数字逻辑电路与计算机系统集成技术课件第1章基础

数字逻辑电路嵌入式开发的硬件基础课程授课教师：解本巨邮箱：手机：授课教材与内容教材：《数字逻辑电路基础与计算机系统集成技术》，解本巨等编著，清华大学出版社理论课授课内容第1章数字逻辑基础：主要讲述逻辑、数字与数制、数字逻辑电路；编码；逻辑代数及基本逻辑运算、复合运算，逻辑运算对应芯片的形式，逻辑代数的5种表示方法，逻辑定律与逻辑规则；卡诺图化简：最小项概念与表示，卡诺图的最小项表示，卡诺图化简的规则与依据，约束项与卡诺图的化简与表示。第2章常用逻辑元件与逻辑门：讲述常用逻辑元件电阻、电容、电感、脉冲发生器、三极管、二极管、发光二极管、运算放大器等元件的功能与特性及应用；讲述与或、非、门的内部设计原理（后面部分因时间关系可能不讲解，同学自己学习）。第3以1位全加器为实例。Protel99se软件设计数字系统，主要适用于目前国内简单的嵌入式设计。每次实验可用3次完成，单班实验，分步设计，现场验收。第4章组合逻辑电路：什么是组合逻辑电路，逻辑电路的分析与设计；常用组合逻辑电路芯片的功能与设计。第5章时序逻辑电路：时序电路定义与表示方法；实现记忆的部件触发器的内部组成及分类；时序电路的分析；时序电路设计；常用时序芯片（元件）—译码器、计数器等的功能及设计。第6章存储器：存储器的原理，RAM，ROM、硬盘、USB、Flash结构与组成原理；目前嵌入式开发选用的内存、flash、ROM外特性介绍。第7章ARM11微处理器：选用型号为S3C6410的三星微处理器芯片，了解其外部引脚特性，平面图与封装设计。第8章接口与外设：主要讲述接口的设计思想；常用计算机外设外部特性与功能，平面图与封装设计，常用接口包括USB、网卡、串口、蓝牙、GPRS、wifi、Gps、北斗星卫星定位芯片、Zigbee、射频、时钟电路、蜂

鸣器、IIS、触摸屏、A/D等。期许与要求课程具有逻辑性，课程的学习不能断开，否则所学一 事无成。善于思考，提出问题，解决问题，课堂可以发表自己 的看法。实验具有实训特性，建议把握每一次参与实践的机会。放弃作弊，放弃抄袭，坚持正能量，做一个真正自我。大学不是来享受，是为了给将来打基础的，良好的学 习计划，才有更有计划、成功的未来。实验现场验收，没有考试，不参加实验就必须补考。第1章数字逻辑基础数字逻辑电路是嵌入式设计与集成电路设计的硬件基础课程，本课程对于计算机系统的设计至关重要，而在授课中我们将在计算机系统设计中使用的元器件及特性逐步展示给大家，给大家提供了未来技术设计的道路，以本课程为基础的设计可能连续培养出硬件设计师、内核设计师、系统设计师、驱动设计师、嵌入式应用设计师等。数字电路的学习相对模拟电路来说是比较简单的，但是它具有逻辑特性，区别于模拟电路的物理特性。关于嵌入式电路的PCB的展示。有ARM11开发板1套，NiosII微处理器对应的开发板1套。本章考试题型有填空、简答、计算和卡诺图化简，其中卡诺图是电路设计的基本方法，固定题型3小题，12分。前言数字电路在这里也称之为数字逻辑电路。以二进制数制的数字形式0、1表示数字化的逻辑常量即条件，按照一定的逻辑规律，推导出逻辑推理的结果常量，可以把逻辑过程用数字逻辑过程表示。针对0、1或者逻辑条件可以定义逻辑变量，从而根据逻辑定律构建逻辑表达式，尝试电路运行过程为该智能逻辑表达过程，电路的每个电压输入、输出设为两种稳定的可能状态，高电平和低电平，每个输入、输出与逻辑表达式的某个变量建立一一对应的关系，从而将逻辑表达式转换为逻辑电路，反之亦然。这可以视为数字逻辑电路的研究过程。电路运行过程即为逻辑表达式的逻辑推理过程或逻辑关系实现。我们需要研究逻辑的概念与逻辑判断过程与方法，表示数字的数制并研究使用二进制表示逻辑的原因，数字逻辑的表达式形式和与数字电路的相互转化过程，数字逻辑电路的物理表现形式—芯片和数字电路系统的设计—集成或嵌入式设计等相关知识。逻辑代数与逻辑公理、定律实现了数字逻辑学科的研究，从而实现了数字逻辑电路的设计、分析和应用过程。1.1逻辑人类的科学研究是在一定条件、事实或已存在成果的基础上进行推导，归纳总结规律的方法。这是否可以称之为逻辑呢？你是否对“逻辑”有一定的认识呢？逻辑是否就是由条件可以看到结果，有因必有果呢？上面关于逻辑的论述是对逻辑的一般性定义，是多维的，那么到底什么是逻辑呢？我们可以从多方面了解逻辑的概念和特征。1.3

