反比例函数与一次函数二次函数的综合运用（教师版）

专题11反比例函数与一次函数二次函数的综合运用(解析版)

第一部分反刃弱析

类型一反比例函数与一次函数的综合运用

1.(2021•蓬江区校级二模)如图，在平面直角坐标系X。1，中，己知正比例函数尸履与反比例函数尸的

图象交于/,8(-2,“)两点，过原点。的另一条直线/与双曲线交于P,。两点(0点在第四象

限)，若以点4B,P,。为顶点的四边形面积为24,则点尸的坐标是

,可得出。=4,求得点8(-2,4),再根据点Z与8关于原

点对称，得出“点坐标，由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以4、8、尸、。为顶点的四边形

应该是平行四边形，那么△尸02的面积就应该是四边形面积的四分之一即6.可根据双曲线的解析式设

出P点的坐标，然后表示出△PO8的面积，由于△PO8的面积为6,由此可得出关于P点横坐标的方程,

即可求出P点的坐标.

解：：夕(-2,a)在反比例函数y=子的图象上,

.•.点8(-2,4),

,点4与B关于原点对称，

点坐标为(2,-4),

;反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,

：.OP=OQ,OA=OB,

四边形AQBP是平行四边形，

•：OP=OQ,OA=OB,

'S\POA=SAQOA，SAPOB=SAQOB,S△尸OB=S△尸。力,SAAOQ=S/、BOQ,

平行四边形力030，

:・SAPOB=S平行四边形/Q8尸x4=4x24=6，

设点尸的横坐标为用（〃zVO且加W-2）,

得尸（相，——）,

m

过点尸、8分别做x轴的垂线，垂足为M、N,

・・•点P、8在双曲线上，

**•SAPOM=S/\BON=4，

若mV-2,如图1,

•：S^BONS林柏PMNB=S>POB+S八POM，

S梯形PMNB=Sf\POB=6・

18

:•一（4-----）•（-2-tn）=6.

2血

C.m\=-4,m2=1（舍去），

：.P（-4,2）；

若-2〈加VO,如图2,

***S/'POM^S梯形BNMP=SABOP+S八BON，

:*S梯形BNMP~SAPOB=6.

18

.♦（4一？）・（m+2）=6,

2m

解得mi=-l，加2=4（舍去），

：.P（-1,8）.

・••点尸的坐标是尸（-4,2）或尸（-1,8）,

故答案为（-4,2）或（-1,8）.

图1图2

总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例

函数)=5中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解《的几何意义.利用

数形结合的思想，求得三角形的面积.

2.(2019•荆州)边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y=©x平分这8个正方形所组成的

图形的面积，交其中两个正方形的边于/,8两点，过8点的双曲线夕=§的一支交其中两个正方形的边

于C,。两点，连接。C,OD,CD,贝.

思路引领：设/(4,t),利用面积法得到Fx4Xf=4+l,解方程得到4(4,1),利用待定系数法求出直

线解析式为尸表，再确定8(2,接着利用待定系数法确定双曲线的解析式为产品利用反比例

函数图象上点的坐标特征求出C(32),D(3,然后用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面

46

积计算S&OCD.

解：设/(4,r),

,/直线y=kix平分这8个正方形所组成的图形的面积，

A-x4Xf=4+l,解得/=

22

5

/.J(4,一),

2

把力(4,1)代入直线产左ix得4左i二|,解得攵i=|,

...直线解析式为夕=3,

545

当x=2时，》=那=彳，则8(2,

,・♦双曲线产=§经过点3,

•,也=2x1=

5二

，双曲线的解析式为尸会=/，

5耳5

当y=2时，一=2,解得x=],则C（-,2）；

2X44

cc5

当x=3时，y=f-=^,则。（3,一），

-2x66

1515155119

S^OCD=3X2—]x3x&—[x2x彳一]（2—5）X（3一耳）=.

119

故答案为

48

总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两

个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了

待定系数法求函数解析式.

类型二反比例函数与二次函数的综合运用

3.（2021秋•赛罕区校级期中）已知二次函数y=a?+6x+cQW0）的图象如图所示，则反比例函数_），=?与

一次函数、=-cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）

思路引领：首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c>0,根据抛物线开口向下可得〃<0,由对称轴在

V轴右边可得八6异号，故6>0,再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得

答案.

解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c>0,根据抛物线开口向下可得a<0,由对称轴在y轴右边可

得a、b异号,故b>0,

则反比例函数y=E的图象在第二、四象限，

一次函数y=-cx+b经过第一、二、四象限，

故选：C.

总结提升：此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象

确定出Q、6、C的符号.

