八年级数学几何培优竞赛专题专题2全等三角形判定方法的选择含答案

专题2全等三角形判定方法的选择

知识解读

三角形全等判定方法的选择

已知条件可供选择的判定方法

一边和这边邻角对应相等选边：只能选角的另一边（S/S）

选角：可选另外两对角中任意一对角（N/S,ASA）

一边及它的对角对应相等只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角（AAS）

两边对应相等选边；只能选剩下的一边（SSS）

选角：只能选两边的夹角（SZS）

两角对应相等只能选边：可选三条边的任意一对对应边CAAS.ASA）

典例示范

一、从变换的角度理解“全等”

1.轴对称变换

例1如图1—2一1,点。在“8上，点E在/1C上，■和CD相交于点0,且

AB=AC,NB=NC,求证：BD=CE.

【提示】从结论"8Q=CE”来看，有两种思路，思路一：通过证明△80。之△COE得到对应边相

等；思路二：通过证明"△/"）名得到然后运用等式性质证得.

从题设看，由"/8=/C,N8=/C”加上公共角可得A4CD注AABE,所以我们考虑使用思

路二给出证明过程.

□1-2-1

【技巧点评】

哪些情况下，可考虑利用全等的性质来证明线段相等和角相等呢？本题中，这个图形很显然是轴对

称图形，而8。和CE也是轴对称的，这时候就可以考虑把5。和CE置于一对轴对称的三角形中，且8。

和CE恰好是一对对应边.

跟踪训练

1.如图1一2—2,已知Z8=OC,AE=DF,CE=FB.求证：AF=DE.

AD

2.旋转变换

例2如图1—2—3,力。是△/8C的中线，在力。及其延长线上截取。凡连接CE,BF,试判

断ABDF与ACDE全等吗?BF与CE有何位置关系?

【提示】若LBDF与ACDE全等,需要寻找三个相等的要素，题中已知一对对顶角相等，由中线可

得到80=8,力口上。E=£>F,即可根据“SNS'得到两个三角形全等.

1-2-3

【技巧点评】

本题是一个简单的全等证明题，本题意在说明图中△80尸与△CDE是中心对称的图形.，其中一个

三角形可以看作另一个三角形绕点。旋转180。得到.从中心对称的角度寻找相等的线段和相等的角，可

以为证明全等提供方便.

跟踪训练

2.如图1—2—4,AB=AE,Nl=/2,NB=/E,求证：BC=ED.

二、线段和角度相等，常考虑证全等

例3如图1—2—5,AC交BD于点O,AC=BD,AB=CD,求证：ZC=ZB.

【提示】要证明NC=N8,可考虑将NC和N8置于一对三角形中，证明两个三角形全等，由于本

题图中△NO8和NCOZ）全等不容易证明，可考虑连接40,证明△NCD与△084全等.

C

D.

U1-2-5

跟踪训练

3.已知，如图1—2—6,ADLDB,BCLCA,AC,8。相交于点。，S.AC=BD,求证：AD—BC.

【技巧点评】

由于全等三角形的对应角相等，对应边相等，因此证明两个三角形全等是证明两个角相等和两条线

段相等常用的方法.

利用全等三角形证明线段相等和角相等的思路：对应边(角)相等一两个三角形全等一线段相等或

者角相等，可以看出全等三角形类似于一个桥梁，建立起角度相等与线段相等、线段相等与另两条相等

的线段、角相等与另一对相等的角之间的联系.

跟踪训练

4.如图1—2—7,A,D,8三点在同一条直线上，/\ADC,△8。。均为等腰三角形，AO,8c的大

小关系和位置关系分别如何？证明你的结论.

三、借助“同角的余角相等”寻找相等的角

例4如图1-2-8,在A/BC中，BDLAC于D,CEL4B于E,厂是8。上一点，BF=AC,G是CE

延长线一点，CG=4B,连接ZG,AF.

(1)求证：UBD=UCE；

(2)探求线段ZF,ZG有什么关系，并证明.

【提示】(1)=18。，乙4CE都和M/C互余，根据“同角的余角相等”可证明乙48。=乙4"；(2)由

已知条件"8尸=ZC"“CG=/8”“乙可证明尸三AGOl,AF,NG恰好是这对全等三

角形的对应边，所以这两条线段的大小关系是相等.又由于NG=N8/凡NG+NG/E=90。，因此

AGAF=90°,所以/尸和/G的位置关系是垂直.

GA

□1-2-8

【技巧点评】

(1)当已知两条边相等，要证明两个三角形全等时，“同角的余角相等“是常用的证明夹角相等的手

段.(2)要证明两直线垂直，证明夹角等于90。也是常用思路，当夹角是由两个角的和组成的时候，常考

虑证明这两个角的和等于90。.

