃(％+1)"+1)(5

r%-k

\Jk2+1\lk2+1

I+(X。+1)2=

k+«25+】

|QA|二J|QM|2一|MA|2二

>Jk2+1

\QB\

第三步：计算后占，寻找斜率k将表达式中的X。消去.

畏=(〃+1)5+1)2.\lk2+1

=(k?+0后,当攵=2时，

■+“卢+1

单雪为定值，g雪=5石，此时直线方程为y=2x+2.

例^^

综上，直线方程为y=2x+2,粤为定值，这个定值为5石.口

第12页

类型三：焦半径与过焦弦长

【例14】（2012江苏卷）如图：已知椭圆二+V=i,A,8为椭圆J

276'

上位于X轴上方两点，且Af；//BK，若|4耳卜忸用=£,求A[■》

的斜率.

【解答】

第一步：设直线A6，BK的方程，与椭圆联立，解出4,B的横坐标.

设直线AFt,BF2的方程分别为my=x+i,my=x-1,点坐标为

A(xl,yl),B(x2,y2)(y1>0,y2>0).

rf\rirj,~~by,2=1z2\2机+J2m~+2

联乂方程,<2'=(6+2)y-2my.-1=0y.=-------：----------

,V7111m2+2

myx=玉+1

lJ5mV/n2+1+y/2(m2+1)

所以|\=a-exi=V2-—-1)=-----------------------------.

V2(刃2+1)-mjm2+1

同理可得

加+2

m2+1+y/2(m2+11V2(〃/+1)-mJ〃/+12ni\lm2+1

所以M/-忸周=--------r—一1

tn+2nr+2m2+22

解得/=2.从图形中我们可以注意到斜率为正时।A用-怛图为正，斜率为负时MG।-忸K|

为负，所以斜率应为正，那么加值也应为正，所以利=0,斜率为工=变.

m2

综上，直线的斜率为YZ.口

2

知识点五：面积条件的转化

类型一：三角形面积的计算

【例15】（2014山东卷•理）已知抛物线Gy2=2px（p>0）的焦点为尸，A为C上异于原

点的任意一点，过点A的直线/交C于另一点8,交x轴的正半轴于点3,且有|E4|=|ED|.

当点A的横坐标为3时，△AOF为正三角形.

（1）求C的方程：

（2）若直线（/〃，且4和C有且只有一个公共点E,

第13页

①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

②AABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)由题意知尸(勺。］.设0(r,0)(f>0),则尸O的中点为(三0,0］.因为

照=|皿，由抛物线的定义知：3+勺卜解得,=3+p或y-3(舍去).由勺巨=3,

解得°=2.所以抛物线C的方程为/=4x.

(2)①要求出AE的直线方程，关键在于求出E的坐标.而题目第一问提示我们，本题采用

设点的思路要好很多.

第一步：设出A的坐标，利用|E4|=|ED|的条件，用A的坐标表示A。的斜率.

由(1)知—(1,0).设4(%,%)(%%40),D(x„,0)(x„>0),因为|FA|=|ED|,贝！

|xD-1|=x0+1,由X">0得出=x0+2,故。(%+2,0).所以/的斜率为

第二步：利用乙与抛物线相切的条件，用A的坐标表示［的方程.和E的坐标.

由于直线4和直线48平行，设直线4的方程为y=-字X+6,

代入抛物线方程得：J+_Ly_妆=0,由题意△=¥：+盘=0,得力=一2.设

%%%%%

44

则由韦达定理力=-3，进而％

■%.%

第三步：用A的坐标表示出直线AE的方程，并找到定点.

4

_—+%.

当火片4时，&郎=&_』=_*_=4^>可得直线AE的方程为：

出-%%一4

巾4

了-%=粤-(》-/),由y：=4x°,整理可得：y=?_(x-l),直线4E恒过点尸(1,0).

%-4%-4

当y：=4时，直线AE的方程为x=I,过点F(l,0).所以直线AE过定点F(l,0).

②

第一步：利用AE过焦点的性质，用A的坐标计算弦长._______________________________

(1A1

由⑴知直线AE过焦点尸(1,0),所以|AE|=|AF|+|五目=(%+1)+—+1=.+—+2.