电路引入二进制、芯片及集成概念数字电路与逻辑关系对应表示：数字逻辑电路与芯片集成技术是EDA（电子设计）技术的专业基础，他把电路中的正负逻辑电平用二进制数字逻辑“0”或“1”来表示，从而以逻辑代数的形式来描述电路的行为，也可以利用逻辑代数的表达式来构造数字逻辑电路。用“1”代表高电平，“0”表示低电平称为正逻辑表示法；反之，称为负逻辑表示法，本书采用正逻辑表示法。电路分类电路分为模拟电路和数字电路两种。模拟电路中传送的信号为模拟信号，是随着时间连续变化的信号，例如速度、压力、温度、声音等，其采用时间函数表示幅值。模拟电路无法可控地表示电路的数据，由电路本身特性引发，无直观表示性，也容易受到外界环境的干扰。自二进制数和逻辑代数产生以来，人们设计出能够根据稳定的电路输入（条件）得出稳定电路逻辑输出的结果，这就是数字逻辑电路。数字电路中用若干个传送二值“0”和“1”的电路元件组合在一起来表示数据、外界在电路中存储或处理的信息（编码）等，从而把二进制数和逻辑代数与电路对等，形成了开发电路的基本方法。3.芯片根据数字电路输入和输出的条件和结果，为其设置具有二值性的变量，利用逻辑代数相关知识，求出输出与输入变量之间的逻辑表达式，并转换为电路。利用制作电路的设备工艺，将输入输出变量引出做成能够拔插、焊接的金属“插脚”或焊点，从电路集成后形成的具有一定形状的块中引出，电路块即为数字电路芯片，“插脚”称为引脚，作为电路外部特性可以扩展设计更大规模的电路，如图1-1所示。图1-1

具有不同形状和引脚的数字电路芯片4.PCB嵌入式开发板芯片根据需要可以在电子市场购买，根据不同的芯片可以设计出更加强大的电路，并开发为电路板，这称为电路集成。根据集成规模的不同，分为超大规模、大规模和中小规模集成电路。一个计算机系统是以微处理器芯片为核心，辅以存储器、接口电路、外部设备芯片，通过其他辅助电路设计构成的完整的系统。图1-2就是一个利用芯片开发设计实现具有一定电路功能的电路板。图1-2

利用芯片设计的电路板1.2数制与数制转换-2

-m+

k-2

·

R

+

...

+

k-m

·

R（4）指出系数（位）、系数范围、指数、位权表示法、进位原则。i数制概念：一种表示数的方法，常用的为十进制数。数字电路中电路引脚的高低电平表示1和0，因此计算机中只有二进制数。但在程序设计时可以用二、八、十、十六进制数表示。数制推广：将数制推广到任意的R（R≥2）进制数，R进制的表达式为：nii

=-m·

R

-1·

Rn-1

+

...

+

k

·

R1

+

k

·

R0

+

k1

0

-1=

k

·

Rn

+

kn

n-1k

·

R(k

k

...k

k

.k

k

...k

k

)

=n

n-1

1

0

-1

-2

-m+1

-m

R

1.2.1计算机中常用的进位计数值十进制数：十进制数基数R为10，位Ki由0～9表示，采用位权表示法来

表示数据，并且可以展开为多项式的形式，数据运算时坚持逢10进1原则。二进制数：前面的知识我们知道，计算机中的数据都是以二进制数的形式存储的。二进制数基数为2，因此他的位只能由0，1组成。相邻位的进位规则为“逢2进1”。通常在末尾加字母B或下标2来表示数据并区别于其他数制。十六进制数：在表示二进制数据时，由于位数较多，在输入输出、书

写和阅读时均不方便，因此引进八进制数和十六进制数。十六进制数基数为16，由于10～15无法单独表示，他的位由0～9，A（10），B（11），C（12），D（13），E（14），F（15）组成。相邻位的进位规则为

“逢16进1”。通常在末尾加字母H或下标16来表示数据并区别于其他数值。八进制数八进制数基数为8，他的位由数字0～7组成。相邻位的进位规则为“逢8进1”。通常在末尾加字母O或下标8来表示数据并区别于其他数值。将数135、11101101B、9AEFH、36542O展开为多项式形式。1.2.2