跟踪训练

5.如图1—2—9,在△N8C中，乙4c8=90。，于点。，点E在/C上，CE=BC,过£■点

作ZC的垂线，交的延长线于点尸.求证：AB=FC.

1-2-9

四、从等腰、等边、正方形中获取全等所需的元素

例5如图在Rta/BC中，乙4cB=90。，AC=BC,。为的中点，CELAD,垂足为

E,瓦邛4C交CE的延长线于点?求证：DB=BF.

【提示】要证明。8=8F,由于。为8c的中点，所以8=8。，因此本题可转证8=8尸，将这两

条线段放置到三角形中，可证明△N8三ZkCS尸.

1-2-10

【技巧点评】

本题证明△/CD三△C8E需要的三个要素ZC=8C,乙C4D=£BCF,N/CD=NCB尸都和A/BC

是等腰直角三角形相关.当题目中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等条件时，往往图形中

隐含着一对全等三角形，这对全等三角形的一对对应边往往和等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形

的边长相等有关.

跟踪训练

6.如图1一2—11,在RSN8C中，N8NC=90。，ZC=2N8,点。是NC的中点，将一块锐角为45。

的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与儿。重合，连接8E,EC.试猜想线段BE和

EC的数量关系和位置关系，并证明你的猜想.

□1-2-11

拓展延伸

五、Z4S华丽变全等

例6如图1-2-12,在△48C中，NDBC=NECB=LNA,求证：BE=CD.

2

图1-2-12

【提示】要证明5E=a),一般考虑证明两个三角形全等，而和显然不全等，本题有

三种构造全等的方法，如图1-2-13①②③.

AAA

③

图1-2-13

【技巧点评】

本题△8EA'和△CD尸虽然不全等，但是/BFE=NCFD,加之可证尸B=R2以及待证的8E=CD,

可见这两个三角形虽然不全等，但也有3对相等的要素.构造全等三角形可将小三角形补上一部分，或

者将大三角形截去一部分.

跟踪训练

7.如图1-2-14,0C平分NZ08,点。、E分别在04、08上，点尸在OC上，且有尸。=尸已求证:

/PD0=NPEB.（有三种解法）

图1-2-14

竞赛链接

例7（全国初中数学竞赛浙江赛区题）如图1-2-15,在四边形488中，ZA=ZBCD^90°,

BC=CD,E是4。延长线上一点，若DE=4B=3cm,CE=4《cm,则力。的长是.

【提示】如图1-2-16,连接C4,构造△■B/CgZsOEC,利用勾股定理求出ZE的长.

【技巧点评】

勾股定理一一如果直角三角形的两直角边长分别为人b,斜边长为c,那么“2+62=C2.

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8.（希望杯竞赛题）如图1-2-17,在四边形N8CD中，AB//CD,AD//BC,NC与8。相交于

O,AELBD于E,CFLBD于F,那么图中的全等三角形共有（）

45对8.6对C.7对O.8对

图1-2-17

培优训练

1.如图1-2-18,AC,80交于点£,且/1=N2,/3=/4,求证：AC=BD.

图1-2-18

2.如图1-2-19,已知AB=AC.求证：BF=FC.

A

图1-2-19

3.如图1-2-20,已知△48。、△4E'C都是等边三角形，/凡LCD于尸，///_L8£t于，，问:

(1)851与CD有何数量关系?为什么?

(2)力尸、有何数量关系？

图1-2-20

4.如图1-2-21,△4CD和△8CE都是等腰直角三角形，NACD=NBCE=90。,4E交DC于点F,BD

分别交C£,/E于点G,，试猜测线段ZE和8。的位置关系和数量关系，并说明理由.

图1-2-21

5.将两个全等的直角三角形48。和。BE按图1-2-22①方式摆放，其中/ZCB=NOE8=90。，

//=/。=30。，点E落在Z8上，£＞£t所在直线交/C所在直线于点尸.

(1)求证：AF+EF=DE；

(2)若将图1-2-22①中的绕点8按顺时针方向旋转角a,且0。＜夕＜60。，其他条件不变，请在

图1-2-22②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立.

①②

图1-2-22

6.如图1-2-23,4D是A4BC的高，作NDCE=N4CD,交力。的延长线于点E,点尸是点C关于直线

ZE的对称点，连接NE

(1)求证：CE=AF

(2)在线段48上取一点N,使EN交BC于点、M,连接4W请你判断N8与/M4/

的数量关系，并说明理由.