4.（遂宁中考）如图，已知抛物线y=o?-4x+cQWO）与反比例函数y=*的图象相交于点8,且2点的

横坐标为3,抛物线与y轴交于点。（0,6）,/是抛物线夕=a$-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，

当R4+PB最小时，P点的坐标为.

思路引领：根据题意作出合适的辅助线，然后求出点8的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求

出点4的坐标，进而求得储的坐标，从而可以求得直线H8的函数解析式，进而求得与x轴的交点,

从而可以解答本题.

解：作点4关于x轴的对称点H,连接H8,则H8与x轴的交点即为所求，

•••抛物线、=。，-4》+。（“#0）与反比例函数），=［的图象相交于点8,且8点的横坐标为3,抛物线与

y轴交于点。（0,6）,

.•.点8（3,3）,

.Cax32-4x3+c=3

…I。=6

解得,俨U，

1c=6

Ay=x2-4x+6=（x-2）2+2,

・•.点4的坐标为（2,2）,

，点，的坐标为（2,-2）,

设过点T（2,-2）和点3（3,3）的直线解析式为歹="?、+〃，

2m+ri=—2zEIfm=5

3m+n=3'母bi=-12

...直线18的函数解析式为r=5x-12,

17

令y=0,则0=5x72得》=差

总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、

最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

类型三反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用

5.（2021•枣庄模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”给出下列函数①y

=-X;®y=~@y=x+2；®y=^-2x.其图象中不存在“好点”的函数个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

思路引领：根据题意可得x=y,然后代入每一个解析式进行计算即可判断.

解：♦.•横、纵坐标相等的点称为“好点”，

•\x=y,

.•.①x=-X,解得x=0,所以y=-X图象中存在“好点”，

②x=],解得x=±VI,所以尸|图象中存在“好点”，

③x=x+2,此方程无解，所以y=x+2图象中不存在“好点”，

@x=.r2-2x,解得x=0或x=3,所以了=7-2x图象中存在‘'好点"，

上述图象中不存在“好点”的函数个数为：1,

故选：A.

总结提升：本题考查了函数的概念，根据题意得出x=y,然后代入每一个解析式进行计算是解题的关键.

6.（2022•平原县模拟）在下列函数图象上任取不同两点Pi（xi，川）、尸2（X2，”），一定能使Cxi-X2）iy\

-”)>0成立的是()

A.y=-3,r+lB.-x2-2x-3(x<l)

6

C.y=-JT+4X+I(x<0)D.y=--

思路引领：根据各函数的增减性依次进行判断即可.

解：4、-：k=-3<0,

随x的增大而减小，即当xi>x2时，必有/〈眼，

(xi-%2)(yi-”)<0,

故A选项不符合；

B,-：a=-1<0,对称轴为直线x=-l,

.•.当-时，y随x的增大而减小，当x<-1时歹随x的增大而增大，

当x<-I时，能使(xi-X2)>0成立，

故8选项不符合；

C、Va=-1<0,对称轴为直线x=2,

...当x<2时，y随x的增大而增大，

.,.当xVO时,能使Cxi-X2)(力>0成立，

故C选项符合；

D、：-6<0,

...当x>0或x<0时，y随x的增大而增大，

当尸i(xi，y\)>尸2(X2，yi>不在同一象限时，Cxi-X2)(yi-”)>0不成立，

故D选项不符合；

故选：C.

总结提升：本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图象去一一分析，

熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解题的关键.

7.(宜昌中考)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点/,8的坐标分别为-6,0),8(0,4).过

点C(-6,1)的双曲线y=((%WO)与矩形0498的边8。交于点瓦

(1)填空：04=,k=，点E的坐标为；

(2)当1W/W6时，经过点M(L1,-1/2+5/-|)与点N(-L3,-!?+3r-^)的直线交y轴于点F,

点P是过M,N两点的抛物线产-^x2+bx+c的顶点.

①当点尸在双曲线y=(上时，求证：直线与双曲线没有公共点；

②当抛物线产~^x2+hx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；

③当点尸和点P随着，的变化同时向上运动时，求f的取值范围，并求在运动过程中直线在四边形

OAEB中扫过的面枳.

思路引领：（1）根据题意将先关数据代入

（2）①用/表示直线解析式，及6,c,得到P点坐标代入双曲线y=［解析式，证明关于/的方程无

解即可；

②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点B和在BD上时的情况；

③由②中部分结果，用f表示尸、P点的纵坐标，求出f的取值范围及直线在四边形O4E8中所过的

面积.

