湖南省永州市第十三中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析

湖南省永州市第十三中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆上，于点，于点，设，，通过比较与的大小可以完成的无字证明为A.

B.C.

D.当时，参考答案：C由射影定理可知，即由得，可知选C.2.已知集合,若，则（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C3.已知函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，e] C． D．参考答案：D【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】由题意可知f（x）=﹣g（x）有解，即y=lnx与y=ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围．【解答】解：函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，∴f（x）=﹣g（x）有解，∴lnx﹣x3=﹣x3+ax，∴lnx=ax，在（0，+∞）有解，分别设y=lnx，y=ax，若y=ax为y=lnx的切线，∴y′=，设切点为（x0，y0），∴a=，ax0=lnx0，∴x0=e，∴a=，结合图象可知，a≤故选：D．4.某种运动繁殖量（只）与时间（年）的关系为，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到A.200只 B.300只 C.400只 D.500只参考答案：A5.下列说法中，正确的是（

）A.命题“若则”的逆命题为真命题B.若命题“或”为真命题”，则命题和命题均为真命题C.“”是“”的充分不必要条件D.命题“”的否定是“”参考答案：C略6.（2016?江西模拟）某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：不妨令该函数解析式为y=Asin（ωx+?），由图知A=1，=，于是，即，因是函数减时经过的零点，于是，k∈Z，所以?可以是，故选：C．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于基本知识的考查．7.已知抛物线，过原点的动直线交抛物线于、两点，是的中点，设动点，则的最大值是（

）A． B． C．

D．参考答案：A8.设为向量，则“”是“”(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C9.斜率为2的直线l过双曲线（，）的右焦点，且与双曲线的左右两支分別相交，则双曲线的离心率e的取值范固是（

）A． B．C． D．参考答案：D依题意，结合图形分析可知双曲线的一条渐近线的斜率必大于，即，因此该双曲线的离心率．故选D．10.若变量满足约束条件，，则取最小值时，二项展开式中的常数项为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，，则

.参考答案：.12.习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略.为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_____.参考答案：360【分析】方法1：由题意，分四种情况分类讨论，（1）甲校安排1名教师；（2）甲校安排2名教师；（3）甲校安排3名教师；（4）甲校安排4名教师，再由分类计数原理，即可求解；方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，分别求解，再由分类计数原理，即可求解.【详解】方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：（1）甲校安排1名教师，分配方案种数有；（2）甲校安排2名教师，分配方案种数有；（3）甲校安排3名教师，分配方案种数有；（4）甲校安排4名教师，分配方案种数有；由分类计数原理，可得共有（种）分配方案.方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，（1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种，其余5名分成一人组和四人组有种，共（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有（种），则第一种情况共有（种）；（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有（种），李老师分配到三人组有（种），李老师分配到两人组有（种），所以第二种情况共有（种）；（3）对于第三种情况，共有（种）；综上所述，共有（种）分配方案.【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13.已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，则棱锥的体积为____________.参考答案：14.已知，且为第二象限角，则的值为

.

参考答案：略15.过原点且倾斜角为的直线被圆所截的弦长为_________参考答案：略16.设点满足且，则的最大值为

.参考答案：517.若，则的最小值为．参考答案：由得，因为，所以，根据均值定理得，当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为1.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可性相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作。（Ⅰ）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；（Ⅱ）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率．参考答案：(1)X34567P(2)记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件为C，则

略19.如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．参考答案：考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA?DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA?DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．20.参数方程选讲．

已知平面直角坐标系xoy．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．

(I)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；

(Ⅱ)若Q为曲线c上的动点，求PQ中点M到直线（t为参数）距离的最小值．参考答案：略21.(本小题满分分)如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.（1）证明:;（2）证明:平面;

（3）求二面角的正弦值.参考答案：解:证明(1)证法一:由题设知,,又

平面,平面,

平面,平面

.

…………1分又四边形为正方形,为的中点,

…………2分,平面,平面平面

…………3分又平面

…………4分.

…………5分证法二:(向量法)以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.…………1分于是,…………2分

…………3分

…………4分.

…………5分(2)证法一:连接

…………6分由题意知,点分别为和的中点,.

…………7分又平面,平面,

…………8分平面.

…………9分证法二:取中点,连,而

分别为与的中点,

平面,平面

平面,

同理可证平面

…………6分又

平面平面.

…………7分平面，

…………8分平面.

…………9分

证法三(向量法):以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是,平面向量是平面的一个法向量

…………6分

…………7分又平面

…………8分平面

…

ks5u……9分(3)解法一:以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是,

…………10分由(1)知是平面的一个法向量,.

…………11分设平面的法向量为,

…………12分设向量和向量的夹角为,则

…………13分二面角的的正弦值为

…………14分解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,,都在同一平面上.易证,,平面,平面,,又平面.取中点,连,分别是的中点,平面,

…………10分且为垂足,即平面,过点作于,过作交于,连,则即是所求二面角的补角.

…………11分在中,,,在中，又在中，

…………12分=

…………13分所求二面角的正弦值为

…14分22.如图，在△ABC中，AB=2，cos2B+5cosB﹣=0，且点D在线段BC上．（1）若∠ADC=，求AD的长；（2）若BD=2DC，=4，求△ABD的面积．参考答案：【考点】解三角形．【分析】（1）由，可得3cos2B+5cosB﹣2=0，求出sinB，再利用正弦定理求得AD；