数制转换计算机中处理和存储的数据为二进制数，但是在输入输出、书写时也使用十、八、十六进制数，这就需要掌握二进制数与其他进制数之间的数据转换问题。1．二进制数与十进制数之间的相互转换二进制数转换为十进制数根据二进制数展开的多项式，直接按照十进制数的进位原则计算，得出的结果即为十进制数。任意的R进制数转换为十进制数都可采用这种方法。将二进制数1101101B

和01011B转换为十进制数。十进制数转换为二进制数①对于整数部分，采用基数除法取倒余数的方法。②对于小数部分，采用基数乘法取正序整数的方法。③也可以数据拆分为位权表示形式。将十进制数35.12575,68.425转化为二进制数2.二进制数与八、十六进制数之间的转换因为八进制数每位用3位二进制数表示，十六进制数用4位二进制数表示，因此八进制数转化为二进制数只要把每一位数表示为3位二进制数即可，而十六进制数转换为二进制数则把每一位表示为4位二进制数。反之，则要以小数点为中心，向两边每取

3位转换为八进制数，每取4位可转换为十六进制数，不够位需要补位。1）将数据101

1011

1100

1001.1010

100B

转换为八、十六进制数将八进制数3567O转换为二进制数。将十六进制数9FAEH转换为二进制数。1.2.3

二进制算术运算在计算机中，运算的数据是以多个电路输出的0和1排列成二进制数据来表示的，计算机运算是通过二进制电路来计算。数据在计算机中的表示有无符号二进制数和有符号二进制数两种。算术运算也分为无符号二进制运算和有符号二进制运算两种。二进制加法运算规则为逢2进1。1.无符号二进制数的算术运算无符号二进制数的加法加法规则为：0+0=0，0+1=1，1+1=10求10110和10100的和无符号二进制数的减法：减法规则为：1-0=1，1-1=0，0-0=0，10-1=1，其中被减数要大于减数.求1010和0101的差无符号二进制数的乘法运算计算1011和1010的积由计算过程可以看出乘法运算是由左移被乘数和加法运算组成。无符号二进制数的除法运算计算1010和111之商。除法运算由右移被除数与减数运算组成。2.有符号二进制数在计算机中的表示与算术运算数据在计算机中一般是以有符号数来存储的，现代计算机一般是补码计算机，符号位同样参加到运算中去。计算机中，一般把最高位作为符号位，“0”表示为正号，“1”表示为负号。学习补码，需要了解真值、原码、反码的概念。真值是指书写中带符号的二进制数，如-1110.11B，.101B。1）原码表示法用二进制数“0”和“1”分别表示真值X中的“+”和“-”，就得到数据真值对应的原码。计算机中一般用8位二进制数作为表示一个数据的最小单位，称为字节（Byte）。二个字节数据称为一个字（Word），两个字称为双字（DWord）。0是一个特殊实例[]原=00000000B；[-0000000]原=10000000B可以看出，0的原码表示有两种，即有重码。求-63，-0.77525的原码。2）反码表示法正数的反码正数的反码与原码相同。即对于真值X，[X]反=[X]原。负数的反码负数的反码是原码符号位不变，数据位取反。求X=-1011110B和X=-0.1011110B的反码。3）补码表示法如果基数为R，位数为n的带“+”，或“-”的真值N，其补码为(N)补=Rn+N如果原码位数为8位，求X=-37,X=0.125的补码。根据规律，得出补码直接转换过程：正数的补码正数的补码与原码相同。即对于真值X，[X]补=[X]原。负数的补码负数的补码则在其反码的最后一位加1。求-37，-0.125的补码（8位）。4）n位二进制数不同码表示数的范围原码：-(2n-1-1)～+(2n-1-1)反码：-(2n-1-1)～+(2n-1-1)补码：-2n-1～+(2n-1-1)

5）二进制补码的加减运算采用补码形式，符号位参与运算，可以和无符号数一样进行加减乘除的运算，最终都可以采用加法实现运算过程。假设X，Y为两个二进制数的真值，则可得以下表达式：[X+Y]补=[X]

补+[Y]

补[X-Y]补=[X+(-Y)]补=[X]

补+[-Y]

补设X=56，Y=31，试求[X-Y]补6）补码运算的溢出判别根据数据运算规律，两个符号相反的数相加产生结果的位数是不会超过两个加数对应位数的，即不产生溢出。但两个同符号数相加，则符号位可能产生进位。如果运算时最高两位产生的进位不相同，说明符号位不统一，则产生了溢出。例如，试计算-76和-56表示的8位补码数据相加后是否溢出。直接相加判别8位负数补码最小数据为-128，因此，小于-128会产生溢出，-76+（-56）=-132<-128，所以发生溢出。根据公式计算后判别[-76]补=10110100B，[-56]补=11001000B[-76]补+[-56]补=10110100

