高中数学习题课有关球的综合问题学案新人教A版必修第二册

习题课有关球的综合问题题型探究·课堂解透——强化创新性题型1与球有关的组合体的表面积与体积例1[2022·湖南衡阳高一期末]灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球冠)．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积S＝2πRh.已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为()A.2090πcm2B．2180πcm2C．2340πcm2D．2430πcm2题后师说求组合体的表面积与体积，关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，然后由相应几何体的表面积与体积相加或相减得出．需要注意，组合体的表面积并不是简单几何体的表面积的和，因为其接合部分并不裸露在表面．巩固训练1唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143πR2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则V2V题型2球的接、切问题例2(1)[2022·广东梅州高一期末]已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比为()A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3(2)[2022·山东潍坊高一期末]已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为________．题后师说与球的接、切问题的解题策略巩固训练2(1)[2022·福建福州高一期末]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，它的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为()A．2πB．3πC．4πD．5π(2)[2022·江苏镇江高一期末]一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为24π的球面上，则该四面体的体积为________．习题课有关球的综合问题题型探究·课堂解透例1解析：由题意得R2－46-622＝152，得R＝25(cm)，h＝25－所以两个球冠的表面积之和为2S＝4πRh＝500π(cm2)，灯笼中间球面的表面积为4πR2－500π＝2000π(cm2)．因为上下两个圆柱的侧面积之和为2×30π×3＝180π(cm2)，所以围成该灯笼所需布料的面积为2000π＋180π＝2180π(cm2)．故选B.答案：B巩固训练1解析：设酒杯上部圆柱的高为h，依题意得，2πR2＋2πRh＝143πR2，解得h＝43则V1＝πR2h＝4π3R3，V2＝2π所以V2V1答案：1例2解析：(1)由题意可知，设圆锥的母线长为l，半径为r，则因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，所以12×2πr×l＝12πl2，解得圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设内切球半径为R1，设圆锥的一个轴截面为△PAB，如图所示则△PAB内切圆的半径为圆锥内切球的半径，在△PAB中，PA＝PB＝l，C为AB的中点，AB＝2r＝l，所以△PAB为等边三角形，则12·PA·PB·sin60°＝12R1(PA＋PB＋AB)，即12×l×l×32＝12R1(l＋l＋2r)，解得R所以圆锥内半径最大的球的表面积为S1＝4πR12＝4π又△PAB外接圆的直径为2R2＝lsin60°＝所以圆锥的外接球的半径R2＝33l所以圆锥外接球的表面积为S2＝4πR22＝4π所以S1S2＝13π(2)因为正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长AB＝1，侧棱长AA1＝2，所以底面△ABC外接圆的半径r＝12sin60设正三棱柱ABC­A1B1C1外接球的半径为R，则(2R)2＝2r2+AA12＝163所以外接球的表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝16π答案：(1)C(2)16巩固训练2解析：(1)依题意知正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为R，所以(2R)2＝12＋12＋12＝3，即4R2＝3，所以外接球的表面积S＝4πR2＝3π，故选B.(2)设正四面体的棱长为a，外接球半径为R，如图正四面体ABCD中，E为CD的中点，M为△BCD的中心，连接AM，则AM⊥平面BCD，O为正四面体ABCD外接球的球心，连接OB，则BM＝23BE＝23×32所以AM＝AB2-BM2＝a因为正四面体外接球的表面积为24π，所以4πR2＝24π，得R＝6，所以AO＝OB＝6，所以OM＝AM－OA