\^0/X。

第二步：利用韦达定理已知一根A求另一根8,然后计算3到AE的距离.

设直线AE的方程为x=%，+l,因为点4(%,%)在直线AE上，故切=包」.设

X)

直线AB的方程为y-%=-比(x-xj,由于%W0,可得x=-2+2+X。，代

2%

QOQ

入抛物线方程得：9+且丫一8-4%=0.所以%+乂=一三，可求得,=一%-9,

%%%

第14页

4

x,=上+4+4.所以点8到直线酢的距离为：

%

—+x0+4+my0+―-1z、

“/Iyi,J4（%+i）厂i

d=----------/=^---------=-/=—=45+〒

S+45i飙j

第三步：用A的坐标进行面积求解.

则AABE的面积S

等号成立.所以A4BE的面积的最小值为16.口

类型二：四边形面积的计算

【例16】(2016全国1卷•理)设圆f+y2+2x-15=0的圆心为4,直线/过点8(1,0)且

与》轴不重合，/交圆A于C,。两点，过3作4c的平行线交4。于点E.

(1)证明|EA|+|E8|为定值，并写出点E的轨迹方程

(2)设点E的轨迹为曲线G,直线/交G于朋,N两点，过8且与/垂直的直线与圆A交于

P,。两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

【分析与解答】⑴圆方程化为(x+l)2+y=16,圆心坐标为A(-1,0),半径为r=4.

因为EB//AC,所以有ADEB~AD4C,因为AC=AD,所以有EB=E£>,所以

\EA\+\EB\=\EA\+\ED\=r=4，所以|EA|+\EB\为定值4.所以，点E的轨迹为以A,B为焦点，

2。=4的椭圆，方程为二+或=1()中0).因为直线/与X轴不重合，所以点E纵坐标不为

43

零.

(2)因为在四边形MPN。中，存在对角线垂直的情况，所以四边形面积可用公式

S=；/4sine表示，即5,“用2=/阿卜史。|,所以只需要利用弦长公式求解出MN,PQ即可.

注意到P。为圆的弦长，对于这种特殊类型，我们可以用垂径定理减少计算量.

第一步：先讨论斜率不存在或者斜率为0的情形.

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注意到曲线C并不包含＞­=0的情形，所以我们不需要考虑斜率为0的情形；

当斜率不存在时，计算得到四边形面积为12.

第二步：分别就散两条弦长，用斜率表示面积.

设直线/也即直线MN方程为x=，町+1,则直线PQ方程为y=m（x-l）,因为直线/

与X轴不重合，所以m存在且有意义.设点M（玉，%）,N（%,丫2），。（工3,%）,Q（Xq,%）•

先求弦长|PQ|,圆心A到直线尸。的距离为2同，所以弦长

\Jm2+1\Jm2+1

间|=2万二=喔工

yjm2+1

“y—1,21、2

再求弦长，联立直线MN与椭圆，得到＜4+3-=?+§+^y一［=0，

x=my+1',

所以有,+%=--,y•必=--.所以弦长|MN|可用弦长公式，可得

3"+43"+4

I--------1--------I------------；------------12（m2+1）

|MN|=J1+"门x_%|=JI+机2+x）--4yl=3/+4

所以四边形面积可表示为:

病（2）

=^\MN\.\PQ\14,3+412m+1+1

—~・,9=24・，

27/n2+13/+4,3病+4

第三步：进行范围求解.

而3疗+4=3（疗+1）+1,所以表达式可进一步化简为

2+

SMPNQ=24.；m'=24.।1,四边形面积取值范围为SMP%G口2,8百）.□

L

VITT+1

类型三：面积比例的计算

［例17］（2013湖北卷•理）已知椭圆6与G的中心在坐标原点。，长轴均为MN且在X

轴上，短轴长分别为2〃?，2〃（加＞〃），过原点且不与X轴重合的直线/与C-G的四个交点

按纵坐标从大到小依次为A,8,C,。.记;I=',△BDM和^ABN的面积分别为舟和S,.

n

（1）当直线/与y轴重合时，若句=；1邑，求2的值；

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（2）当4变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线/,使得W=/IS2?并说明理由.

2222

【解答】依题意可设椭圆G和G的方程分别为G：与+鼻=1,c2：二+与=1.其中