=101111100B，最高两位进位为10，不相同，所以产生溢出。1.3

计算机中常用编码计算机与外界进行数据输入输出，主要是通过键盘、外部设备获得信息，这些信息并不能直接通过计算机识别，必须在计算机中给予每个信息一个二进制组合，用来作为在计算机中识别他们的标志，而同类信息具有相同的二进制组合规则。这种以一定的编制规则，可以表示数值、字母、符号等外部信息的二进制组合称为二进制编码。而将编码在计算机内再翻译为原信息的过程称为译码。若同类信息为N个，则对他们编码的二进制位数n满足以下条件：2n≥N1.3.1二-十进制编码二—十进制编码就是用4位二进制数来表示1位十进制数中的

0～9这10个数码，简称BCD（Binary

Coded

Decimal）码。4位二进制数共有16种组合，可以从中选择10个编码来表示十进制数的十个数码。表1-1为几种常用的BCD码。用4位自然二进制码中的前10个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421BCD码。可以用来在计算机中表示十进制的数据。2421码的权值依次为2、4、2、1；5421码的权值依次为5、4、2、1；余3码由8421

BCD码加0011得到；余3循环码特点是任何相邻的两个码字，仅有一位二进制位不同，其他位相同。余

3码和余3循环码是无权码，代表一定含义，每一位并不表示本位的权值。参看教材P8页表1-1。1.3.2

格雷码（GRAY

Code）格雷码是电路设计中，卡诺图化简采用的编码规则，是一种无权码。他具有相邻性，即两个相邻代码之间仅有1位取值不同。相邻编码不同数字的位数，称为码距，码距越小，避免错误数码出现的概率越低。格雷码编码规则如下：设某二进制数为BnBn-1

…B1B0，其对应的格雷码为

GnGn-1

…G1G0

，其中：最高位保留即，其他各位利用异或运算（两个二进制位进行异或运算，数据不相同，结果输出为1，否则，输出为0，异或运算符为⊕）求得：（i=0，G1i

，=B2i+1，¯

B…i

，n-2）求110110B的格雷码，已知格雷码为1001001B，求数据。1.3.3

ASCII码人们通过键盘上的字母、符号和数值向计算机发送数据和指令，所有键盘符号用7位二进制数来编码，表示128个十进制数、英文大小写字母、控制符、运算符及特殊符号，称为美国标准信息交换码（American

Standard

Code

for

Information

Interchange），简称ASCII码，如P10表1-3所示，其中一些字符的含义如表1-4所示。在汇编语言、高级语言编程时，这些ASCII编码可以被访问。编码31H～39H代表数字字符“1”～“9”；编码41H～5AH代表大写字母“A”～“H”；编码61H～7AH代表小写字母“a”～“z”；0AH代表换行符；

ODH代表回车符等。对于P10表1-4所示的字符，在使用时可以查看表1-3对应的ASCII码。1.4

逻辑运算与逻辑代数逻辑：逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为0或1，称为逻辑0状态和逻辑1状态。逻辑代数：逻辑代数又称布尔代数，是由英国科学家乔

治·布尔(George·Boole)把数学的形式化方法应用到逻辑学领域而建立起来的一门“应用数学”，是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计电路的数学工具。在逻辑代数中，只有0、1两种逻辑值，有与、或、非3种基本逻辑运算，还有与或、与

非、与或非、异或几种导出逻辑运算。逻辑变量：逻辑代数中的变量称为逻辑变量，可以以字母开头，由字母和数字组成，例如A、B、C、x、y、A1等。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0和1称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。变量通过逻辑关系构成的表达式称为逻辑函数，例如Y=F（A，B，C，…），F为输出函数，A、B、C、…为输入逻辑变量。1.4.1

逻辑运算逻辑关系相当于算术运算中的运算关系，逻辑运算符相当于算术运算中的算术运算符。逻辑代数的基本逻辑运算有：逻辑与（乘）、逻辑或（加）、逻辑非，其他逻辑运算由这三种运算复合而成。1.与运算定义：与逻辑的定义：仅当决定事件（F）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（F）才能发生。表达式为：F（A，B，C,…）=A·B·C·