图1-2-23

直击中考

7.★★(2017江苏常州)如图1-2-24,在四边形488中，点E在/。上，ZBCE=ZACD=90°,

/BAC=ND,BC=CE.

⑴求证：AC=CD；

(2)若NC=ZE,求NDEC的度数.

图1-2-24

8.(凉山州中考题)如图1-2-25,△N8O与△CDO关于。点中心对称，点£、F在线段/C上，且

AF=CE.

求证：FD=BE.

图1-2-25

9.(内江中考题)如图1-2-26,△N8C和△ECD都是等腰直角三角形，ZACB^ZDCE=90°,D为AB边

上一点.求证：AE=BD.

A

图1-2-26

10.(重庆中考题)如图1-2-27,在△Z8C中，N/C8=90。，AC=BC,E为ZC边的中点，过点/作

交BE的延长线于点D.CG平分NZCB交8。于点G,F为4B边上一点,连接CF,且

NACF=NCBG.

求证：(1)JF=CG；

Q)CF=2DE.

图1-2-27

挑战竞赛

11.（希望杯竞赛题）如图1-2-28,在△/8C中，ZACB=60°,NBAC=15。,于。，BEL4c于

E,AD与BE交于H,则/CMD=.

图1-2-28图1-2-29

12.（希望杯竞赛题）如图1-2-29,在△/8C中，NB4c=90。,4D1,BC于D,N8C4的平分线交ZO于

F,交4B于E,FG〃BC交AB于G.AE=4,48=14,则8G=.

专JB2全等三角形内定方法的选界

ZC-ZB.

例1证明，在AACDWAABE中JAC-AB.

ZA-ZA.

••・△ACO2AABE(ASA)•AAD-AE.

VAB-AC.：.AB-AD^AC-J\E.SPBD-CE

例2・l全等.EF〃CE

理由：•・•AD*AXBC的中线,・♦・BD-CD.

又7DE-DF,ZBDF=/CDE・

^BDFi2^CDE<SAS).

AZF-ZDEC.・・・BF〃CE

例3Hi连接AD.

在A4BD和△DCA中.

(AB-DC.

{DB-AC.

IAD-AD.

.,.Z^ABZXsSADCACSSS).

AZB-ZC.

例4(Dit明J；CEJ_AB.・・・NACG+NBAC-90・.

同J1ZABF+NBAC-90・，・・・/ABD=/ACE

(2)tl«AF=^G.AF±AG.

理由Z\ABF和AGCA中.

BF-AC.

«NABD=/ACE.

AB-CG,

・••△ABFgZWCA.

.*.AF=AG.ZC-ZBAF,

VGE1AB.AZC-FZGAE-90\

.♦・NRAF+/GAE=90・・・・・AFJ_AC.ARizMBD^2RiABAC(HL).

例5if明J・・BF〃AC.・・・/CBF+/A(力=180,,：.AD-BC.

7ZACB=90\4.AO4flCH.AO_LBC

KZCBF-ZACB-9O\ZACE+ZDCE«90*.证明】延KAO交8CT点E・在△AM和△(?/>»中.

•；CEJL4D・・・・NCAD+NACE=90，AD-DC.

.•.ZCAD-/DCE.<NADO=NCDB・

在"(力和ACBF中.*lOD^DB.

NACD-NCBF.

♦・••△ADt/△CDB(SAS).

《AC=Cfi.

•；・AO-WC・NaWN/flCD.

NCAD-/BCF.

VZAOP-None.・・・/8E+NOCE-90*.AAO±DC.

AZiACZXaACBF.：.CD=BF,

5.证明；•：FE_LAC于点E./ACB-90・，

・；D为BC的中点.・・・CD・BD.：.DB-BF.

••・/FEC=/ACB=90・.・・・NF+NECF=90。.

例6解"第书加位》如髓国①，在FD上僮取FU=FE.连

又VCDj.AB于点D.・・・NA+NECF=901AZA-ZF.

接(匕.

在△ACBffl^FEC中.

设/DBC=NECB=J.NFBE=y・

VNAq/F.ZACB=ZF£C.CB=EC.

剜NA=2Z・/EFB-NGFC=NDBC+/ECB-2Z.

・•・△ACagZkFEC.AAB=FC.

FB,FC.

：

在ABFE和ACFG中.</BFE=/CFG.6.WBE-EC.B£±EC

EF-GF,理由J.・AC-2AB,AD-CD,・・.AB・AD-CD.

：.△BFaZSCESAS).VZEAO-Z£DA-45\

：.BE-m.ZFCG^ZFBE-y..,.ZEAB*ZEDC-I35*.EA=ED.

