2023学年完整公开课版幂函数

2.3幂函数高一数学人教A版必修一执教人：李冬单位：涟源一中我们先看几个具体问题:1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付y=_______元。ｙ是关于ｘ的函数；2.如果正方形的边长为ｘ，面积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;y=x

y=x23.如果正方体的棱长为ｘ,正方体的体积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;4.如果一个正方形场地的面积为ｘ,这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;5.如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数.

这些具有共同特征的函数就是这节课我们要学习的幂函数让我们进入本节的学习！(这张幻灯片不需要投出，故设为隐藏，）我们已经明确了上述问题所涉及的函数关系，你能找出它们有什么共同的特征吗？(1)(2)(3)(4)(5)（1）都是以自变量x为底数；（2）指数为常数；（3）幂的系数为1;x的系数为1（4）只有一项；（5）都是形如的函数探究1：一般地,函数

叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.

中前面的系数是1，后面没有其他项.【归纳总结】：幂函数的定义___幂函数与指数函数的区别:自变量在底数位置；指数为常数.自变量在指数位置；底数为常数.判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看未知数x是指数还是底数指数函数幂函数幂函数与指数函数的对比例1.下列函数中，哪几个函数是幂函数？答案:(1)（6）【变式练习】探究2：在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：

xy在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象O观察并找出各函数图象的共同点常见的幂函数的性质函数性质y=xy=x2y=x3定义域值域奇偶性单调性过定点公共点RR[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}RR[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}奇偶奇奇非奇非偶增x∈[0,+∞)时，增x∈(-∞,0]时，减增增x∈(0,+∞)时，减x∈(-∞,0)时，减(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)特征(1,1)【提升总结】常见幂函数的特征xyO（1，1）（1）图象都经过点_________（1，1）α为奇数时,幂函数为

,α为偶数时,幂函数为

。在第一象限内，a>0,在[0,+∞)上为

;a<0,在(0,+∞)上为

.

幂函数的图像在x=1的右侧，a的值越小，图像越低。

幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，必出现在

限内，一定不会出现在

限内;x=1

奇函数偶函数增函数减函数第一象第四象【即时训练】

解:设f(x)=xα,将代入,得总结:

理解并掌握形如y=xα的形式就是幂函数。

例2:已知幂函数的图象过点,试求出此函数的解析式.例3.证明幂函数在上是增函数.证明：任取则因为所以即幂函数在上是增函数.掌握证明函数单调性的方法和基本模式.注意：幂函数定义五个特殊幂函数图象基本性质幂函数y=xα(α为常数）α>0α<0性质幂函数的图像在x=1的右侧，a的值越小，图像越低。（1）图象过点（0，0）和点（1，1）（1）图象都过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在（0，+∞)上是增函数（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减少，即在（0,+∞)上是减函数（4）α是奇数时，幂函数为奇函数；

α是偶数时，幂函数是偶函数.（5）幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，必出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内为你的终极目标而努力，你内在的意念是外在事物成功的关键，专注在目标上，全神贯注，你才会所向披靡。达标检测2.选做题：教材82页复习参考题A组第10题。类型三:幂值大小的比较问题【典例3】比较大小:(1)(2)(-1.2)3,(-1.25)3.(3)5.25-1,5.26-1,5.26-2.【解题指南】幂值比较大小,底数相同指数不同时,用指数函数的单调性;底数不同指数相同时,用幂函数的性质.【解析】(1)因为函数y=在(0,+∞)上是增函数,且1.5<1.7,所以

(2)因为函数y=x3在R上是增函数,且-1.2>-1.25,所以(-1.2)3>(-1.25)3.(3)因为函数y=5.26x是增函数,

且-1>-2,所以5.26-1>5.26-2.又y=x-1在(0,+∞)是减函数,

且5.25<5.26,故5.25-1>5.26-1,综上所述,5.25-1>5.26-1>5.26-2.【规律总结】比较幂值大小的三种思路(1)若指数相同,底数不同,则考虑幂函数.(2)若指数不同,底数相同,则考虑指数函数.(3)若指数与底数都不同,则考虑插入中间数,使这个数的底数与所比较数的一个底数相同,指数与另一个数的指数相同,那么这个数就介于所比较的两数之间,进而比较大小.【巩固训练】比较下列各组数中两个数的大小:【解析】(1)因为幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,(3)因为函数为减函数，又因为函数在(0,+∞)上是增函数，且【错解分析】CCACC6.幂函数图象过点(2,4),则它的单调增区间是________.【解析】设幂函数f（x）=，则=4，解得a=2，