…式中，小圆点表示书写的与运算符，与运算符可省略。F（A，B，C，…）=ABC…与运算规则0·0=0；

0·1=1·0=0；

1·1=1与运算的逻辑符号任何逻辑运算最终要用一定的逻辑符号（或逻辑符号组成的逻辑电路）表示，逻辑关系才能得到分析和应用，逻辑符号也是开发电路原理图的组成部分。本书采用国际IEEE标准通用电路符号，不再采用国家标准的电路符号。对于与运算表达式F=A·B，其电路符号如图1-3（a）所示。AND2代表与门的符号名称，即2引脚输入的与门，inst是符号化的名称序号标志（元件流水号），是可以修改的。4）与门元件在电路设计中，一般把4个与门集成为1个芯片，常用的有型号为74HC08的与门芯片，其芯片如图1-3（b）所示。芯片上方文字朝上，为芯片正确放置方向，图1-3（c）是为该芯片绘制的平面特性图，指出每个芯片引脚的名称和特性。其中VCC为+5V电源正极引脚，GND为电源负极或接地引脚，剩余引脚为与门的输入和输出，其中A、B为输入引脚，Y为输出引脚，共集成了4个与门。AND2inst图1-3

（

a）二输入变量的与门国际标准符号图1-3

（

b）与门集成芯片图1-3（

c

）平面特

性图2.或门1）定义：或逻辑的定义：当决定事件（F）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（F）就发生。表达式为：F（A，B，C，…）=A+B+C+…式中加号表示书写用的或运算符。或运算规则0+0=0；0+1=1+0=1；1+1=1或运算的逻辑符号对于或运算表达式F=A+B，其电路符号如图1-4所示，在绘制原理图软件中的符号名称为OR2，即2引脚输入的或门，inst为自定义符号名称。

4）或门芯片或门芯片74HC32芯片引脚名称和排列与与门相同，只不过其实现4个或门的功能。OR2inst图1-4

二输入变量的或门国际标准符号3.非门1）定义：非运算指的是逻辑的否定。当决定事件（F）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足时，事件反而发生。表达式为：F（a）

（b）图1-5

非门的国际标准符号=

A2）非运算的运算规则：0=

1

;

1

=

03）绘制原理图时的逻辑符号如图1-5（a）所示，常用的非门芯片称为反相器，比如型号为74HC04的六输入反相器，引脚特性如图1-5（b）所示。NOTinst4.几种常见的逻辑运算与非运算的定义、逻辑表达式及扩展、逻辑符号、引脚特性图及芯片（上网查74HC01）或非运算的定义、逻辑表达式及扩展、逻辑符号、引脚特性图及芯片（上网查74HC02）异或运算的定义、逻辑表达式及扩展、逻辑符号、引脚特性图及芯片（上网查74HC86）同或运算的定义、逻辑表达式及扩展、逻辑符号、引脚特性图及芯片（上网查74HC266）→1.4.2

逻辑代数的表示逻辑函数由上所述，逻辑表达式是由逻辑变量和与、或、非三种运算符连接而构成的式子。在逻辑表达式中，右边的字母称为输入逻辑变量，左边的式子称为输出逻辑变量。如果对应于输入逻辑变量A、B、C、···的一组确定值，输出逻辑变量有唯一确定的值，则称为Y是A、B、C、·

·

·的逻辑函数。记作：Y=F（

A、B、C、·

·

·）；与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且0或1只表示两种不同的状态，没有数量的意义。逻辑函数的表示方法逻辑代数有真值表、逻辑表达式、逻辑（电路、原理）图、时序图、卡诺图五种表示方法。1）真值表真值表是一种能够体现输入变量的各种取值组合和输出变量计算结果情况的表格。以异或门为例说明该表的绘制。

2）逻辑表达式：以异或门为例说明。3）逻辑图逻辑图是利用逻辑门符号来表示逻辑表达式中各变量之间逻辑关系的图形。逻辑图反映了所有输入变量输入后，信息传递并进行相关的逻辑运算，最终得到相应逻辑结果的过程。逻辑图由输入变量（输入引脚），逻辑符号、输出变量（输出引脚）、连线组成。绘图过程采用逻辑关系的先后自左而右绘制逻辑图。这里以异或门为例进行绘制。逻辑图也可称为逻辑电路。电源电路、分离元件、逻辑图、外设控制电路及外设可以绘制为具有一定功能的电路系统，我们通过引脚连线实现他们之间的信息交互，这样的电路图称为电路系统原理图。时序图用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图表示电路的逻辑关系，以异或门为例绘制该波形图。绘制过程中，图中上沿信号为1，下沿信号为0。卡诺图卡诺图是电路化简前常用的一种表示方法，利用格雷码相邻的原则可以消掉一个逻辑因子，相关内容在下一节内容中讲解。1.4.3

逻辑代数定律与化简逻辑代数是1854年问世的，早年用于开关和继电器的分析、化简，随着半导体制造工艺和集成技术的发展，各种规模的集成电路不断出现并进入市场，而逻辑代数正是通过对芯片外特性和系统性能进行分析成为实现现代数字逻