解：（1）'：A点坐标为（-6,0）

：.OA=6

•.•过点C(-6,1)的双曲线

:.k=-6

y=4时，x=-1=-1

.•.点E的坐标为（一|,4）

故答案为：6,-6,（-1，4）

（2）①设直线解析式为：yi^kix+bi

“+St—=+瓦

由题意得：

一方t2+3”=k1(―t—3)+%

XZ

=1

解得“嗓,1

12+4t-]

,/抛物线y=-^x2+bx+c过点M、N

1

一2(£-1)2+b(t-1)+c

-1(T-3)2+&(-t-3)+c

，抛物线解析式为：y=—-x+5t-2=—(x+1)2+5t—2

...顶点/坐标为(-1,5/-f)

•.•尸在双曲线y=上

3

(5Z-pX(-1)=-6

•,-3

•“-2

此时直线MN解析式为：

(y=x+等

联立68

\y=~x

.•.8/+35x+49=0

VA=352-4X8X48=1225-1536<0

.•.直线MN与双曲线>；=一《没有公共点.

②当抛物线过点B,此时抛物线产~^x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点

，4=5L2,得勺,

当抛物线的顶点在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点

10t-3g11

.•.二―=4,倚仁而

1=第/=15

③•••点P的坐标为(-1,5/-1)

.一3

•«yp—5/—2

当时，yp随f的增大而增大

此时，点P在直线x=-1上向上运动

:点F的坐标为(0,-1t2+4t-1)

11c

-2（t-4）2+^-

...当1W/W4时，随者"随f的增大而增大

此时，随着f的增大，点尸在y轴上向上运动

当f=l时，直线MV：y=x+3与x轴交于点G（-3,0）,与y轴交于点//（0,3）

当f=4-V5时，直线A/N过点4

当时，直线在四边形4E8O中扫过的面积为

S=2x（2+6）x4—2*3x3=

总结提升：本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想.解题过

程中，应注意充分利用字母/表示相关点坐标.

第二部分专题班忧别综

1.（2021春•西乡塘区校级月考）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（）

思路引领：根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，判断即可.

解：上列曲线中，/、B、。选项，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，

所以/、B、3能表示卜是x的函数，

C选项，对于自变量x的每一个值，y不是有唯一的值和它对应，

所以。不能表示y是x的函数，

故选：C.

总结提升：本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键.

2.（2019秋•萧山区期中）已知点/（1,机），B（2,m-n）（/7>0）在同一个函数的图象上，则这个函数

可能是（）

A.y=xB.y=--2C.y=x2D.y=-2

思路引领：由8(1,机)，C(2,m-n)可知，在y轴的右侧，y随x的增大而减小，据此判断即可.

解：•.,点4(1,m),B(2,m-n)(«>0)在同一个函数的图象上，

.•.在y轴的右侧，y随x的增大而减小，

月、对于函数y=x,y随x的增大而增大，故不可能：

B、对于函数y=-|,图象位于二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，故不可能：

C、对于函数夕=f,当x>0时，y随x的增大而增大，故不可能；

。、对于函数、=-7,当x>。时，y随x的增大而减小，故有可能；

故选：D.

总结提升：考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案.

3.(2022秋•鸡西期末)已知一次函数y=2x-3与反比例函数尸右的图象交于点P(a-2,3),则k=.

思路引领：先把尸(。-2,3)代入y=2x-3,求得户的坐标，然后根据待定系数法即可求得.

解：・・,一次函数y=2x-3经过点P(〃-2,3),

A3=2(。-2)-3,

解得。=5,

：.P(3,3),

；点P在反比例函数y=］的图象上，

；./=3X3=9,

故答案为9.

总结提升：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键.

4.(2022•成华区模拟)如图，直线尸恁-8交x轴于点4交y轴于点8,点C是反比例函数产9。>0)

的图象上位于直线上方的一点，CD〃x轴交于点O,CELCD交AB于点、E,若4D・BE=4,则发

的值为—.

思路引领：过。作。凡L/。于凡过EG_LO8于G,贝IJ。/〃。8,GE//AO,设C（x,y）,则GE=x,

2

DF=-y,由△ZZ）FSA48O,可得一（修，由ABEGs/XBAO,可得BE=2x,再根据

4,即可得到左=孙=遮.

解：如图，过Q作。F_LNO于F,过EG_L05于G,Ml]DF//OB,GE//AO,

由直线y=V%c-8,可得4(-Vs10),B(0,-8),

.•.NO=|V5,20=8,/8=竽百，

设C(x,y),则GE=x,DF=-y,

DF

由t可得〜一=一,

ABBO

P1RLAD-y

等二T

•\AD=—V3y,

BEGE

由△4EGs△胡O,可得一=—,

BAOA

„BEx

即期=宵

BE=2x,

,:AD・BE=4,

2

—gV^vX2x=4,

•\xy=—V3,

:.k=xy=—\/3»

故答案为：-

总结提升：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，根据

相似三角形的对应边成比例求出Z。、BE.