T/GDC=/A+/ABD=⑵+y儿ZDCX：=/GFC+・•・△以.△EDC(SAS).

NFICU-W.・•・NAEB=/DEC.EB=EC,

:・NGDC=/DGC,:・8=8,:.BE0m：.ZBEC=NAED=90、ABE=EC.BE.EC.

(其余声肿修必略)7.if明：在OD上截取OF=OE•连接PF.

例75cm提示：连接AC.马比△CD£$22iCBA(SAS).VOC平分/AOB・.・・NAOC-NBOC.

/ACE=90'.因为04寸。£-4々《11.所以AE-8cm.故AD-5cm.:VOP-OP.O£=OF,.,.△POFaAPCJE,

电嚼调"|.,.PE-PF./OFP=NO"・・・・/AFP=/PEH

,:PDnPE"・PF・PD.

1.证明「：FB-CE、：・FB$EF-CEHEF.WBE-CF.

•••/P1XA/PFD.・・・/PDO-/PE8.

AB=DC.

在AABE和△DCF中JAE=DF.(成余两肿制法路)

8.C

BE=CF.

：.AAm2/\DCF«SSS),：・/B=/C辱该册缘；

AB=DC.

&/MBF和ADCE中,4ZB=ZC.I.证明J.・/l・/2・/3・N4.

：・/l+N3=N2+N4,即/DAB=/Cfi/L

\BFHCE,

XAB-BA.Z4-Z3.

.'.△ABF^AIX'E(SAS).AAF-DE.

.•.△DA£fe2ACBA..\BD-AG

2,证明J・・N1=N2.

.2.证明：在△ACDIfl&ABE中.

・・・/l+/HAD2N2+/8AD・BP/HAC=NEAD・

.jAE=AD.

在△MC与zCiEAD中.

♦vZA-ZA.

(NB=NE.

JAB-.AE.AB-AC,

【NBAG=NEAD.:.△ABESZ\ACD<SAS).

・•・△BA0AEAD.・•・*=ED.；・/3/C

3.证明：在RtAABD利RiAB/tC中.又・；AD=AE.AB=AC,

AAB-AD-AC-AE.8PBD=CE.

IAC=BD・在△DBF和AECF中.

v/BFD-/CFE.

BD=CE.

AAS)•

:・BF=FC,

3.1»t(DBE-CD.

•：/DA8=/EACH60'•；・/DACBAE.

又・・・AD=AB・ACEAE・

.'.△DAC^^BAE(SAS)./.HE=CD.

答图

(2)AF=AH.12-3

・.・AD是△ABC的育•点E在AD的延长线匕

△

,.'DAC^ZSfiAE..,.yCD-AF»yBE•AH.AZADC-ZEDC-90*.

又CD=8E,mH.又丁点F是点C关于A£的对称点.

4.解：晴测AE=BD.AEJ_BD.:,FD=DC、

fllftMTiAAC=AF.

VZACD-ZBCT-W.XVZDCE-ZACD.CD-CD.

；・/ACD-NDCEnNBCE+NDCE,即/ACE-/DCB..,.△ACDttAH：D.

•••△ACD和△比£都是等腰且角三角形.•♦・ASCE

；・AC=CD・CE=CB・・••△AC£室八DCB(SAS)•AAF-CE.

Z.AE-BD./CAE-ZCDR(2)HSZB-ZMAF.

・・・NAR>NDFH.・・・NDHF=NA8=90\，AE工BD.理由如FI

5.(1)证明।如答图1-2-1,ttftBF.7ASCE.ZDCE=/ACD.

AAD-DE.

又・・・AE_LMf>.，AMwME..*.ZI-Z2.

•・・/2・/3・1/】-43.

VAC-AF.・・・/4・/ACD.

.,.ZACD-ZENA.AZ4-ZENA.

•••△ABCSZSDBE,・・・/4・/1+NMAF./ENA=/3+/B.

ABC-BE.•'•ZB-ZMAF.

7ZC-ZAEF-90\7.{1》证明IVZ«K«ZACD=90,・・・NBCA=N£TD.

A在ABCF和ABEF中(HL),ZBCA-ZECD.

在和NTD中，/BAC=/D.

(BF-BF.

*BC=BE.BC=C£.

:・△BCR3EF・；・CF=EF,.,.△BCA^AEtD..'.AC-CD.

・

Z.AF-I-EF-AC^DE.(2)”r/AC-AE,••/AEC=/ACE

又、

(2)解i如若图1-2-2.AF4-EF-DE.VZACD-90AC-CD.