辑电路和现代计算机系统设计不可缺少的数学工具。逻辑代数具有一定的公式、定律和规则，用他们对逻辑表达式进行处理，可以完成对逻辑电路的化简、分析、设计，表达电路意图等。1.逻辑代数的基本定律：1）0-1律：数值0、1与变量的与、或运算。重叠律：变量自身的与或运算。互补律：变量与反变量之间的与或运算。自补律：指变量的非非运算。结合律：3个变量两两组合的“与”或者“或”运算，不影响运算的结果。交换律：两个变量之间“与”或者“或”运算位置互换，不影响运算的结果。分配律：3个变量的与或混合运算重新分配。先或后与先与后或8）反演律：摩根定律，对应后面所述的反演规则。9）吸收律：A+A·B=A；A·(A+B)=A10）冗余律：AB+AC

+BC

=AB+ACA

+

AB

=

A

+

B(A+B)(A

+C)(B+C)=(A+B)(A

+C)以上定律的证明可以采用真值表形式，把输入变量的取值组合一一列出，然右两边表达式的值，如果都相等，则定律成立，例如摩根定律。后证求明：出左式左=一些定律可以利用其他定律来证明，试证明：AB

+

A

C

+

BC

=

AB

+

A

C

+

(

A

+

A

)

BC=

AB

+

A

C

+

ABC

+

A

BC=

AB

(1

+

C

)

+

A

C

(1

+

B

)=

AB

+

A

C这个定律在以后化简逻辑函数中通过添加或吸收多余项来实现。2.逻辑规则逻辑规则是逻辑运算中运算规则。代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成

“＋”，“＋”换成“··”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数（或称补函数）。这个规则称为反演规则。对偶规则：对于任何一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到的表达式称为Y

的对偶式，记做Y′。3.逻辑代数的定律化简法简Y表示的表达式：本书主要讲解数字逻辑电路设计、分析及逻辑电路应用。数字逻辑电路在设计过程中需要得出逻辑表达式，并转换为逻辑图或逻辑电路原理图。电路对应的逻辑表达式不一定是最简表达式，但我们仍需要对逻辑表达式进行化简，利用化简后的逻辑表达式构成的逻辑电路使用的器件成本最低，提高了数字系统的可靠性。最简表达式如与、或、非、与非、或非、与或非、或与非、异或等。运用基本公式和常用公式来化简逻辑函数的方法，主要有以下几种：1）并项法利用公式A+A=1

，将两项合并为一项，并消去一个变量。利用分配率，化Y

=

ABC

+

ABC

+

B

C=

(

A

+

A

)BC

+

B

C=

BC

+

B

C

=

B(C

+

C

)

=

B2）吸收法（1）利用公式A+AB＝A，消去多余的项。化简Y表示的表达式：Y

=

AB

+

ABCD

(E

+

F)

=

AB利用摩根定律和吸收法，化简Y表示的表达式：Y

=A

+B

+CD

+（A2）D利B用公=式A

+BCD

+AD

+B=

(A

+

AD)

+

(B

+

BCD)

=

A

+

B（2）利用公式

A

+

AB

=

A

+，B消去多余的变量。化简Y表示的表达式：Y

=

AB+A

C+

B

C=

AB+(

A+

B

)

C=

AB+ABC=

AB+C3）配项法（1）利用公式A

=

A(B+

B)为某一项配上其所缺的变量，以便用其他方法进行化简。化简Y表示的表达式：Y

=

A

B

+

B

C

+

B

C

+

A

B=

A

B

+

B

C

+

(

A

+

A

)

B

C

+

A

B

(

C

+

C)=

A

B

+

B

C

+

A

B

C

+

A

BC

+

A

BC

+

A

B

C=

A

B

(1

+

C

)

+

B

C

(1

+

A

)

+

A

C

(

B

+

B

)=

A

B

+

B

C

+

A

C（2）利用公式A+A=A，为某项配上其所能合并的项。化简Y表示的表达式：Y=ABC+ABC

+ABC+ABC=(ABC+ABC)

+(ABC+ABC)

+(ABC+ABC)=AB+AC+BC4）消去冗余项法利用冗余律

AB+AC+BC=AB+AC

，将冗余项BC消去。化简Y表示的表达式：Y

=

AB

+

AC

+

ADE+

CD=

AB

+(AC

+

CD

+

ADE)=

AB

+

AC

+

CD1.5

逻辑代数的卡诺图化简方法利用公式法化简可以使逻辑函数变为较为简单的形式，但得到的逻辑表达式是否为最简很难判断，使用卡诺图化简可以很好地解决这个问题。1.5.1

最小项的定义和性质如果已知某最小项取值为000，则其为逻辑函数有效项，可以用（2）其他有效项的表示和与取值具有相同的一一对应关系。一般n个变量的最小项应该有2n个。2.最小项的表示方法通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：1.最小项定义如果一个函数的某个与运算项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项。（1）

