山东省潍坊市高密第一职业高级中学2021年高三数学文联考试卷含解析

山东省潍坊市高密第一职业高级中学2021年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数与对数函数的关系．【分析】根据对数函数的性质由“log3a＞log3b”可得a＞b＞0，然后根据指数函数的性质由“（）a＜（）b，可得a＞b，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵a，b∈R，则“log3a＞log3b”∴a＞b＞0，∵“（）a＜（）b，∴a＞b，∴“log3a＞log3b”?“（）a＜（）b，反之则不成立，∴“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b的充分不必要条件，故选A．2.已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件参考答案：B【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型；对应思想；分析法；数系的扩充和复数．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．3.现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为A． B． C． D．参考答案：D考点：古典概型一枚子先后抛掷两次的基本事件有36种，

其中两次出现的点数之和大于点数之积的事件有：（1,1），（1,2）1,3）（1,4），（1,5），（1,6），

（2,1）（3,1），（4,1），（5,1），（6,1）共11种，

所以两次出现的点数之和大于点数之积的概率为：。

故答案为：D4.已知sin(α+)+sinα=-,则cos(α+)的值为 A.- B. C.- D.参考答案：B 本题主要考查三角恒等变换.解答本题时要注意根据两角和的三角公式以及诱导公式,结合角与角之间的关系灵活处理. 因为sin(α+)+sinα=-,所以sin(α+)+sinα=sinα+cosα=sin(α+)=-,所以sin(α+ )=-.因为(α+)-(α+)=,所以cos(α+)=cos(+α+)=-sin(α+)=.故选B. 5.过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点（xA＞xB），则=（）A． B． C．3 D．2参考答案：D【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质x1x2=2，求出x1=2，x2=，然后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则斜率为，sinα=|AB|=x1+x2+p=，∴x1+x2==，又x1x2=2可得x1=2，x2=，∴==2．故选D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．6.已知a=，b=log2，c=log，则(

)A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a参考答案：C考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答： 解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．7.设F是双曲线﹣=1的右焦点，双曲线两渐近线分别为l1，l2，过点F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点，若A，B两点均在x轴上方且|OA|=3，|OB|=5，则双曲线的离心率e为（）A． B．2 C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用勾股定理，可得|AB|=4，设出直线l1：y=x，直线l2：y=﹣x，由直线l1到直线l2的角的正切公式，可得tan∠AOB==，求得b=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：在直角三角形AOB中，|OA|=3，|OB|=5，可得|AB|==4，可得tan∠AOB==，由直线l1：y=x，直线l2：y=﹣x，由直线l1到直线l2的角的正切公式，可得tan∠AOB==，化简可得b=2a，即有e===．故选：C．8.已知等差数列的前项和为，且，为平面内三点，点为平面外任意一点，若，则

（）A、共线B、不共线C、共线与否和点的位置有关D、位置关系不能确定参考答案：A略9.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于轴同侧，若，则等于A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C10.不等式成立的充分不必要条件是(

)A.

B.

C.或

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：312.设函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的范围是

.

参考答案：【知识点】函数的图象解析：当时.图象如下图一,当时.图象如下图二,据图知的图象有三个不同交点,则满足【思路点拨】讨论a的取值范围，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

13.（2009湖南卷文）在的展开式中，的系数为

(用数字作答).参考答案：6解析:，故得的系数为14.设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为__________．参考答案：考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题15.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有

种．参考答案：192略16.计算：=．参考答案：【考点】极限及其运算．【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限．【解答】解：===．故答案为：．17.已知，，则的值为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|（I）解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；证明题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；（II）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：由已知可得：，由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．所以，f（x）≥2的解集为{x|x≥1}；（II）证明：由（Ⅰ）知，|x+2|﹣|x﹣2|≤4，由于0＜y＜1，则=（）[y+（1﹣y）]=2++≥2+2=4，则有．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．19.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．参考答案：【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．20.已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由（一、二、五中必做，其它学校选做）.

参考答案：解析：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4，BD=1，∴∴．即该几何体的体积V为16．

-----------3分（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．-------5分在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．∴．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．------------------------------------------7分解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴，∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.--------------------------------------------------8分取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设.连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵

∴∽

∴∵

∴

∴．-----------------10分∵,∴∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴∵面,面

∴

∴面

∵面ACQ∴．-------------------------------------------------------------------------12分解法2:以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则，∵AQBQ

∴

----------------------------①

∵点Q在ED上，∴存在使得∴-----------②②代入①得，解得∴满足题设的点Q存在，其坐标为21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数

（1）求函数和的解析式；（2）是否存在非负实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）定义，且

①当时，求的解析式；已知下面正确的命题：当时，都有恒成立.②对于给定的正整数，若方程恰有个不同的实数根，确定的取值范围；

若将这些根从小到大排列组成数列，求数列所有项的和.参考答案：解：（1）函数函数

……4分（2），……6分当时，则有恒成立.当时，当且仅当时有恒成立.综上可知当或时，恒成立；………8分（3）①当时，对于任意的正整数，都有故有…13分②由①可知当时，有，根据命题的结论可得，当时，有，故有.因此同理归纳得到，当时，……15分对于给定的正整数，时，解方程得，，要使方程在上恰有个不同的实数根，对于任意，必须恒成立，解得,若将这些根从小到大排列组成数列