5.（2022秋•兴义市期中）己知二次函数（。#0）的图象如图，则一次函数y=ox+b和反比例

思路引领：直接利用二次函数图象经过的象限得出a,b,c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函

数的性质得出答案.

解：•.•二次函数夕="2+M。的图象开口向下，

・・・该抛物线对称轴位Ty轴的右侧，

:・a、b异号，即6>0.

♦・♦抛物线交y轴的负半轴，

Ac<0,

.••一次函数y=ax+人的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=*(cWO)在二、四象限.

故选：C.

总结提升：此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键.

6.(2019秋•龙湾区期中)如图，抛物线y=ax2+4x+c(a#0)与反比例函数尸|的图象相交于点2,且点

8的横坐标为5,抛物线与y轴交于点C(0,6),才是抛物线的顶点，尸和。分别是x轴和y轴上的两

思路引领：根据题意求得8的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式，从而求得顶点力的坐标，

求得力关于V轴的对称点4'(-2,10),8点关于x轴的对称点夕为(5,-1),根据两点之间线段

最短，即可判断尸+P8=/'B'是/。+。尸+尸8的最小值，利用勾股定理求得即可.

解：・・•点8在反比例函数＞=［的图象，且点8的横坐标为5,

，点6的纵坐标为：

：.B(5,1),

•.,抛物线歹=依2+4.什c(4W0)与反比例函数歹=、的图象相交于点8,与y轴交于点。(0,6),

.■优：20+c=L解得｛、?，

抛物线为^=-』+4.什6,

"."y=-，+4X+6=-(x-2)2+10,

：.A(2,10),

关于y轴的对称点H(-2,10),

,：B(5,1),

二2点关于x轴的对称点夕为(5,-I),

连接B'交x轴于P,交V轴于0,此时N0+0P+P8的值最小，BPAQ+QP+PB=A'B',

A'B'=7(5+2)24-(-1-10)2=V170,

故AQ+QP+PB的最小值为gU.

总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的

性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，明确4Q+QP+PB=4/是力。+。尸+尸8的最小值是解题的关

键.

7.（2022秋•沙坪坝区校级月考一）阅读材料：在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点

称为“星之点”，例如：点（1,-1）,（2,-2）,（V2,-V2）都是“星之点”，显然“星之点”有无数

-b±』b2-4ac

个，我们知道关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的求根公式x=

2a＞故有XI

-b+4ac—b—Jb^—4cic

2a，X2=一而一

2

—b+Jb—4acb

两根之和

X|+X2==a

-b+y/b2-4ac―b7b2-4ac

两根之积X1X2=（-----------------------）•（

2a2a

根据以上信息，回答下列的问题:

（1）若点P（-6，m）是反比例函数的图象上的“星之点”，求这个反比例函数的解析

式；

（2）函数y=4fcc+s-2（左，s为常数）的图象上存在“星之点”吗？若存在，请求出“星之点”的坐标；

若不存在，说明理由；

（3）若二次函数^="2+瓜+1（〃、b是常数，且。＞0）的图象上存在两个“星之点””（xi，-Xi）,B

（X2，-X2）,且满足-2Wxi＜2,|XI-X2|=2,令£=y+26+辞，试求，的取值范围.

思路引领：（1）由“星之点”定义得到点尸坐标为（-百，V3）,用待定系数法即求得反比例函数解析

式.

（2）把“星之点”（x,-%）代入函数解析式，化简得到关于x的一元一次方程.讨论x的一次项系数：

①若一次项系数和常数项都为0,则方程有无数解，故有无数个“星之点”：②若一次项系数为0而常数

项不为0,则方程无解，不存在“星之点”；③若一次项系数和常数项均不为0,方程有唯一解，则求得

“星之点”坐标.

(3)把点48坐标代入二次函数并化简，可得xi、取即为方程+(6+1)户1=0的两个不相等实数

根.根据韦达定理可得X1+X2=-笥X1・X2=利用|xi-X2|=2和完全平方公式变形阳-X2『=(X1+X2)

2-4x「X2可得a与6的关系式，化简得廿+2%=4/+44-1=4(a+分2-2.根据-2Wxi<2,|xi-X2\

=2与X1-X2=i(a>0)讨论得a>L根据抛物线性质可求得h2+2b的取值范围，代入t即求得t的取

ao

值范围.

解：⑴•.,点P(-V3,w)是“星之点”

：.P(-V3,V3)

..•点P是反比例函数y=((k#0)的图象上的点

•'•V3——%解得：k=-3

这个反比例函数的解析式为y=-|

(2)函数y=4fcr+s-2(九s为常数)的图象上存在“星之点”.

设“星之点”(x,-x)在函数尸4h+s-2(此s为常数)的图象上

-x=4kx+s-2

整理得：(4R1)x=2-