ABC

：把ABC=000代入最小项，输出为1，表示此项为逻辑函数有效项；反之，表AB示C

。ABCm0m1m2m3m4m5m6m70001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001最小项的性质为了分析最小项的性质，下面列出3个变量所有最小项的真值表，如下表所示。观察该表，可得出最小项的下列性质：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。对于输入变量的任意一组取值，任意两个不同的最小项的乘积必为0。对于输入变量的任意一组取值，全部最小项的和必为1。1.5.2

逻辑函数的最小项表达式转换为最小项和的形式：1.利用逻辑函数的基本公式与定律，可以把任意逻辑函数化成若干个最小项之和的形式，称为最小项表达式。基本方法采用配项法，对于某与项中没有出现的变量因子，采用公式A

+A

=1

和分配律展开成最小项表达式。把Y表达式=

ABC

+

ABC

+

ABC

+

ABC

+

ABC=

m0

+

m1

+

m2

+

m3

+

m7=

∑

m(0,1,2,3,7)=

A(B

+

B

)(C

+

C

)

+(

A

+

A)BC=ABC

+ABC

+ABC

+ABC

+ABC

+ABC

数的真值表，则只Y

=

A

+

BC∑

m(0,1,2,3,7)是Y对应的最小项之和的简化表示形式。2.如果列出了函要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。如右表所示。ABCY最小项0000m00011m10101m20111m31000m41011m51100m61110m7根据真值表，列出Y对应的最小项表达式：Y

=

m1

+

m2

+

m3

+

m5

=

∑

m(1,2,3,5)=

ABC

+

ABC

+

ABC

+

ABC将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。1.5.3

用卡诺图表示逻辑函数1.卡诺图的构成根据最小项和其取值一一对应的特点，可以利用数值取值组合表示最小项（输入）。将逻辑函数或真值表中的最小项重新排列为矩阵形式，在矩阵的横方向和纵方向排列所有逻辑输入变量的取值，取值按照格雷码原则排列，横方向和纵方向交叉的单元格内填入最小项在函数中的输出值，这样构成的图形就是卡诺图。三变量卡诺图如下图所示。三变量卡诺图输入变量为ABC，A的取值在纵向按格雷码排列，保证相邻的项只有1位不同，BC的取值在横向按格雷码排列，当A=0，BC=00，即

ABC=000时，在交叉处的方格应该填入m0对应的逻辑输出值，真值表为1则填

1，或逻辑表达式存在的最小项填1，其他填入0。2．卡诺图的特点卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中是相邻的。相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项。可利用分配律和A

+A

=1

消掉互为反变量的因子，就是两个相邻项消掉一个因子，这也是卡诺图化简的基本依据。下图为四变量卡诺图说明相邻项的组合。Y

=

AB

+

BC

+

AC

=

AB(C

+

C

)

+(

A

+

A)BC

+

A(B

+

B

)C=

ABC

+

ABC

+

ABC

+

ABC=

m(3,5,6,7)00100111m0项的输入因子AB取值为00，按照格雷码原则，他与AB=01，AB=10取值对

应的m4，m8为相邻项；因子CD取值为00，按照格雷码原则，他与CD=01，CD=10取值对应的m1，m2为相邻项，共有4个相邻项。可以按照上图标出相邻项。靠在一起的用椭圆圈在一起，比如m0和m1，没有靠在一起的相邻项用相同的标志标出，比如m0和m8，m0和m2。其他mi项对应的相邻项用同样方法找出。3．逻辑函数在卡诺图中的表示将逻辑函数表达式化成最小项表达式，将表达式中出现的最小项按照编号在对应的卡诺图方格中填“1”，其余填“0”，就得到了逻辑函数的卡诺图形式。将Y表示的函数用卡诺图表示出来，如右图所示。Y

BC00

01

1110A01如果要求函数Y的反函数，则对Y中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。也可以找出反函数的最小项，剩下的就是Y对应的最小项。已知Y的表达式如下所示，试用卡诺图表示。从上式看出，其不是与或表达形式，要采用分配律展开才能转换为最小项表达式。但是，观察表达式，如果采用摩根定律，可以直接将上述表达式转换为与或表达式。则填充卡诺图，如下图所示：Y

=

(

A

+

B

+

C

+

D)(

A

+

B

+

C

+

D)(

A

+

B

+

C

+

D)

(

A

+

B

+

C

+

D)(

A

+

B

+

C

+

D)Y

=

ABCD

+

ABCD

+

ABCD

+

ABCD

+

ABCD=

∑

m(0,6,10,13,15)Y

=

m(1,2,3,4,5,7,8,9,11,12,14)在学习卡诺图化简后，可利用卡诺图相邻项的性质反向构造逻辑函数反函数的卡诺图。1.5.4

卡诺图化简1．卡诺图化简的依据在卡诺图中，如果有2n个值为1的相邻方格可以组成一个矩形，则这些最小项可以合并，合并的结果是消去n个取值不同的变量，保留相同的变量。（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留相同因子）。相邻情况可以参看下图。图中m0和m1为相邻项，只有因子D取值不同，D项被消掉，剩余共同因子ABC=000，因此两项化简后得到结果为

。ABCm0和m8也为相邻项，只有因子A取值不同，A项被消掉，剩余共同因子

BCD=000，因此两项化简后得到结果为BCD

。（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。共有以下几种情况，在1列或1行上的相邻的四个相邻项；靠在一起组成正方形的4个相邻项，在图中对称的两个二相邻项，卡诺图上四个角上的相邻项。如图1-16表示四变量卡诺图中四相邻项的情况。在下图（a）中，第1横行的4个相邻项CD组合取值不同，CD被消掉，AB=00，该项得到最简表达式AB

。第1列的4个相邻项AB组合取值不同，AB被消掉，CD=00，该项得到最简表达式CD

。第1行和第2行中间四相邻项BC组合取值不同，BC被消掉，AD=01，该项得到最简表达式AD

。第1行和第4行中间四相邻项AC组合取值不同，AC被消掉，BD=01，该项得到最简表达式BD

。函数F等于4项之和，即：F

=

AB

+

CD

+

AD

+

BD下图（b）四相邻项在四个角上，AC取值不同，BD=00，所以化简得到BD（a）四相邻项情况1

（b）四相邻项情况2图

四相邻项的情况（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。8相邻项的情况如下图所示。（a）八相邻项情况1

（b）八相邻项情况2图

八相邻项的情况上面两行圈在一起的八项只有A相同，A=0，化简得A左边两列圈在一起的八项只有C相同，C=0，化简得C横向圈在一起的八项只有B相同，B=0，化简得B（b）竖向圈在一起的八项只有D相同，D=0，化简得D2．卡诺图化简（1）用卡诺图化简逻辑函数的步骤①根据最小项表达式、逻辑函数、真值表填写卡诺图（1或0）。②按最小项合并规则合并最小项。圈最大原则：先找最大的2n个相邻方格，依次递减，最后圈没有相邻方格的独立小方格，一个小方格可以重复使用。圈最少原则：用最少的圈覆盖所有为1的小方格。③将相邻项合并后的表达式相加。（2）已知最小项表达式的卡诺图化简已知最小项表达式为：F(A,B,C,D)=m(0,2,3,7,8,10,11,13,15)①填写卡诺图，并画出相邻项，如下图所示图根据最小项表达式填充的卡诺图②求各相邻项合并后的表达四个角的相邻项消掉2个变量，表达式为BD第3列4相邻项消掉2个变量，表达式为CD。第3行2相邻项消掉1个变量，表达式为ABD。③将相邻项合并后的表达式相加F

=

CD

+

BD

+

ABD（3）已知逻辑函数的卡诺图化简①找出逻辑函数每项对应的最小项，填入卡诺图基本思想：逻辑函数每一项少了几个变量，就把他对应的相邻项填到卡诺图中去。比如四个变量A、B、C、D，逻辑函数某项为AD，少了BC两个变量，如果化简，是对应4个相邻项的，AD=11，则对应的4相邻项

ABCD=1001，1011，1101,1111，把对应项在卡诺图中填1即可。函数如下：F(A,B,C,D)=ABCD

+ABCD

+AB

+AD根据基本思想填充卡诺图，并画出相邻项，如下图（a）所示。图（a）已知逻辑函数填充的卡诺图②求各相邻项合并后的表达式图中第2行只有1项，无相邻项，得ABCD图中第1列和第4列4相邻项化简得AD图中最后一行4相邻项化简得AB图中左边两列对应的4相邻项化简得ACF

=

AB

+

AC

+

AD

+

ABCD③将相邻项合并后的表达式相加4）根据真值表进行卡诺图化简这是进行电路设计的基本方法。①根据真值表的输出值填充卡诺图，真值表如下表所示ABCY最小项0000m00011m10101m20111m31000m41011m51100m61110m7填充卡诺图如下图，并画出相邻项。②求各相邻项合并后的表达式图中列对应的相邻项化简得BC图中行对应的相邻项化简得AB③将相邻项合并后的表达式相加F

=BC

+AB3．带无关项的逻辑函数化简无关项是指函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取

值所对应的最小项，也叫做约束项或无关项。无关项用∑d

(10,11,12,13,14,15)形式来表示，式中表示输入变量取值10～15对应的最小项为无关项。在卡诺图中